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调和方程的Liouville定理是经典的结果.经典的Liouville定理是说:当调和函数有界时,函数是常数.在各种条件下研究偏微分方程的Liouville定理是人们关注的热点问题.文献[1]证明了:具有非负Ricci曲率的Riemann流形上的非负调和方程的解是常数.文献[2]作了进一步推广,证明了:流形上次线性增长的调和方程的解也是常数.文献[3]得到了Heisenberg群
${\mathbb{N}}$ n上退化椭圆半线性方程有界解的Liouville定理.关于欧氏空间和推广空间上的Liouville定理,可以参见文献[4-7].受到文献[2]的启示,本文研究群
${\mathbb{N}}$ n上次Laplace方程解的Liouville定理,即研究${\mathbb{N}}$ n上的次Laplace方程的解在满足次线性增长条件下的Liouville定理.与文献[3]中的结论不同,本文对方程(1)的有界性条件有所减弱.
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首先给出欧氏空间中调和函数平均值性质的定义.令Ω⊂
${\mathbb{R}}$ n是连通区域,用Br(x)⊆${\mathbb{R}}$ n表示以x为心r>0为半径的球.定义1 对于u∈C(Ω),令ωn是
${\mathbb{R}}$ n上单位球的表面积.(ⅰ)若对于任何Br(x)∈Ω有
则称u满足第一平均值性质;
(ⅱ)若对于任何Br(x)∈Ω有
则称u满足第二平均值性质.
用Δ表示经典的Laplace算子.下面我们引进Heisenberg群上的次Laplace算子.
Heisenberg群
${\mathbb{N}}$ n是${\mathbb{R}}$ 2n+1(n≥1)上具有群作用°的Lie群,群作用°为其中ξ=(x1,…,xn,y1,…,yn,t)=(x,y,t),ξ0=(x0,y0,t0).
相应的左不变向量场Lie代数为
函数u的Heisenberg梯度定义为
${\mathbb{N}}$ n上的次Laplace算子${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$ 定义为易得Xi和Yi满足[Xi,Yj]=-4Tδij,[Xi,Xj]=[Yi,Yj]=0,其中i,j=1,…,n. Hörmander条件对于{X1,…,Xn,Y1,…,Yn}成立(见文献[8]),这表明
${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$ 是退化椭圆算子(见文献[8]),且含算子${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$ 的方程的解满足极值原理(见文献[9]).记Q=2n+2是
${{\nabla }_{\mathbb{H}}}u$ 的齐次维数,${{\left| \xi \right|}_{\mathbb{H}}}$ 为点ξ到原点的距离(见文献[10]),具体表示为${{\left| \xi \right|}_{\mathbb{H}}}$ 上两点的距离记为以ξ0为心R>0为半径的球表示为
基底{Xi,Yi,T}可由
$\left\{ \frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}, \frac{\partial }{\partial {{y}_{i}}}, \frac{\partial }{\partial t} \right\}$ 通过$\left( \begin{matrix} {{I}_{n}} & 0 & 2y \\ 0 & {{I}_{n}} & -2x \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$ 形式的变换得到,这里的Lebesgue测度是${\mathbb{N}}$ n上的Haar测度.由群伸缩δλ(ξ)=(λx,λy,λ2t),可知
$\xi \to |\xi {{|}_{\mathbb{H}}}$ 是一阶齐次的,则有其中|·|是Lebesgue测度.
直接计算可以得到
${{\Delta }_{\mathbb{H}}}$ 作用在只与ρ有关的径向函数u上,由(2)式可以得到其中ψ定义为
类似于Kohn-Laplace算子和经典的Laplace算子,文献[11]给出了-Δ
$_{\mathbb{H}}$ 的基本解,记为同时文献[12-13]也给出了如下平均值公式:设Ω⊆
${\mathbb{N}}$ n为有界开集,u∈C2(Ω),$\overline{{{B}_{\mathbb{H}}}(\xi , R)}\subseteq \mathit{\Omega }$ ,有其中MR为平均值算子
这里ψ由(3)式给出,
${{C}_{Q}}={{\left| {{B}_{\mathbb{H}}}(\xi , 1) \right|}^{-1}}$ .
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证明关于方程(1)的Liouville定理之前,我们首先给出两个引理,引理1在流形上的证明可参见文献[1, 14],引理1是关于梯度估计的直接结果.这里满足的假设条件不同,我们根据文献[15]给出证明.
引理1 设Mm>是具有非负Ricci曲率的完备流形,在Mm>上记Bp(φ)是以p为心φ>0为半径的球.存在常数C(m)>0,使得对任意定义在M上的调和函数u(即-Δu=0),如果记
那么对任意的x∈Bp(φ),有
特别地,M不容许任何非常数的调和函数满足增长估计
其中rp(x)=r(p,x)是M上的点x距p的距离,为了简单记为r(x).
证 因为Ricci曲率是非负的,方程u是调和的,因此对任意x∈Bp(φ)和ε<2,利用文献[12]中定理6.1的梯度估计,有
显然,u(x)-i(2φ)是Bp(2φ)上的正调和函数.利用(5)式,令ε=1,对任意的x∈Bp(φ)可以得到
由极值原理,i(φ)的极值在某点x∈əBp(φ)处达到.特别地,φ-1i(φ)=r-1(x)u(x).由u的增长性假设可以得到
因此,任意固定点x∈M,有
则可知u必为常数.引理1得证.
现在根据文献[16]接着证明引理2,即欧氏空间上次线性增长调和函数的Liouville定理.
引理2 设u是
${\mathbb{R}}$ n上的调和函数,满足次线性增长条件则u为常数.
证 由u是调和函数,则Δ(Dxiu)=0,即Dxiu是调和函数.由平均值性质和散度定理,有
为了简单,我们假设u非负,则有
对任意的x∈
${\mathbb{R}}$ n,利用次线性增长条件$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^{ - 1}}(x)u(x) = 0$ ,可以得到Du(x)=0.定理1 假设u是方程(1)的解,且满足次线性增长条件
$\mathop {\lim }\limits_{\xi \to \infty } {r^{ - 1}}(\xi )u(\xi ) = 0$ ,则u为常数.证 由Hörmander条件可知,
$T=\frac{\partial }{\partial t}$ 与Xi,Yi可交换,因此就有由(4)式,对任意的ξ∈
${\mathbb{N}}$ n,R>0,可以得到利用次线性增长条件
对任意的ξ∈
${\mathbb{N}}$ n,有则u∈
${\mathbb{R}}$ 2n+1是方程的解.利用引理1和引理2即得到结论.
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本文利用Heisenberg群上平均值公式建立了Heisenberg群上次Laplace方程的解在满足次线性增长条件时的Liouville型定理,其结果是对经典Liouville定理的推广,把以前要求的解的有界性条件减弱成了解的次线性增长条件,这对于解决具有同样类型条件的问题具有一定的借鉴意义.