Convergence Analysis of Proximal Point Algorithm for a Strongly Pseudomonotone Equilibrium Problem

设C为Hilbert空间H的非空闭凸子集, f:C×C→ℝ为二元函数, f在C上单调, γ-强单调, 伪单调和γ-强伪单调的定义参见文献[1, 10].

定义1^[10]  设f:C×C→ℝ为二元函数, 称f满足Lipschtiz-型条件：如果存在常数c₁＞0, c₂＞0使得

为了方便描述和证明, 假设f:C×C→ℝ满足下列条件：

(A1) f(x, x)=0, ∀x∈C;

(A2) f(x, y)是γ-强伪单调映象;

(A3) f(x, y)在C上满足Lipschtiz-型条件;

(A4) 对任意x∈C, f(x, ·)是凸的且下半连续, 并满足$ \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} f\left( { \boldsymbol{\cdot} , tz + \left( {1 - t} \right)y} \right) = f\left( {\boldsymbol{\cdot} , \forall y, z \in C} \right) $.

设g：C→ℝ为一适当的凸且下半连续泛函, 且常数λ＞0.定义如下近似函数

引理1^[11]  对任意x∈H, y∈C和常数λ＞0, 有下列不等式：

由引理1, 如果x=Prox_λg(x), 则有$ x \in \arg \;\rm{min}\left\{ {{\rm{g}}\left( y \right):y \in C} \right\}: = \left\{ {x \in C:g\left( x \right) = \mathop {\min }\limits_{y \in C} g\left( y \right)} \right\} $成立.

引理2^[11]  设H为一实Hilbert空间, 对λ∈[0, 1], 有下列不等式：

定理1  设C为Hilbert空间H的非空闭凸子集, 且f:C×C→ℝ满足条件(A1)-(A4).如果记x^*为均衡问题(1)的解, 且γ≥c₂, 则由式(2)定义的序列{x_n}满足不等式

证  由式(2)和近似函数的定义得

其中

再结合优化条件可知

即存在

使得

即

因为f(w_n, ·)是凸函数, 所以f_n(x)为强凸函数, 则

其中任意g_n∈∂f_n(y_n).取x=x^*, g_n=g_n^*, 结合式(4)和式(5)得

进一步结合f_n(x)的定义和条件(A3)得

又因为f(x, y)是强伪单调映射且

所以

由式(7)可得

进一步整理得

类似地, 由式(2)和(6)得

并结合式(7)和条件(A3)得

进一步整理得

由条件γ≥c₂, 式(8)和(10)可得

又因为

由式(11)和(12)可得

同时, 由式(2)和引理2得

并且

结合式(13)，(14)和(15)得

定理2  设C为Hilbert空间H的非空闭凸子集, 且f:C×C→ℝ满足条件(A1)-(A4).如果序列$ \left\{ {{\lambda _n}} \right\}_{n = 1}^\infty 和 \left\{ {{\theta _n}} \right\}_{n = 1}^\infty $满足条件λ_n-1≤λ_n, θ_n≤θ_n-1, 并且

则由式(2)定义的迭代序列{x_n}强收敛到强伪单调均衡问题(1)的唯一解x^*∈Ω.

证  由定理1, 式(16)整理得

其中

且

因为

结合θ_n≤θ_n-1和式(17)得

利用式(19)，(20)得A_n-1B_n-C_n≥0, 结合式(20)进一步可得

不难验证

又因为

所以

即{x_n}强收敛到强伪单调均衡问题(1)的唯一解x^*∈Ω.

定理3  设C为Hilbert空间H的非空闭凸子集, 且f:C×C→ℝ满足条件(A1)-(A4).对任意给定x₀∈C, 如下定义近似点序列{x_n}：

其中$ 0 ＜ {\lambda _{n - 1}} \le {\lambda _n} ＜\frac{1}{{2{c_1}}}且 \gamma \ge {c_2} $, 则序列{x_n}强收敛到强伪单调均衡问题(1)的唯一解x^*∈Ω.

证  取θ_n=0, 即w_n=x_n, 惯性-近似方法(2)退化为近似点逼近算法(23), 结论由定理2类似可证.