Characterization of the Kernel Space of Idempotent Operator

幂等算子因具有特殊的性质，在统计理论、信息传送、量子信息及经济学领域都有极为广泛的应用^[1-6].一直以来，关于幂等算子及线性组合的表示与刻画都吸引着众多学者的关注.近年来，关于幂等算子的分解性及几何结构得到了研究^[3-16].文献[13-14]对幂等算子的J-正(负)压缩、扩张的存在性及性质进行了讨论.特别地，文献[15]对Krein空间中的幂等算子进行了研究.本文主要针对幂等算子核空间上的正交投影算子E进行了研究，给出了该投影算子的一个矩阵表示，进一步借助该矩阵表示，给出了E的核空间上正交投影P_N(E)与E的值域空间上正交投影P_E之差的可逆性及其逆的表示，而这一结论也是文献[16]的主要结论.

设H与K表示无限(可分)复Hilbert空间，B(H)，B(H，K)分别表示H及H到K上全体有界线性算子之集.对B(H)中的算子A，用A^*表示A的伴随.若A∈B(H)满足(Ax，x)≥0成立，则称A是正的，记作A≥0.用B(H)⁺表示H上全体正的有界算子之集，若A∈B(H)⁺，记${A^{\frac{1}{2}}}$为正算子A的平方根.若A∈B(H)满足A=A²，则称A是幂等的，用B(H)^Id表示H中的全体幂等算子之集.对H的闭子空间M，记P_M为M中的正交投影.特别地，P_A表示闭子空间$\overline {R\left( A \right)} $上的正交投影.设T∈B(H，K)，我们用N(T)，R(T)及$\overline {R\left( T \right)} $分别表示算子T的核空间、值域空间以及值域空间R(T)的闭包.

容易验证：若P∈B(H)^Id，则R(P)是闭子空间，且P可以写作2×2矩阵形式

其中P₁∈B(R(P)^⊥，R(P)).

引理1  设A∈B(H)⁺，且$\tilde A = \left( {\begin{array}{*{20}{l}} I&A\\ A&{{A^2}} \end{array}} \right)$，则Ã∈B(H⊕H)⁺，且

证  显然，Ã≥0.容易验证

令x∈H，y∈H，且满足Ã(x，y)^t=0，即x+Ay=0，也就是x=-Ay，进一步P_Ã(x，y)^t=0.因此N(Ã)⊆ N(P_Ã)，也就有$\overline {R\left( {\tilde A} \right)} $⊇R(P_Ã).结合等式(3)知$\overline {R\left( {\tilde A} \right)} $=R(P_Ã)，因此P_Ã是子空间$\overline {R\left( {\tilde A} \right)} $上的正交投影.

引理2^[11](极分解定理)  设T∈B(H，K)，则存在部分等距算子U∈B(H，K)，使得T=U(T^*T)^{$^{\frac{1}{2}}$}，且满足$R(U) = \overline {R(T)} $与$R({U^*}) = \overline {R({T^*})} $.

引理3  设G∈B(H)是自伴算子，若存在部分等距算子U∈B(H，K)，使得F=UGU^*且U^*UG=G，则P_F=UP_GU^*.

证  记Q=UP_GU^*，则

因此Q是正交投影.取x∈H，则有

故R(F)⊆ R(Q)，则$\overline {R(F)} $⊆ R(Q).

若Fx=0，则

这也就有U^*x∈N(G)=R(G)^⊥，故P_GU^*x=0，因此Qx=UP_GU^*x=0.则N(F)⊆N(Q)，即$\overline {R(F)} $⊇R(Q)，因此$\overline {R(F)} $=R(Q)，则P_F=Q=UP_GU^*.

引理4  设V为部分等距算子，F，G∈B(H)是自伴的.若V^*VG=0且V^*VF=F，则

证  由于GV^*V=(V^*VG)^*=0，故GF=GV^*VF=0，因此P_F+P_G=P_F+G.

注意到V^*VG=0，则R(P_G)=$\overline {R(G)} $⊆N(V)，故VGV^*=0及VP_GV^*=0成立.因此

又由引理3知P_VFV^*=VP_FV^*，所以

定理1  设E∈B(H)^Id具有(1)式的形式，I₁和I₂分别表示子空间R(E)与R(E)^⊥上的单位算子，则

证  显然，${E^*}E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}&{{E_1}}\\ {E_1^*}&{E_1^*{E_1}} \end{array}} \right)$：R(E)⊕R(E)^⊥R(E)⊕R(E)^⊥.

由极分解定理，存在部分等距算子V∈B(R(E)^⊥，R(E))，使得E₁=V(E₁^*E₁)^{${\frac{1}{2}}$}，R(V)=$\overline {R({E_1})} $且R(V^*)=$\overline {R(E_1^*)} $，则有

记

容易验证

且

因此，由引理4和引理1，我们有

所以

故由(5)式知

又由于

则

作为推论，我们可以得到文献[16]中的定理2：

推论1  ^[16]设E∈B(H)^Id，则：

(ⅰ) P_N(E)-P_E及E+E^*-I可逆，且(E+E^*-I)^-1=P_E-P_N(E)；

(ⅱ) E=P_E(P_E-P_N(E))^-1且P_N(E)=(E-I)(E+E^*-I)^-1成立.

证  由于I₁-E₁(I₂+E₁^*E₁)^-1E₁^*=I₁-(I₁+E₁^*E₁)^-1E₁E₁^*=(I₁+E₁E₁^*)^-1，则由定理1知

显然，

直接计算可得

(ⅱ)显然P_E=E(P_E-P_N(E))且P_N(E)=(E-I)(P_E-P_N(E))，故由(1)式得