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2020 Volume 42 Issue 8
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Xin-jing WANG, Shan-shan ZHANG. The Liouville Theorem for the Sub-linear Growth Sub-Laplace Equation on the Heisenberg Group[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2020, 42(8): 97-101. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2020.08.013
Citation: Xin-jing WANG, Shan-shan ZHANG. The Liouville Theorem for the Sub-linear Growth Sub-Laplace Equation on the Heisenberg Group[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2020, 42(8): 97-101. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2020.08.013

The Liouville Theorem for the Sub-linear Growth Sub-Laplace Equation on the Heisenberg Group

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  • Received Date: 29/11/2019
    Available Online: 20/08/2020
  • MSC: O175.2

  • In this paper, we give the Liouville theorem to the sub-Laplace equation on the Heisenberg group whose solutions satisfy the sub-linear growth condition. In the process of proof we use the mean value formula on the Heisenberg group.
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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com
  • 1. 

    沈阳化工大学材料科学与工程学院 沈阳 110142

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The Liouville Theorem for the Sub-linear Growth Sub-Laplace Equation on the Heisenberg Group

Abstract: In this paper, we give the Liouville theorem to the sub-Laplace equation on the Heisenberg group whose solutions satisfy the sub-linear growth condition. In the process of proof we use the mean value formula on the Heisenberg group.

  • 调和方程的Liouville定理是经典的结果.经典的Liouville定理是说:当调和函数有界时,函数是常数.在各种条件下研究偏微分方程的Liouville定理是人们关注的热点问题.文献[1]证明了:具有非负Ricci曲率的Riemann流形上的非负调和方程的解是常数.文献[2]作了进一步推广,证明了:流形上次线性增长的调和方程的解也是常数.文献[3]得到了Heisenberg群${\mathbb{N}}$n上退化椭圆半线性方程有界解的Liouville定理.关于欧氏空间和推广空间上的Liouville定理,可以参见文献[4-7].

    受到文献[2]的启示,本文研究群${\mathbb{N}}$n上次Laplace方程解的Liouville定理,即研究${\mathbb{N}}$n上的次Laplace方程

    的解在满足次线性增长条件下的Liouville定理.与文献[3]中的结论不同,本文对方程(1)的有界性条件有所减弱.

1.   记号和准备知识
  • 首先给出欧氏空间中调和函数平均值性质的定义.令Ω${\mathbb{R}}$n是连通区域,用Br(x)⊆${\mathbb{R}}$n表示以x为心r>0为半径的球.

    定义1  对于uC(Ω),令ωn${\mathbb{R}}$n上单位球的表面积.

    (ⅰ)若对于任何Br(x)∈Ω

    则称u满足第一平均值性质;

    (ⅱ)若对于任何Br(x)∈Ω

    则称u满足第二平均值性质.

    Δ表示经典的Laplace算子.下面我们引进Heisenberg群上的次Laplace算子.

    Heisenberg群${\mathbb{N}}$n${\mathbb{R}}$2n+1(n≥1)上具有群作用°的Lie群,群作用°为

    其中ξ=(x1,…,xny1,…,ynt)=(xyt),ξ0=(x0y0t0).

    相应的左不变向量场Lie代数为

    函数u的Heisenberg梯度定义为

    ${\mathbb{N}}$n上的次Laplace算子${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$定义为

    易得XiYi满足[XiYj]=-4ij,[XiXj]=[YiYj]=0,其中ij=1,…,n. Hörmander条件对于{X1,…,XnY1,…,Yn}成立(见文献[8]),这表明${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$是退化椭圆算子(见文献[8]),且含算子${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$的方程的解满足极值原理(见文献[9]).

    Q=2n+2是${{\nabla }_{\mathbb{H}}}u$的齐次维数,${{\left| \xi \right|}_{\mathbb{H}}}$为点ξ到原点的距离(见文献[10]),具体表示为

    ${{\left| \xi \right|}_{\mathbb{H}}}$上两点的距离记为

    ξ0为心R>0为半径的球表示为

    基底{XiYiT}可由$\left\{ \frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}, \frac{\partial }{\partial {{y}_{i}}}, \frac{\partial }{\partial t} \right\}$通过$\left( \begin{matrix} {{I}_{n}} & 0 & 2y \\ 0 & {{I}_{n}} & -2x \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$形式的变换得到,这里的Lebesgue测度是${\mathbb{N}}$n上的Haar测度.

    由群伸缩δλ(ξ)=(λxλyλ2t),可知$\xi \to |\xi {{|}_{\mathbb{H}}}$是一阶齐次的,则有

    其中|·|是Lebesgue测度.

    直接计算可以得到

    ${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$作用在只与ρ有关的径向函数u上,由(2)式可以得到

    其中ψ定义为

    类似于Kohn-Laplace算子和经典的Laplace算子,文献[11]给出了-Δ$_{\mathbb{H}}$的基本解,记为

    同时文献[12-13]也给出了如下平均值公式:设Ω${\mathbb{N}}$n为有界开集,uC2(Ω),$\overline{{{B}_{\mathbb{H}}}(\xi , R)}\subseteq \mathit{\Omega }$,有

    其中MR为平均值算子

    这里ψ由(3)式给出,${{C}_{Q}}={{\left| {{B}_{\mathbb{H}}}(\xi , 1) \right|}^{-1}}$.

2.   主要结果和证明
  • 证明关于方程(1)的Liouville定理之前,我们首先给出两个引理,引理1在流形上的证明可参见文献[1, 14],引理1是关于梯度估计的直接结果.这里满足的假设条件不同,我们根据文献[15]给出证明.

    引理1  设Mm>是具有非负Ricci曲率的完备流形,在Mm>上记Bp(φ)是以p为心φ>0为半径的球.存在常数C(m)>0,使得对任意定义在M上的调和函数u(即-Δu=0),如果记

    那么对任意的xBp(φ),有

    特别地,M不容许任何非常数的调和函数满足增长估计

    其中rp(x)=r(px)是M上的点xp的距离,为了简单记为r(x).

      因为Ricci曲率是非负的,方程u是调和的,因此对任意xBp(φ)和ε<2,利用文献[12]中定理6.1的梯度估计,有

    显然,u(x)-i(2φ)是Bp(2φ)上的正调和函数.利用(5)式,令ε=1,对任意的xBp(φ)可以得到

    由极值原理,i(φ)的极值在某点xəBp(φ)处达到.特别地,φ-1i(φ)=r-1(x)u(x).由u的增长性假设可以得到

    因此,任意固定点xM,有

    则可知u必为常数.引理1得证.

    现在根据文献[16]接着证明引理2,即欧氏空间上次线性增长调和函数的Liouville定理.

    引理2  设u${\mathbb{R}}$n上的调和函数,满足次线性增长条件

    u为常数.

      由u是调和函数,则Δ(Dxiu)=0,即Dxiu是调和函数.由平均值性质和散度定理,有

    为了简单,我们假设u非负,则有

    对任意的x${\mathbb{R}}$n,利用次线性增长条件$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^{ - 1}}(x)u(x) = 0$,可以得到Du(x)=0.

    定理1  假设u是方程(1)的解,且满足次线性增长条件$\mathop {\lim }\limits_{\xi \to \infty } {r^{ - 1}}(\xi )u(\xi ) = 0$,则u为常数.

      由Hörmander条件可知,$T=\frac{\partial }{\partial t}$XiYi可交换,因此就有

    由(4)式,对任意的ξ${\mathbb{N}}$nR>0,可以得到

    利用次线性增长条件

    对任意的ξ${\mathbb{N}}$n,有

    u${\mathbb{R}}$2n+1是方程

    的解.利用引理1和引理2即得到结论.

3.   结束语
  • 本文利用Heisenberg群上平均值公式建立了Heisenberg群上次Laplace方程的解在满足次线性增长条件时的Liouville型定理,其结果是对经典Liouville定理的推广,把以前要求的解的有界性条件减弱成了解的次线性增长条件,这对于解决具有同样类型条件的问题具有一定的借鉴意义.

Reference (16)

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