New Traveling Wave Solutions for a Class of Nonlinear Reaction Diffusion Equations

对于非线性数学物理方程，为求它们的精确行波解，首先要把这些方程约化成非线性常微分方程.在很多情形下，这些非线性常微分方程是多项式形式.对于多项式型的非线性微分方程，可以分为两类：一类是秩齐次的，另一类是秩非齐次的.下面给出秩非齐次方程的多项式试探方程法的主要步骤

第一步：对于所考虑的非线性方程

作行波变换，u(x，t)=u(ξ)，ξ=kx+ωt，则方程(2)约化为

第二步：取试探方程

其中系数a_i(i=0，1，2，…，m)为常数.由式(4)可导出

以及u⁴等其它导数项.将这些项带入式(3)中，得到一个u的多项式G(u)

根据平衡原则能确定m的值.

第三步：令G(u)的系数都是零，得到一个代数方程组

解方程组(5)，可确定a₀，a₁，a₂，…，a_m的值.

第四步：将式(4)化成初等积分形式

容易求出方程(6)的所有解的分类，从而写出方程(2)相应的精确行波解.

对方程(1)作行波变换，u(x，t)=u(ξ)，ξ=kx+ωt，则方程(1)约化为

假设方程(7)有色散关系ω=-δk²-λβ，将ω代入方程(7)，整理得

根据项的秩的定义，由于方程(8)中各项的秩的取值为奇数与偶数混合，故方程(8)为秩非齐次方程，按照秩非齐次方程的多项式试探方程法，取试探方程

其中系数a_i(i=0，1，2，…，m)为常数.由式(9)可导出

将式(9)，(10)代入式(8)，并利用平衡原则得m=2，此时试探方程(9)为

然后将得到的试探方程(11)带入式(9)得到关于u的一个多项式方程

其中

为了确定参数a₀，a₁，a₂，k，ω，令方程(12)中u的各次项系数都为零，得非线性代数方程组

其中ω=-(δk²+λβ).下面分4种情形进行讨论：

情形1    当α=0，β≥0时，方程组(13)无解，即得非线性反应扩散方程(1)无解.

情形2    当α=0，β＜0时，解非线性代数方程组(13)得试探方程(11)里多项式的系数，分别有如下2种情形：

1) a₀=0，a₁=1，${a_2} = \pm \sqrt {\frac{{ - 1}}{\beta }} $，此时试探方程(11)变为

将式(14)写成积分形式

解积分式(15)得到非线性反应扩散方程(1)的精确行波解为

其中：ξ=kx+ωt，ξ₀=kx₀+ωt₀，k²=$\frac{{\lambda \beta }}{{2\delta }}$，$\omega = \frac{{3\lambda \beta }}{2}$，β＜0，λδ＜0.

2) a₀=0，a₁=12，${a_2} = \pm \sqrt {\frac{{ - 1}}{{4\beta }}} $，此时非线性反应扩散方程(1)的精确行波解为

其中：ξ=kx+ωt，ξ₀=kx₀+ωt₀，k²=$\frac{{2\lambda \beta }}{\delta }$，ω=-3λβ，β＜0，λδ＜0.

情形3    当α≠0，β≠0时，解非线性代数方程组(13)得试探方程(11)里多项式的系数，分别有如下4种情形：

1) a₀=βa₂，a₁=αa₂，${a_2} = - \frac{{\lambda \alpha }}{{2\left( {\sigma {k^2} + \lambda \beta } \right)}}$，其中${k^2} = \frac{{ - \lambda \left[ {{\alpha ^2} + 4\beta \pm \sqrt {{\alpha ^2}\left( {{\alpha ^2} + 8\beta } \right)} } \right]}}{{4\delta }}$，λδ＜0，$ - \frac{{{a^2}}}{8} \le \beta $，此时又有3种情形：

(a) 当$\beta = \frac{{{a^2}}}{4}$时，非线性反应扩散方程(1)的精确行波解为

其中：ξ=kx+ωt，ξ₀=kx₀+ωt₀，k²=$\frac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\lambda {\alpha ^2}}}{{ - 4\delta }}$，ω=-δk²-λβ，λδ＜0.

(b) 当$ - \frac{{{a^2}}}{8} \le \beta < \frac{{{a^2}}}{4}$时，非线性反应扩散方程(1)的精确行波解为

其中：ξ=kx+ωt，ξ₀=kx₀+ωt₀，${k^2} = \frac{{ - \lambda \left[ {{\alpha ^2} + 4\beta \pm \sqrt {{\alpha ^2}\left( {{\alpha ^2} + 8\beta } \right)} } \right]}}{{4\delta }}$，ω=-δk²-λβ，λδ＜0.

(c) 当$\beta > \frac{{{a^2}}}{4}$时，非线性反应扩散方程(1)的精确行波解为

其中：ξ=kx+ωt，ξ₀=kx₀+ωt₀，${k^2} = \frac{{ - \lambda \left[ {{\alpha ^2} + 4\beta \pm \sqrt {{\alpha ^2}\left( {{\alpha ^2} + 8\beta } \right)} } \right]}}{{4\delta }}$，ω=-δk²-λβ，λδ＜0.

2) a₀=0，a₁=-2βa₂²，${a_2} = - \frac{{\lambda \alpha }}{{\sigma {k^2} - 2\lambda \beta }}$，此时非线性反应扩散方程(1)的精确行波解为

其中：ξ=kx+ωt，ξ₀=kx₀+ωt₀，${k^2} = \frac{{\lambda \left[ {{\alpha ^2} - 2\beta \pm \sqrt {{\alpha ^2}\left( {{\alpha ^2} - 4\beta } \right)} } \right]}}{{ - \delta }}$，ω=-δk²-λβ，λδ＜0，α²＞4β.

3) a₀=0，a₁=1，${a_2} = - \frac{{\lambda \alpha }}{{\lambda \beta - 2\sigma {k^2}}}$，此时非线性反应扩散方程(1)的精确行波解为

其中：ξ=kx+ωt，ξ₀=kx₀+ωt₀，$\;{k^2} = \frac{{\lambda \left[ {{\alpha ^2} - 2\beta \pm \sqrt {{\alpha ^2}\left( {{\alpha ^2} - 4\beta } \right)} } \right]}}{{ - 4\delta }}$，ω=-δk²-λβ，λδ＜0，α²≥4β.

4) a₀=0，a₁=1，a₂=$\frac{1}{{2\alpha }}$，此时非线性反应扩散方程(1)的精确行波解为

其中：ξ=kx+ωt，ξ₀=kx₀+ωt₀，${k^2} = \frac{{ - 2\lambda {\alpha ^2}}}{\delta }$，ω=4λα²，λδ＜0，β=-2α².

情形4    当α≠0，β=0时，解方程组(13)得：a₀=0，a₁=1，${a_2} = \frac{1}{\alpha }$，此时非线性反应扩散方程(1)的精确行波解为

其中：ξ=kx+ωt，ξ₀=kx₀+ωt₀，${k^2} = - \frac{{\lambda {\alpha ^2}}}{{2\delta }}$，$\omega = \frac{{\lambda {\alpha ^2}}}{2}$，λδ＜0.

当δ=-1，λ=1，α=-1，β=0时，方程(1)为Huxley方程u_t-u_xx+u³-u²=0.利用上面方程(1)的结果并且取ξ₀=0，则可以直接得到Huxley方程的精确行波解为

当δ=-1，λ=1，α=0，β=-1且λ＞0时，方程(1)为Chaffee-Infanfe方程u_t-u_xx+λ(u³-u)=0.利用上面方程(1)的结果并且取ξ₀=0，则可以直接得到Chaffee-Infanfe方程的精确行波解为

当$\delta = - \frac{1}{2}$，λ=1，α=-2r，β=r²-1且-1＜r＜0时，方程(1)为Fitzhugh-Nagumo方程u_t-$\frac{1}{2}$u_xx+u³-2ru²+(r²-1)u=0.利用上面方程(1)的结果并且取ξ₀=0，则可以直接得到Fitzhugh-Nagumo方程的精确行波解为

当δ=-d，λ=b，α=0，β=-1时，方程(1)为广义Fisher方程u_t-du_xx+bu³-bu=0.利用方程(1)的结果并且取ξ₀=0，则可以直接得到广义Fisher方程的精确行波解为

本文利用秩非齐次方程的多项式试探方程法研究一类非线性反应扩散方程的行波解，获得了一系列新的tanh-型和coth-型行波解，接着利用该方程得到的结果求得了Huxley方程、Chaffee-Infanfe方程、Fitzhugh-Nagumo方程以及广义Fisher方程的行波解，其中Huxley方程的解与Chaffee-Infanfe方程的解分别和文献[11]与文献[12]得到的解一致.