Boundedness of Commutators of Generalized Fractional Integral Operators on Non-homogeneous Metric Measure Spaces

定义1^[20]  设(X，d)是度量空间，如果存在某个正整数N₀，对任意的球B(x，r)⊂X，其中x∈X，r∈(0，∞)，都存在至多N₀个球${\left\{ {B\left( {{x_i}, \frac{r}{2}} \right)} \right\}_i}$构成B(x，r)的一个覆盖，则称度量空间(X，d)是几何双倍的.

定义2^[4]  如果μ是X上的Borel测度，并存在一个控制函数λ：X×(0，∞)→(0，∞)，使得对每一个x∈X，λ(x，r)关于r都单调不减，且存在一个依赖于λ的正常数C_(λ)，使得对任意的x∈X和r∈(0，∞)，有

则称度量测度空间(X，d，μ)是上双倍的.

非齐度量测度空间(X，d，μ)就是既满足几何双倍条件又满足上双倍条件的度量空间.

定义3^[4]  设η＞0，若对所有的r∈(0，2diam(X))和$a \in \left( {1, \frac{{2{\rm{diam}}(X)}}{r}} \right)$，存在一个只依赖于a和X的常数C(a)＞1，使得对于所有的x∈X，λ(x，ar)≥C(a)λ(x，r)，并且$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{{\left[ {C\left( {{a^k}} \right)} \right]}^\eta }}}} < \infty $.则称控制函数λ满足η-弱逆倍条件.

定义4^[4]  对于任意两个球B⊂S⊂X，令ρ＞1，p∈(0，1]，离散系数$\tilde K_{B, S}^{(\rho ), p}$的定义是

其中N_B，S^(ρ)是满足ρ_B，S^N(ρ)r_B≥r_S的最小正整数，[log_ρ2]表示log_ρ2取整.

对于整数k，记B_k={x∈X：d(x₀，x)＜2^k}，其中x₀是X的一固定点，C_k=B_k\B_k-1，且χ_k=χ_Ck.非齐度量测度空间上的齐型Herz空间定义如下：

定义5^[15]  设(X，d，μ)是非齐度量测度空间，令-∞＜α＜∞，0＜p＜∞，0＜q≤∞.则非齐度量测度空间上的齐型Herz空间$\dot K_q^{\alpha , p}(\mu )$定义为

其中

定义6^[15]  令0＜α＜∞，1≤q＜∞，若(X，d，μ)上的函数b(x)满足以下条件：

(ⅰ) supp b⊂B(x₀，r)，r＞0，其中B(x₀，r)={x∈X：d(x₀，x)＜r}；

(ⅱ) ‖b‖_L^q(μ)≤[λ(x₀，r)]^-α.

则称b(x)为中心(α，q)-块.

非齐度量测度空间上齐次Herz空间的分解定理是下面的结果：

引理1^[15]  令0＜α＜∞，0＜p＜∞，1≤q＜∞.设λ满足η-弱逆倍条件，

则f∈$\dot K_q^{\alpha , p}(\mu )$当且仅当$f(x) = \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{\lambda _k}} {b_k}(x)$，其中b_k(x)是中心(α，q)-块，supp (b_k)⊂B_k，并且

这里的下确界取遍所有f这样的分解.

文献[15]引进并给出了Herz型Hardy空间的分解：

定义7^[15]  设(X，d，μ)是非齐度量测度空间，0＜p≤1≤q≤∞，p≠q，α∈(0，∞)，ρ∈(1，∞)，γ∈[1，∞).若L²(μ)上的函数b满足以下条件：

(ⅰ)存在一个球B，使得supp b⊂B=B(x₀，r)，r＞0；

(ⅱ)∫_Xb(x)dμ(x)=0；

(ⅲ)对于j=1，2，存在支在球B_j⊂B上的函数a_j和常数λ_j∈${\mathbb{C}}$，使得b=λ₁a₁+λ₂a₂，且‖a_j‖_L^q(μ)≤(λ(x₀，r_B))^-α${\left( {\tilde K_{{B_j}, B}^{(\rho ), p}} \right)^{ - \gamma }}$.

则称b是(α，p，q，γ，ρ)_λ-原子块，并记$|b{|_{\tilde H{{\dot K}_{_{_{atb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}}$=|λ₁|+|λ₂|.如果存在(α，p，q，γ，ρ)_λ-原子块序列{b_i}_i=-∞^+∞，使得在L²(μ)中$f = \sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{b_i}} $，且$\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {\left| {{b_i}} \right|_{\tilde H{{\dot K}_{_{_{atb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}^p < \infty } $，则称f是属于${\tilde H{{\dot K}_{_{_{atb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}$的.并且定义

这里的下确界取遍f所有的分解.原子Herz型Hardy空间${\tilde H{{\dot K}_{_{_{atb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}$定义为在p-拟模$\left\| \cdot \right\|_{\tilde H{{\dot K}_{_{_{atb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}^p$下${\tilde H{{\dot K}_{_{_{atb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}$的完备化.同时，原子Herz型Hardy空间${\tilde H{{\dot K}_{_{_{atb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}$与γ和ρ的取值无关.

定义8^[15]  设(X，d，μ)是非齐度量测度空间，0＜p≤1≤q≤∞，p≠q，令α∈(0，∞)，ρ∈(1，∞)，γ∈[1，∞)，ε∈(0，∞).若L²(μ)上的函数b满足以下条件：

(ⅰ) ∫_Xb(x)dμ(x)=0；

(ⅱ)存在一些球B=B(x₀，r_B)，其中r_B＞0，存在常数${\tilde M}$，M∈${\mathbb{N}}$，使得对于所有的k∈${\mathbb{N}}$，j∈{1，…，M_k}，当k=0时，M₀=${\tilde M}$；当k＞0时，M_k=M.存在支在球B_k，j⊂U_k(B)上的函数m_k，j，当k=0时，U₀(B)=ρ²B；当k＞0时，U_k(B)=ρ^k+2B\ρ^k-2B.存在λ_k，j∈${\mathbb{C}}$，使得在L²(μ)中b=$\sum\limits_{k = 0}^\infty {\sum\limits_{j = 1}^{{M_k}} {{\lambda _{k, j}}} } {m_{k, j}}$，且有

则称b是(α，p，q，γ，ε，ρ)_λ-分子块.若存在(α，p，q，γ，ε，ρ)_λ-分子块序列{b_i}_i=-∞^+∞，使得在L²(μ)中有$f = \sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{b_i}} $，且$\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {\left| {{b_i}} \right|_{\tilde H{{\dot K}_{_{_{mb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}^p < \infty } $，则函数f属于${\tilde H{{\dot K}_{_{_{mb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}$.并且定义

这里的下确界取遍f的所有分解.分子Herz型Hardy空间${\tilde H{{\dot K}_{_{_{mb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}$定义为在p-拟模$\left\| \cdot \right\|_{\tilde H{{\dot K}_{_{_{mb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}^p$下${\tilde H{{\dot K}_{_{_{mb}, q, \rho }^{a, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}$的完备化.

定义9  令β∈(0，1].如果函数f：X→${\mathbb{C}}$满足

或者

则称f属于Lip_β(μ).

定义10^[7]  设函数K_σ∈L_loc¹(X×X)\{(x，x)：x∈X}，0＜σ＜1.如果存在正常数C_Kσ，使得：

(ⅰ)对于任意的x，y∈X，x≠y，|K_σ(x，y)|≤C_Kσ[λ(x，d(x，y))]^σ-1；

(ⅱ)存在0＜δ≤1和正常数c_Kσ，使得对任意x，x，y∈X，且d(x，y)≥c_Kσd(x，${\tilde x}$)，有

则称K_σ为非齐度量测度空间上的广义分数次积分算子核.

若线性算子T_σ的核是定义10中的K_σ，对于所有的f∈L_b^∞(μ)={f∈L^∞(μ)：f的支集有界}，

则称T_σ是非齐度量测度空间上的广义分数次积分算子.

引理2^[7]  设T_σ是非齐度量测度空间上的广义分数次积分算子，0＜σ＜1，则以下两个结论是等价的：

(ⅰ)对$p \in \left( {1, \frac{1}{\sigma }} \right)$，$\frac{1}{q} = \frac{1}{p} - \sigma $，T_σ是L^p(μ)到L^q(μ)的有界算子；

(ⅱ)T_σ是L¹(μ)到${L^{\frac{1}{{1 - \sigma }}, \infty }}(\mu )$的有界算子.

广义分数次积分算子T_σ和函数h生成的交换子定义为

若g∈L_b^∞(μ)，∫_Xg(y)dμ(y)=0，有∫_XT_σg(y)dμ(y)=0，则称T_σ满足T_σ^*1=0.

定理1  设(X，d，μ)为非齐度量测度空间，0＜p＜∞，0＜σ＜1，1＜q₁＜${\frac{1}{\sigma }}$，$\frac{1}{{{q_2}}} = \frac{1}{{{q_1}}} - \sigma $，0＜β＜1，β＜α₁＜1-$\frac{1}{{{q_1}}}$，α₂=α₁-β.令λ满足η-弱逆倍条件，

此时1＜p＜∞.若T_σ是非齐度量测度空间上的广义分数次积分算子，且T_σ是L¹(μ)到${L^{\frac{1}{{1 - \sigma }}, \infty }}(\mu )$的有界算子，h∈Lip_β(μ)，则交换子[T_σ，h]是从$\dot K_{{q_1}}^{{\alpha _1} \cdot p}(\mu )$到$\dot K_{{q_2}}^{{\alpha _2} \cdot p}(\mu )$的有界算子.

定理2  设(X，d，μ)是非齐度量测度空间.令0＜p＜∞，0＜σ＜1，1＜q₁＜${\frac{1}{\sigma }}$，$\frac{1}{q} = \frac{1}{p} - \sigma $，ρ∈(1，∞)，γ∈[1，∞)，0＜β＜1，0＜α₂＜$\frac{\delta }{v}$，α₁=α₂+β.设T_σ是非齐度量测度空间上的广义分数次积分算子，若T_σ是L¹(μ)到${L^{\frac{1}{{1 - \sigma }}, \infty }}(\mu )$的有界算子，且T_σ^*1=0，h∈Lip_β(μ)，则交换子[T_σ，h]是从${\tilde H{{\dot K}_{_{_{atb}, q, \rho }^{{a_1}, p, \gamma }\left( \mu \right)}}}$到$\tilde H\dot K_{mb, {q_2}, \rho }^{{\alpha _2}, p, \gamma , \left( {\delta - v{\alpha _2}} \right)/2}\left( \mu \right)$的有界算子.

定理1的证明  对任意f∈$\dot K_{{q_1}}^{{\alpha _1} \cdot p}(\mu )$，由引理1知f(x)=$\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } $λ_jb_j(x)，其中b_j是中心(α₁，q₁)-块，supp (b_j)⊂B_j，且${\left\| f \right\|_{\dot K_{{q_1}}^{{\alpha _1}, p}(\mu )}} \sim \inf {\left\{ {\sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{\lambda _j}} \right|}^p}} } \right\}^{\frac{1}{p}}}$.则

对于I₂，分以下两种情况进行讨论：

当0＜p≤1时，由引理2、(3)式，以及定义6和η-弱逆倍条件，有

当1＜p＜∞时，由引理2、(3)式、Hölder不等式和η-弱逆倍条件，可得

对于I₁，注意到j≤l-2，x∈C_l，y∈B_j，则x∈XB_j，意味着λ(x，d(x，y))~λ(x₀，d(x，x₀)).因此，由定义9、Hölder不等式和定义6，知

再分为两种情况进行讨论：

当0＜p≤1时，由η-弱逆倍条件，有

当1＜p＜∞时，同样由Hölder不等式和η-弱逆倍条件可得

因此

至此，我们完成了定理1的证明.

定理2的证明  由定理2的假设以及Herz型Hardy空间的原子和分子分解结果知，只要对任意的(α₁，p，q₁，2，2)_λ-原子块b，证明[T_σ，h]b是α₂，p，q₂，1，$\frac{{\delta - v{\alpha _2}}}{2}$，2_λ-分子块，且

即可.事实上，对任意的(α₁，p，q₁，2，2)_λ-原子块b，$b = \sum\limits_{j = 1}^2 {{\lambda _j}} {a_j}$，supp (a_j)⊂B_j⊂B，且

令B₀=8B，进一步记

对于J₁，由B_j⊂B知3B_j⊂8B=B₀.令N_j=N⁽²⁾_2Bj，B0≥-1.不失一般性，假设N_j≥3.由于2B_j⊂B₀⊂2⁵B_j，当N_j∈[-1，3)时可转化为N_j≥3的情形处理.因此

对于J_1，1，由引理2、(3)式、定义7、系数${\tilde K}$的性质和$K_{2{B_j}, {B_0}}^{(2), p} \ge 1$，对于j=1，2，有

其中c₁是不依赖a_j和j的正常数.令

则

且

对于J_1，3，由于B₀⊂2^N_j+3B_j，有r_B0~r_2^Nj-1Bj.由定义10、(3)式、原子的大小条件、Hölder不等式，以及系数${\tilde K}$的性质，并注意到$\tilde K_{2{B_j}, {B_0}}^{(2), p} \ge 1$，可知对于j=1，2，有

其中c₂是不依赖a_j和j的正常数.令

则

且

对J_1，2与J_1，3，类似地有

其中c₃是不依赖于a_j，j和i的正常数.令

则

且

对于J₂, 由几何双倍条件，对于任意的k∈${\mathbb{N}}$，存在球覆盖{B_k，j}_j=1^M₀，且它们的势M₀≤N₀8ⁿ，其中这些球的半径都是2^k-3r_B0，Ũ_k(B₀)=2^kB₀^k-1B₀.不失一般性，假设这些球的中心都属于Ũ_k(B₀).令C_k，1=B_k，1，C_k，l=B_k，l\U_m=1^l-1B_k，m，l=2，…，M₀且对所有的l=1，…，M₀，D_k，l=C_k，l∩U_k(B₀).则{D_k，l}_l=1^M₀互不相交，U_k(B₀)=∪M₀l=1D_k，l且对任意l=1，…，M₀，D_k，l⊂2B_k，l⊂U_k(B₀)=2^k+2B₀^k-2B₀.因此，J₂=$\sum\limits_{k = 0}^\infty {\mathop \sum \limits_{l = 0}^{{M_0}} } $([T_σ，h]b)χ_Dk，l.因为T_σ^*1=0，由定义10、定义7、定义9，应用Hölder不等式和系数K的性质，同时注意到4B_k，l⊂2^k+1B₀和$\tilde K_{2{B_j}, B}^{(2), p} \ge 1$，可以得到

其中c₄是不依赖于b和k的正常数.令

则

且

由J₁和J₂的估计知，[T_σ，h]b是(α₂，p，q₂，1，δ，2)_λ-分子块，且

这就完成了定理2的证明.