Nonemptiness and Lower Semicontinuity of Solution Maps for Parametric Vector Optimization Problems in Banach Spaces

参数向量优化问题的稳定性分析已经被许多学者广泛研究，其主要问题之一是研究有效解映射具有某种稳定性的充分条件^[1-10].文献[1-2]利用隐函数的方法来研究参数向量优化问题的有效解映射的稳定性，即先讨论集值隐函数的稳定性，做为应用得到参数向量优化问题有效解映射的稳定性.本文在Banach空间中避开隐函数，直接讨论参数向量优化问题的有效解映射的非空性和下半连续性.

设X和Y是Banach空间，P是度量空间，$ F:P \times X_ \to ^ \to Y $是集值映射，定义集值隐函数$ G:P_ \to ^ \to X $如下：

进一步，设f：P×X→Y是单值映射，K⊂Y是顶点在原点的尖闭凸锥，A⊂Y，y∈A，称y是A关于K的有效点(efficient point)当且仅当(y-K)∩A={y}.A的有效点的集合记为Eff_KA，规定Eff_KØ=Ø.

考虑参数向量优化问题：

其中：x是未知的决策变量，p是参数.任意的p∈P，分别令

和

则$ \mathscr{F}:P_ \to ^ \to Y 和 \mathscr{S} :P_ \to ^ \to X $分别称为参数向量优化问题(2)的有效点映射(efficient point multifunction)和有效解映射(efficient solution map).注意到，有效解映射S可以写成集值隐函数的形式，即

其中$ H:P \times X_ \to ^ \to Y $定义为

事实上H是由目标函数f和有效点映射$ \mathscr{F} $构成的集值映射.以下记H_p(·)：=H(p，·).

定理1  设X和Y是Banach空间，P是度量空间，f：P×X→Y是单值映射，K⊂Y是顶点在原点的尖闭凸锥，$ \mathscr{F}:P_ \to ^ \to Y 和 \mathscr{S} :P_ \to ^ \to X $分别是参数向量优化问题(2)的有效点映射和有效解映射，$ H:P \times X_ \to ^ \to Y $是由(3)式定义的集值映射.进一步，(p，x)∈P×X且(p，x)∈gph$ \mathscr{S} $.若存在常数r＞0，满足下列条件：

(i) 任意的p∈B(p，r)，集值映射H_p是闭的；

(ii) 常数

其中： D_c^*是Clarke上导数，任意的δ＞0，Π_δ(0；H_p(x))：={y∈H_p(x)|║y║＜d(0，H_p(x))+δ}，J_δ(y)：={y^*∈S_Y^*|d(y^*，J(y))＜δ}；

(iii) 任意的(p，x)∈B(p，r)×B(x，r)，集值映射H(·，x)在p是下半连续的.

则存在常数s∈(0，r)，使得集值映射$ \mathscr{\tilde S} :P_ \to ^ \to X $在B(p， s)上是非空下半连续的，其中$ \mathscr{\tilde S} $的定义为

即有效解映射$ \mathscr{S} $在开球上的限制在p周围是非空下半连续的.

证  因为(p，x)∈gph$ \mathscr{S} $，所以0∈H(p，x).由条件(iii)，存在常数ρ＞0满足

从而

任取常数s∈(0，min{r，ρ})，下面证明集值映射$ \mathscr{\tilde S} $在B(p，s)上是非空且下半连续的.

1) 任意的p∈B(p，s)，我们证明$ \mathscr{\tilde S} $(p)非空.定义函数φ：X×Y→ℝ如下：

由条件(i)，φ在X×Y上是下半连续的.

若φ(x，0)=0，则0∈H_p(x)，故x∈$ \mathscr{ S} $(p)，从而x∈$ \mathscr{ S} $(p)∩intB(x，r)，即$ \mathscr{\tilde S} $(p)≠Ø.

若φ(x，0)≠0，则0∉H_p(x)，从而d(0，H(p，x))＞0，令ε：=d(0，H(p，x))，则

任取α∈(0，r-ε)且$ \frac{{\varepsilon + \alpha }}{r} ＜ {k_r} $，由距离函数的定义，存在y∈H_p(x)使得

令β：=φ(x，y)=║y║，任意的$ t \in \left( {\frac{{\varepsilon + \alpha }}{r}, {k_r}} \right) $，易知

显然

任意$ \eta \in \left( {0, \frac{1}{{{k_r}}}} \right) $，在乘积空间X×Y中使用范数║(x，y)║_η：=║x║+η║y║.由文献[3]定理2.26中的Ekeland变分原理，存在$ \left( {\hat x, \hat y} \right) \in X \times Y $使得

且

从而

且

进一步，

即

下面证明$ 0 \in {H_p}\left( {\hat x} \right) $.假设$ 0 \notin {H_p}\left( {\hat x} \right) $，则$ \hat y \ne 0 $.定义函数ψ：X×Y→ℝ为

由(4)式易知，$ \left( {\hat x, \hat y} \right) $是函数ψ+δ_gphHp在X×Y上的极小值点.注意到$ \hat y \ne 0 $，由文献[4]命题1.114得

故存在$ {y_1}* \in J\left( {\hat y} \right) $和(x₂^*，y₂^*)∈B_X^*×B_y^*满足

显然

令

则$ \left( {\tilde x^*, - \tilde y^*} \right) \in {N_c}\left( {\left( {\hat x, \hat y} \right);{\rm{gph}}{H_p}} \right) $，由Clarke上导数的定义可知$ \tilde x^* \in {D_c}^*{H_p}\left( {\hat x, \hat y} \right)\left( {\tilde y^*} \right) $.任意的$ y \in {H_p}\left( {\hat x} \right) $，由(4)式得

从而

故

进一步，

由于

故

从而

任意的δ＞0，只要η选取得充分小，由(6)，(7)和(8)式得

令δ↓0，则$ \parallel \tilde x^*\parallel \le t ＜ {k_r} $，这与条件(ii)矛盾，故$ 0 \in {H_p}\left( {\hat x} \right), 即 \hat x \in S\left( p \right) $.结合(5)式，可得$ \hat x \in \mathscr{\tilde S}\left( p \right) $，从而$ \mathscr{\tilde S} $(p)≠Ø.

2) 任意的p∈B(p，s)，下面证明$ \mathscr{\tilde S} $在p是下半连续的.事实上，只需证明：任意的$ x \in \mathscr{\tilde S}\left( p \right) $和任意的$ \tilde \varepsilon > 0 $，存在常数t＞0使得

因为x∈$ \mathscr{\tilde S} $(p)，所以(p，x)∈gph$ \mathscr{ S} $，x∈intB(x，r).任取$ \gamma \in \left( {0, \min \left\{ {r, \tilde \varepsilon } \right\}} \right) $满足B(x，γ)⊂B(x，r)和B(p，γ)⊂B(p，r).用(p，x)代替(p，x)，用常数γ代替常数r，用球B(x，γ)，B(0，γ)和B(p，γ)分别代替球B(x，r)，B(0，r)和B(p， r)，由条件(i)，(ii)和(iii)，分别得到下列结论：

① 任意的p′∈B(p，γ)⊂B(p，r)，集值映射H_p′是闭的；

② 任意的p′∈B(p，γ)⊂B(p，r)，任意的$ x' \in B\left( {x, \gamma } \right)\backslash \mathscr{ S}\left( {p'} \right) \subset B\left( {\overline x , r} \right)\backslash \mathscr{ S}\left( {p'} \right) $，任意的y′∈Π_δ(0；H_p′(x′))∩B(0，γ)⊂Π_δ(0；H_p′(x′))∩B(0，r)，任意的y^*∈J_δ(y′)，任意的x^*∈D_c^*H_p′(x′， y′)(y^*)，均有

从而

③ 任意的(p′，x′)∈B(p，γ)×B(x，γ)⊂B(p，r)×B(x，r)，集值映射H(·，x′)在p′是下半连续的.

由上述结论，类似1)中的证明，存在常数t∈(0，γ)使得

因为$ {\mathop{\rm int}} B\left( {x, \gamma } \right) \subset {\mathop{\rm int}} B\left( {\overline x , r} \right) \cap {\mathop{\rm int}} B\left( {x, \tilde \varepsilon } \right) $，由(9)式可得

即

注1  从定理1的证明过程可以看出，若将H换成一般的集值映射$ F:P \times X_ \to ^ \to Y $，将有效解映射$ \mathscr{ S} $换成(1)式中的集值隐函数G，则类似可以证明：集值隐函数G在开球上的限制在给定点p周围是非空下半连续的，即定理1的结论不仅对参数向量优化问题的有效解映射成立，对一般的集值隐函数也成立.

由定理1可知，若H满足一定的条件，则有效解映射$ \mathscr{ S} $在开球上的限制在给定点周围是非空下半连续的.而H是由f和$ \mathscr{ F} $构成的，故可以将定理1中的关于H的条件换为由f和$ \mathscr{ F} $刻画的条件，从而得到定理2.

定理2  设X和Y是Banach空间，P是度量空间，f：P×X→Y是连续单值映射，K⊂Y是顶点在原点的尖闭凸锥，$ \mathscr{F}:P_ \to ^ \to Y 和 \mathscr{S} :P_ \to ^ \to X $分别是参数向量优化问题(2)的有效点映射和有效解映射$ H:P \times X_ \to ^ \to Y $是由(3)式定义的集值映射.进一步，(p，x)∈P×X且(p，x)∈gph$ \mathscr{ S} $.若存在常数r＞0，满足定理1的条件(ii)和下列条件：

(i) 集值映射$ \mathscr{ F} $是闭的；

(ii) 任意的p∈B(p，r)，集值映射$ \mathscr{ F} $在p是下半连续的.

则存在常数s∈(0，r)，使得集值映射$ \mathscr{\tilde S}:P_ \to ^ \to X $在B(p，s)上是非空下半连续的，其中$ \mathscr{\tilde S} $的定义为

即有效解映射$ \mathscr{ S} $在开球上的限制在p周围是非空下半连续的.

证  由集值映射$ \mathscr{ F} $是闭的，单值映射f连续，可以证明：任意的p∈B(p，r)，集值映射H_p是闭的，即定理1的条件(i)满足.进一步，任意的(p，x)∈B(p，r)×B(x，r)，由f连续和$ \mathscr{ F} $在p下半连续，可以证明：H(·，x)在p下半连续，即定理1的条件(iii)满足.由定理1可得定理2成立.

最后，讨论一般的集值映射的逆映射在开球上的限制的非空下半连续性.

定理3  设X，P是Banach空间，$ Φ :X_ \to ^ \to P $是集值映射，(x，p)∈X×P且p∈Φ(x).若Φ是闭的且存在常数r＞0，使得对任意的δ＞0，有

其中：Π_δ(0；Φ(x)-p)：={y∈Φ(x)-p|║y║＜d(0，Φ(x)-p)+δ}，J_δ(y)：={y^*∈S_Y^*|d(y^*，J(y))＜δ}.则存在常数s∈(0， r)使得由

定义的集值映射$ {\tilde \Phi ^{ - 1}}:P_ \to ^ \to X $在B(p，s)上是非空下半连续的.

证  令Y：=P，定义$ F:P \times X_ \to ^ \to Y和 G:P_ \to ^ \to X $分别为

和

显然

容易验证定理1的所有条件满足.事实上，p∈Φ(x)等价于(p，x)∈gphG.记F_p(·)：=F(p，·).易知gphF_p=gphΦ-(0，p)，∀p∈P.因为Φ是闭的，所以任意的p∈P，F_p是闭的，从而定理1的条件(i)满足.进一步，可以证明

从而

故

即定理1的条件(ii)满足.由F的定义易知，任意的(p，x)∈B(p，r)×B(x，r)，集值映射F(·，x)在p是下半连续的，即定理1的条件(iii)满足，由定理1和注1可得定理3成立.