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我们考虑测度中立型泛函微分方程
的稳定性，其中D[N(xt，t)]和Dg(t)是N(xt，t)和g(t)的分布导数，xt(θ)=x(t+θ)，θ∈[-r，0]，t∈[t0，+∞)，且N是一个线性的非自治算子.测度微分方程已经被很多学者研究[1-4].文献[5]建立了测度泛函微分方程的Lyapunov定理.文献[6]建立了测度微分方程和时间尺度上动力方程的Lyapunov稳定性.文献[7-9]利用非单调Lyapunov泛函研究了滞后型方程的稳定性.文献[10]在不利用Lyapunov泛函方法的情况下研究了多变时滞Volterra型动力系统的稳定性.文献[11]利用Lyapunov泛函研究了一类潜伏期和传染病期均传染的SEIQR流行病模型的稳定性.文献[12]通过Lyapunov泛函建立了非自治泛函微分方程的渐近稳定性定理.文献[13]运用广义常微分方程的变差稳定性和Lyapunov泛函建立了变差脉冲泛函微分方程的稳定性定理.
设[a，b]⊂ℝ是一个紧区间，函数f：[a，b]→ℝn为[a，b]上的正则函数是指函数f的左右极限
$f\left( {{t^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} f(t + \varepsilon )(t \in [a, b)), f\left( {{t^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ - }} f(t + \varepsilon )(t \in (a, b])$ 分别存在.用G([a，b]，ℝn)表示所有正则函数f：[a，b]→ℝn所成的空间，用G-([a，b]，ℝn)表示空间G([a，b]，ℝn)中所有有界左连续函数的集合，定义范数${\left\| f \right\|_\infty } = \mathop {\sup }\limits_{a \le t \le b} \left\| {f\left( t \right)} \right\|$ ，则G-([a，b]，ℝn)是Banach空间.设ℝ+={z∈ℝ：z≥0}，若b：ℝ+→ℝ+是单调递增函数，且b(0)=0，则称函数b是Hahn class函数.
设r＞0，给定一个函数y：ℝ→ℝn，设yt∈G-([-r，0]，ℝn)，定义yt(θ)=y(t+θ)，θ∈[-r，0]，t∈ℝ.则对于t0≥0及函数y∈G-([t0-r，+∞)，ℝn)，有yt∈G-([-r，0]，ℝn)，t∈[t0，+∞).
方程(1)的积分形式为
其中右边的积分是关于不减函数g：[t0，+∞)→ℝ的Kurzweil-Henstock-Stieltjes积分，N是线性非自治算子，被定义为
其中函数μ：ℝ×ℝ→ℝn×n是可测的正规化函数，并且μ在θ∈(-r，0)上是左连续函数，在θ∈[-r，0]上是有界变差的，且μ在[s，0]上的全变差var[s，0]μ→0(s→0)，φ∈G-([-r，0]，ℝn)，t∈ℝ.由(3)式，(2)式可改写为
(4) 式右边的积分可以是Riemann-Stieltjes积分、Lebesgue-Stieltjes积分或Kurzweil-Henstock-Stieltjes积分[14].
设O⊂G-([t0-r，+∞)，ℝn)是开集，O具有延拓性质是指对每个y∈O，
$\tilde t$ ∈[t0，+∞)，都有ỹ∈O，其中函数ỹ定义为：ỹ(t)=y(t)，t0-r≤t≤$\tilde t$ ；ỹ(t)=y($\tilde t$ )，$\tilde t$ ＜t＜+∞.特别地，G-([t0-r，+∞)，ℝn)中的任意开球都具有延拓性质.假设函数f：P×[t0，+∞)→ℝn，P={yt：y∈O，t∈[t0，+∞)}⊂G-([-r，0]，ℝn)，g：[t0，+∞)→ℝ是不减函数，且满足以下条件：
(H1)对每个y∈O，t∈[t0，+∞)，Kurzweil-Henstock-Stieltjes积分
$\int_{{{t}_{0}}}^{t}{f}\left( {{x}_{s}},s \right)\text{d}g(s)$ 存在；(H2)存在关于函数g的局部Kurzweil-Henstock-Stieltjes可积函数M：[t0，+∞)→ℝ+，使得对每个x∈P，u1，u2∈[t0，+∞)，有
(H3)存在关于函数g的局部Kurzweil-Henstock-Stieltjes可积函数L：[t0，+∞)→ℝ+，使得对每个x，y∈P，u1，u2∈[t0，+∞)，有
假设正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝn×n满足以下条件：
(H4) μ(t，·)在(-r，0)上是左连续的，在[-r，0]上是有界变差的，并且μ(t，·)的全变差var[s，0]μ(t，·)→0(s→0)；
(H5)存在一个局部Kurzweil-Henstock可积函数C：[t0，+∞)→ℝ+，使得对每个u1，u2∈[t0，+∞)，z∈O，有
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定义1[15] 函数Q：[a，b]×[a，b]→ℝn在区间[a，b]上Kurzweil可积是指：存在I∈ℝn，使得对任意的ε＞0，存在正值函数δ：[a，b]→(0，+∞)，且对[a，b]上的任何δ(τ)-精细分划D={(τi，[αi-1，αi])}i=1n，有
其中τi∈[αi-1，αi]⊂[τi-δ(τi)，τi+δ(τi)].称I∈ℝn为Q在[a，b]上的Kurzweil积分，记作
$I = \int_a^b {\rm{D}} Q(\tau , t)$ .特别地，当Q(τ，t)=f(τ)g(t)时，设E：Ω→ℝn，Ω=O×[t0，+∞).
定义2[15] 函数x：[α，β]→ℝn为广义常微分方程
在区间[α，β]⊂[t0，+∞)上的解是指：对每个γ，v∈[α，β]，(x(t)，t)∈Ω，t∈[α，β]，有
设集合O=Bc={x∈G-([t0-r，+∞)，ℝn)：‖x‖≤c，c＞0}具有延拓性质，且
引入概念[·，·，·]，其中对于a≤c，有：[a，b，c]=b，b∈[a，c]；[a，b，c]=a，b≤a；[a，b，c]=c，b≥c.对于每个y∈Bc，t∈[t0，+∞)，ϑ∈[t0-r，+∞)，定义函数
设函数F：Bc×[t0，+∞)→G-([t0-r，+∞)，ℝn)定义为
其中y∈Bc，t∈[t0，+∞)，ϑ∈[t0-r，+∞).假设函数f：P×[t0，+∞)→ℝn满足条件(H1)，(H2)，(H3)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝn×n满足条件(H4)，(H5)，则由文献[15]的定义3.8，对于s1，s2∈[t0，+∞)，x，y∈Bc，有
及
其中不减函数h：[t0，+∞)→ℝ定义为
其中
$\tilde z$ ∈G-([t0-r，+∞)，ℝn).显然函数F∈$\mathfrak{J}$ (Ω，h)，其中F由(6)式给出，Ω=Bc×[t0，+∞).
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设Eρ={y∈G-([-r，0]，ℝn)：‖y‖≤ρ}及Bρ={x∈G-([t0-r，+∞)，ℝn)：‖x‖≤ρ}，0＜ρ＜c.
假设测度中立型泛函微分方程(1)中的函数f：P×[t0，+∞)→ℝn使得f(0，t)=0，t∈[t0，+∞)，则y≡0是测度中立型泛函微分方程(1)在[t0-r，+∞)上的解.
定义3 设y≡0是测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解，
(ⅰ)若对任意的t0≥0，ε＞0，存在δ=δ(ε，t0)＞0，使得对φ∈P及测度中立型泛函微分方程(4)在[t0-r，v]上的解y：[t0-r，v]→ℝn，有yt0=φ且‖φ‖＜δ，则‖yt(t0，φ)‖＜ε，t∈[t0，v]，则y是稳定的；
(ⅱ)若(ⅰ)中的数δ关于t0是独立的，则y是一致稳定的；
(ⅲ)若存在δ0＞0，对每个ε＞0，存在T=T(ε)≥0，使得对φ∈P及测度中立型泛函微分方程(4)在[t0-r，v]上的解y：[t0-r，v]→ℝn，有yt0=φ且‖φ‖＜δ0，则‖yt(t0，φ)‖＜ε，t∈[t0，v]∩[t0+T，+∞)，则y是一致渐近稳定的.
给定t≥t0和函数ψ∈G-([-r，0]，ℝn)，方程(4)的初值条件为yt=ψ.由文献[14]的定理5.2，存在唯一解y：[t-r，v]→ℝn，[t-r，v]⊂[t-r，+∞).则由文献[14]的定理4.4，可以找到广义常微分方程
关于初值条件x(t)=
$\tilde x$ 的解x：[t，v]→G-([t，v]，ℝn)，其中F：Bc×[t0，+∞)→G-([t0-r，+∞)，ℝn)由(6)式给出，且则x(t)(t+θ)=y(t+θ)，θ∈[-r，0]，即(x(t))t=yt.因此对每个η≥0，yt+η=yt+η(t，ψ)，则泛函U：[t0，+∞)×G-([-r，0]，ℝn)→ℝ的右导数定义为
由(9)式，存在广义常微分方程(8)的唯一解x：[t，v]→G-([t，v]，ℝn)，使得x(t)=
$\tilde x$ ，[t，v]⊂[t0，+∞).由文献[14]的定理4.5，存在测度中立型泛函微分方程(4)的解y：[t-r，v]→ℝn，满足yt=ψ，在这种情况下，用xψ(t)替换x(t)，有yt(t，ψ)=(xψ(t))t=ψ.则(t，xψ(t))→(t，yt(t，ψ))是一一对应映射，并且可以定义泛函V：[t0，+∞)×G-([t0-r，+∞)，ℝn)→ℝ为则有
注1 给定t≥t0，由
则有‖yt(t，ψ)‖=‖xψ(t)‖.
引理1 考虑测度中立型泛函微分方程(4)，其中g：[t0，+∞)→ℝ是不减函数，f：P×[t0，+∞)→ℝn满足条件(H1)，(H2)，(H3)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝn×n满足条件(H4)，(H5).假设U：[t0，+∞)×Eρ→ℝ满足以下条件：
(ⅰ) U(t，0)=0，t∈[t0，+∞)；
(ⅱ)存在常数K＞0，使得|U(t，ψ)-U(t，ψ)|≤K‖ψ-ψ‖，t∈[t0，+∞)，ψ，ψ∈Eρ.则函数V：[t0，+∞)×Bρ→ℝ由(10)式给定，满足条件：
(ⅲ) V(t，0)=0，t∈[t0，+∞)；
(ⅳ)对于常数K＞0，有|V(t，z)-V(t，z)|≤K‖z-z‖，t∈[t0，+∞)，z，z∈Bρ.
证 给定t≥t0，ψ，ψ∈Eρ.设
$y, \bar{y}, \hat{y}:[t-r, +\infty )\to {{\mathbb{R}}^{n}}$ 是测度中立型泛函微分方程(4)的解，使得${y_t} = \psi , {\bar y_t} = \bar \psi , {\hat y_t} = 0$ .设$x, \bar x, \hat x$ 是广义常微分方程(8)在[t，+∞)上关于$y, \bar y, \hat y$ 的解，则由注1，
${x_\psi }(t), {x_{\bar \psi }}(t) \in {\bar B_\rho }$ .设$V:\left[ {{t}_{0}}, +\infty \right)\times {{\bar{B}}_{\rho }}\to \mathbb{R}$ 由(10)式给出.由于对所有ϑ∈[t0-r，+∞)，有$\hat x\left( t \right)\left( \vartheta \right) = 0$ ，即$\hat{x}(t)\equiv 0$ ，由条件(ⅰ)，有$0=U(t, 0)=U\left( t, {{{\hat{y}}}_{t}}(t, 0) \right)=V(t, \hat{x}(t))=V(t, 0)$ .由条件(ⅱ)，有则由注1，有
显然，对于t≥t0，z，z∈Bρ，存在广义常微分方程(8)的解x，x，并且ψ，ψ∈G-([-r，0]，ℝn)，使得
由注1，有
则由(12)式，有|V(t，z)-V(t，z)|≤K‖z-z‖.
定理1 设g：[t0，+∞)→ℝ是不减函数，f：P×[t0，+∞)→ℝn满足条件(H1)，(H2)，(H3)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝn×n满足条件(H4)，(H5).假设函数U：[t0，+∞)×Eρ→ℝ在(t0，+∞)上是左连续的，且满足以下条件：
(ⅰ) U(t，0)=0，t∈[t0，+∞)；
(ⅱ)存在常数K＞0使得|U(t，ψ)-U(t，ψ)|≤K‖ψ-ψ‖，t∈[t0，+∞)，ψ，ψ∈Eρ；
(ⅲ)存在Hahn class函数b：ℝ+→ℝ+，使得对所有t≥t0及ψ∈Eρ，有U(t，ψ)≥b(‖ψ‖)；
(ⅳ)对每个t≥t0，ψ∈Eρ，不等式D+U(t，ψ)≤0成立.
则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的.
证 由于函数f满足条件(H1)，(H2)，(H3)，正规化函数μ满足条件(H4)，(H5)，则方程(8)中的函数F∈
$\mathfrak{J}$ (Ω，h)，其中F由(6)式给定，Ω=Bc×[t0，+∞)，且不减函数h：[t0，+∞)→ℝ由(7)式给出.设V：[t0，+∞)×Bρ→ℝ由(10)式给定，由引理1，有V(t，0)=0，t∈[t0，+∞)，及|V(t，z)-V(t，z)|≤K‖z-z‖，t∈[t0，+∞)，z，z∈Bρ.由注1及条件(ⅲ)，对于给定的t≥t0，有
测度中立型泛函微分方程(4)的解y：[t-r，+∞)→ℝn满足yt=ψ，则由引理1，有V(t，z)≥b(‖z‖)，z∈Bρ.
由条件(ⅳ)及文献[16]的定理1，则广义常微分方程(8)的平凡解x≡0是变差稳定的.则由文献[16]的定义1，对于每个ε＞0，存在δ=δ(ε)＞0，使得若x：[γ，v]→Bc，t0≤γ＜v＜+∞在[γ，v]上是有界变差函数，并且
$\left\| {\bar x(\gamma )} \right\| < \delta {\rm{及}}{\mathop{\rm var}} _\gamma ^v\left( {\bar x(s) - \int_\gamma ^s {{\rm{D}}}F (\bar x(\tau ), t)} \right) < \delta $ ，则设φ∈P，y：[t0-r，+∞)→ℝn是测度中立型泛函微分方程(4)的关于初值条件yt0=φ的解，假设
下面证明
令yt=yt(t0，φ)，并且定义
由文献[14]的定理4.4，x(t)是广义常微分方程(8)在[t0，+∞)上的解，满足初值条件x(t0)=
$\tilde x$ ，其中并且x(t)在[t0，+∞)上是有界变差的.
由(14)，(17)式，有
由(13)式，对所有t∈[t0，v]，有‖x(t)‖＜ε，其中v∈(t0，+∞).特别地，有‖x(v)‖＜ε.则由(16)式，对任意的t∈[t0，v]，有
则(15)式成立，即测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的.
定理2 设g：[t0，+∞)→ℝ是不减函数，f：P×[t0，+∞)→ℝn满足条件(H1)，(H2)，(H3)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝn×n满足条件(H4)，(H5).假设函数U：[t0，+∞)×Eρ→ℝ满足定理1中的条件(ⅰ)-(ⅲ)，并且假设存在连续函数Λ：ℝ+→ℝ+满足Λ(0)=0及Λ(x)＞0，x≠0，使得对每个ψ∈Eρ，有
则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致渐近稳定的.
证 假设V：[t0，+∞)×Bρ→ℝ由(10)式给出，则文献[16]中定理1的所有条件成立.设函数Φ：Bρ→ℝ被定义为Φ(z)=Λ(‖z‖)，z∈Bρ，则Φ是连续的，且Φ(0)=0及Φ(z)＞0，z≠0.
假设x：[t，+∞)→Bρ是广义常微分方程(8)的解，使得(x(t))t=ψ，其中t∈[t0，+∞)，ψ∈Eρ，并且假设y：[t-r，+∞)→ℝn是测度中立型泛函微分方程(4)的解，使得yt=ψ.由(19)式，有
又由于‖yt‖=‖xψ(t)‖，则由注1，有
并且文献[16]中定理2的条件成立，则广义常微分方程(8)的平凡解x≡0是变差渐近稳定的.由文献[16]的定义1、定义2、定义3，存在δ0＞0，并且对每个ε＞0，存在T=T(ε)≥0及ζ=ζ(ε)＞0，使得若x：[γ，v]→Bc，其中t0≤γ＜v＜+∞在[γ，v]上是有界变差函数并且‖x(γ)‖＜δ0，及
则
给定ε＞0，设δ0＞0及T=T(ε)，设φ∈P，并且y：[t0-r，+∞)→ℝn是测度中立型泛函微分方程(4)的解，使得yt0=φ.假设
下面证明
由(21)式，有
由(20)式，定理1证明中的(18)式成立，即(22)式成立.则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致渐近稳定的.
下面考虑Lyapunov泛函U：[t0-r，+∞)×ℝn→ℝ，并且建立测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解的新稳定性.利用测度中立型泛函微分方程(4)的解定义U的导数为
其中y(s，t，ψ)是测度中立型泛函微分方程(4)的解，满足yt=ψ，ψ∈G-([-r，0]，ℝn).给出一个初值函数ψ∈G-([-r，0]，ℝn)且t≥t0，由文献[14]的定理5.2，存在测度中立型泛函微分方程(4)的唯一解满足yt=ψ，y(t)=ψ(0)，则D+U(t，y(t))可以改写为D+U(t，ψ(0)).
定理3 设g：[t0，+∞)→ℝ是不减函数，f：P×[t0，+∞)→ℝn满足条件(H1)，(H2)，(H3)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝn×n满足条件(H4)，(H5).假设函数U：[t0-r，+∞)×ℝn→ℝ在(t0-r，+∞)上是左连续的，极限
存在，且满足U(t-，y(t-))=U(t，y(t))，其中y∈G-([t0-r，+∞)，ℝn).假设U满足以下条件：
(ⅰ) U(t，0)=0，t∈[t0-r，+∞)；
(ⅱ)对每个a＞0，存在常数Ka＞0，使得
其中Ba={z∈ℝn：‖z‖＜a}；
(ⅲ)存在Hahn class函数b：ℝ+→ℝ+，使得对任意的y∈G-([t0-r，+∞)，ℝn)，t∈[t0，+∞)，有U(t，y(t))≥b(‖yt‖)；
(ⅳ)存在函数Λ：ℝ+→ℝ+，使得对t∈[t0，+∞)，θ∈[-r，0]，ψ∈G-([-r，0]，ℝn)，若U(t+θ，ψ(θ))≤U(t，ψ(0))，有D+U(t，ψ(0))≤-Λ(|ψ(0)|).
则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的.
证 对于s≥t0及ξ∈Eρ，定义
显然对所有s≥t0，有U(s，0)=0.
给定t≥t0，ψ∈Eρ，考虑测度中立型泛函微分方程(4)的解y：[t-r，+∞)→ℝn，使得yt=ψ.由文献[15]的引理3.10，广义常微分方程(8)的解x是左连续的，并且由文献[14]的定理4.5可知y也是左连续的，则函数U(s，y(s))(s∈[t0-r，+∞))是左连续的.由(23)式，有
下面证明D+U(t，ψ)=D+U(t，yt)≤0.设S(t)={U(t+θ，y(t+θ))：θ∈[-r，0]}.
考虑以下两种情况：
情形1 假设U(t，yt)属于S(t)，则存在θ0∈[-r，0]，使得
若θ0=0，则U(t，yt)=U(t，y(t))，由条件(ⅳ)表明D+U(t，yt)≤0.若θ0＜0，由(24)式及θ0的取值，对所有θ0＜θ≤0，有
则对所有足够小的q＞0且q＜|θ0|，有
并且D+U(t，yt)=0.
情形2 假设U(t，yt)不属于S(t)，则有U(t，yt)＞U(t+θ，y(t+θ))，θ∈[-r，0]，并且在[-r，0]上存在收敛数列{θn}n∈N，
${{\left\{ {{\theta }_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}$ ,$\bar \theta = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\theta _n} $ ，使得假设存在可数多个θnk使得θnk＜θ，则
则U(t，yt)∈S(t)，这与U(t，yt)不属于S(t)矛盾，也表明了θ＜0.则对所有n，假设θ＜θn＜0，有
则对所有足够小的q＞0且q＜|θ|，有
因此D+U(t，yt)=0.
下面证明U满足定理1中的条件(ⅱ).对于
$t \ge {t_0}, \hat \psi , \bar \psi \in {\bar E_\rho }, {\rm{及}}\hat y, \bar y$ 是测度中立型泛函微分方程(4)的解，使得${\hat y_t} = \hat \psi , {\bar y_t} = \bar \psi $ ，则或
及
或
其中函数
$\hat \psi , \bar \psi \in {\bar E_\rho }, {\theta _{\hat \psi }}, {\theta _{\bar \psi }}{\rm{及}}{\bar \theta _{\hat \psi }}, {\bar \theta _{\bar \psi }}$ 分别对应于θ0，θ.考虑
${{\bar{B}}_{\rho }}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:\|x\|<\rho \right\}\text{ }$ 及${{B}_{c}}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:\|x\|<c \right\},\rho <c$ .由于$U\left( {{{\left( {t + {{\bar \theta }_{\hat \psi }}} \right)}^ + }.\hat y\left( {{{\left( {t + {{\bar \theta }_{\hat \psi }}} \right)}^ + }} \right)} \right), U\left( {{{\left( {t + {{\bar \theta }_{\bar \psi }}} \right)}^ + }, \bar y\left( {{{\left( {t + {{\bar \theta }_{\bar \psi }}} \right)}^ + }} \right)} \right)$ 存在，条件(ⅱ)表明对所有$\theta \in [ - r, 0], {\bar B_\rho } \subset {B_c}, \hat y(t + \theta ), \bar y(t + \theta ) \in {\bar B_\rho }$ ，有另外，有
则U满足定理1中的所有条件，即测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的.
定理4 设g：[t0，+∞)→ℝ是不减函数，f：P×[t0，+∞)→ℝn满足条件(H1)，(H2)，(H3)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝn×n满足条件(H4)，(H5).假设函数U：[t0-r，+∞)×ℝn→ℝ在(t0-r，+∞)上是左连续的，极限
存在，且满足U(t-，y(t-))=U(t，y(t))，其中y∈G-([t0-r，+∞)，ℝn).假设U满足定理3中的条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，并且存在Hahn class函数d：ℝ+→ℝ+，使得对测度中立型泛函微分方程(4)的每个解y，有
其中s≥t0，且对每个t≥0，有d(t)≥b(t)，其中b由定理3中的条件(ⅲ)给出.另外，假设存在函数Λ：ℝ+→ℝ+满足Λ(0)=0及Λ(x)＞0，x≠0，并且存在连续不减函数p(s)＞s，s＞0，使得对θ∈[-r，0]，t∈[t0，+∞)，ψ∈G-([-r，0]，ℝn)，若U(t+θ，ψ(θ))＜p(U(t，ψ(0)))，有
则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致渐近稳定的.
证 对于s≥t0，ξ∈Eρ，定义
则由定理3的证明，方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的.
设t0≥0，φ∈P，假设y：[t0-r，+∞)→ℝn是测度中立型泛函微分方程(4)的解，满足yt0=φ，记解y(t)=y(t，t0，φ).对于t≥t0，设yt=yt(t0，φ)，并且设ε＞0.由于方程(4)的解y≡0是一致稳定的，即存在δ＞0，使得若‖φ‖＜δ，则‖yt(t0，φ)‖＜ε.则对每个t∈[t0，+∞)，有
其中d是增函数.
假设0＜η≤ε是任意的，需证明存在数T=T(ε，η)＞0，使得‖φ‖＜δ，则对所有t∈[t0+T，+∞)，有‖yt‖≤η.事实上，只需证明对所有t∈[t0+T，+∞)，有U(t，y(t))≤b(η)，其中b由定理3的条件(ⅲ)给定.
首先，找出数T.由函数p(s)的性质，存在数α＞0，使得对b(η)≤s≤d(ε)，有p(s)-s≥α(注意b(η)≤b(ε)≤d(ε)).设
并且定义
$t \in \left[ {{t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\eta }, + \infty } \right)$ ，有U(t，y(t))≤b(η).需证明对所有$t \in \left[ {{t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\eta }, + \infty } \right)$ ，有假设
由
并且有
其中
${t_0} \le t \le {t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\beta }, \theta \in [ - r, 0]$ .由(28)，(29)式，有即
则由(26)式，有
则
并且U(t1，y(t1))＜0，其中
${t_1} = {t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\eta }$ ，这与U是正数矛盾.则注意，当
假设存在
$\bar t > {t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\eta }$ ，使得则D+U(t，y(t))＞0，与D+U(t，y(t))≤0矛盾.则对任意的
$t > {t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\eta }$ ，有设
运用前面的证明方法，有
及
则当t=t0+tn-1时有U(t，y(t))＜0.类似地，也能证明当t≥t0+tn-1时有
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