Edge-Transitive Cyclic Covers of the Complete Graph K_2ⁿ

若无特殊说明，本文提到的图都是度数大于2的无向且连通的单图.对于正整数n，用C_n表示n阶循环群.对于两个群N和H，用N×H表示N与H的直积，用N◦H表示N与H的中心积，用N·H表示N被H的扩张，当这个扩张可裂时，用N:H表示.

引理1^[15]  设Γ=Cos(G，H，HgH)，则下列结论成立：

(ⅰ) Γ为连通图当且仅当〈H，g〉=G；

(ⅱ) Γ为无向图当且仅当g²∈H，此时Γ的度数为|H:H∩H^g|.

反之，每个G-弧传递图都同构于陪集图Cos(G，G_α，G_αhG_α)，其中h为G的2-元素，且h²∈G_α，〈G_α，h〉=G.

引理2^[16]  设Γ为G-点传递局部本原图，N◁G在VΓ上至少有3个轨道，则：

(ⅰ) N在VΓ上半正则，G/N≤AutΓ_N，Γ_N为G/N-局部本原图，且Γ为Γ_N的N-覆盖；

(ⅱ) G_α≌(G/N)_δ，其中α∈VΓ，δ∈VΓ_N.

引理3^[17]  设H为非交换单群T的指数为2ⁿ的真子群，则T≌A_2ⁿ，H≌A_2^n-1，或者T≌PSL(d，p)，H为T的极大抛物子群且 $\frac{{{q}^{d}}-1}{q-1}={{2}^{n}}$ .

引理4  设q，d，n均为正整数，若$\frac{{{q}^{d}}-1}{q-1}={{2}^{n}}$，则d必为素数.

证  假设d不为素数，则d可表示为d=d₁d₂，其中d₁为正整数，d₂为素数.已知

则存在正整数e₁≤e₂＜n，使得

显然2^e₁|(q^d₁-1)，(q^d₁-1)|(q^d₁f-1)(f≥1)，所以2^e₁|(q^d₁f-1)，即存在整数a，使得q^d₁f=2^e₁a+1.故存在整数a₁，a₂，…，a_d2-1，使得

又因为d₂为素数，所以d₂=2，e₁=1.于是1+q+…+q^d₁-1=2^e₁=2，从而d₁=2，q=1，这与q≠1矛盾.故d为素数.

引理5^[18]  设T=PSL(d，q)，若Mult(T)≠C_(d，q-1)，则Mult(T)的取值情况为表 1所示.

构造1  假设2ⁿ-1为素数，m=2^km^′，其中0≤k≤1，m^′|(2^n-1-1).设K=〈a〉≌C_m，T=PSL(2，2ⁿ-1)，〈b，c〉=〈b〉:〈c〉≌C_2ⁿ-1:C_2^n-1-1为T的极大抛物子群.则正规化子N_T(〈c〉)≌D_2ⁿ-2.取N_T(〈c〉)的2阶元记为g.令

引理6  构造1中的图Δ为完全图K_2ⁿ的K×T-弧传递C_m-覆盖.

证  已知〈b，c〉为T的极大抛物子群且g ∉〈b，c〉，则〈b，c，g〉=T.令X=〈E，(a^m′，g)〉，则由T为非交换单群可知1×T^′=1×T⊆X^′，其中T^′，X^′分别为T与X的换位子群.特别地，因为(1，g^-1)，(1，c^-1)∈X，所以(a^m′，1)，(a^2k，1)∈X，从而X=K×T，而Δ为连通图，由E≌C_2ⁿ-1:C_2^n-1-1可知|VΔ|=|K×T:E|=2ⁿm.进一步地，由g∈N_T(〈c〉)可知

从而Δ为2ⁿm阶2ⁿ-1度K×T-弧传递图.

令K×1=N，则N≌C_m为K×T的正规子群.已知E中任意元e都可表示为(a²ⁱ，b^jcⁱ)的形式.若e∈N，则b^jcⁱ=1，于是b^j=cⁱ=1，从而2^n-1|i，a²ⁱ=1.因此e=1，N∩E=1.又因为N半正则且在VΔ上有2ⁿ(＞3)个轨道，由引理2可知，Δ为Δ_N的C_m-覆盖，其中Δ_N≌K_2ⁿ.

构造2  假设2ⁿ-1为素数，m=2^km^′，其中1≤k≤2，m^′|(2^n-1-1).设K=〈a〉≌C_m，S=SL(2，2ⁿ-1)，使得K◦S为中心积且K∩S≌C₂.则存在元素b，c∈S，2阶元g∈N_S(〈c〉)，使得

令

引理7  构造2中的图Λ为完全图K_2ⁿ的K◦S-弧传递C_m-覆盖.

证  类似于引理6的证明，易知K∩F=1且Λ为2ⁿm阶2ⁿ-1度K◦S-弧传递图.由于K在VΛ上有2ⁿ(＞3)个轨道，由引理2知，Λ为Λ_K的弧传递C_m-覆盖.而Λ_K为2ⁿ个点上的2ⁿ-1度图，所以Λ_K≌K_2ⁿ.

定理1  设图Γ为完全图K_2ⁿ的边传递C_m-覆盖，其中n≥3，则Γ为下列图之一：

(ⅰ) Γ≌K_2ⁿ，2ⁿ-2ⁿK₂为2-弧传递图，且m=2；

(ⅱ) Γ为K_2ⁿ的4-重覆盖，且m=4；

(ⅲ) Γ≌Δ(见构造1)为C_m×PSL(2，2ⁿ-1)-局部本原图，且m|(2ⁿ-2)；

(ⅳ) Γ≌Λ(见构造2)为C_m◦PSL(2，2ⁿ-1)-局部本原图，此时m为偶数且m|(2ⁿ⁺¹-4)；

(ⅴ) Γ为C_m×PSL(d，q)-弧传递图，其中m|2(d-1，q-1)，d为大于2的素数，$\left( d, q-1 \right)=1, \frac{{{q}^{d}}-1}{q-1}={{2}^{n}}$；

(ⅵ) Γ为正规边传递凯莱图.

证  已知Γ为完全图K_2ⁿ的边传递C_m-覆盖，不妨设X为Γ的保纤群，K为覆盖变换群，则X作用在Γ上边传递，且K=〈a〉≌C_m为X的正规子群，Y=X/K在Σ=K_2ⁿ上边传递.

若Y在VΣ上3-传递，则Σ为(Y，2)-弧传递图，从而Γ为Σ的2-弧传递C_m-覆盖.由文献[11]的定理1.1知，K≌C₂，Γ≌K_2ⁿ，2ⁿ-2ⁿK₂，或K≌C₄，Γ为K_2ⁿ的4-重覆盖.

若Y在VΣ上不是3-传递的，则由Y在Σ上边传递可知，Y作用在VΣ上2-齐次，从而为本原群.因此Y为几乎单型本原群或者仿射型本原群.以下设Y的基柱为T，α∈VΓ，δ∈VΣ.

当Y为几乎单型本原群时，T在VΣ上传递.显然|T:T_δ|=2ⁿ，因此(T，T_δ)满足引理3的条件.若T=A_2ⁿ，则T为s-传递的(s≥3)，这与Y非3-传递矛盾.故T=PSL(d，p)且$\frac{{{q}^{d}}-1}{q-1}={{2}^{n}}$.此时，T在VΣ上2-传递，进而在Σ上弧传递，于是G=K·T◁X在Γ上弧传递.由于T在VΣ上传递，所以T在VΣ上的点稳定子共轭.不失一般性，不妨设δ=α^K∈VΣ，则

由Γ的顶点个数可知

于是|G_α|=|T_δ|，从而G_α=T_δ.当T=PSL(d，q)且满足条件 $\frac{{{q}^{d}}-1}{q-1}={{2}^{n}}$ 时，由引理4知d为素数.以下对Mult(T)分3种情形进行分析：

情形1  Mult(T)≌C_(d，q-1)且d|(q-1).

由d|(q-1)可知，d|(q²-1)，…，d|(q^d-1-1)，因此

注意到

所以d|2ⁿ，从而d=2.于是q=2ⁿ-1.故T=PSL(2，2ⁿ-1).由G=K·T为中心扩张且Mult(T)≌C₂知G^′≌PSL(2，2ⁿ-1)，SL(2，2ⁿ-1).因为

所以G_α^′=1或G_α^′≌C_2ⁿ-1:C_r，其中r|(2^n-1-1).若G_α^′=1，则G_α≤K/(K∩G^′)为循环群，这与G_α亚循环矛盾.因此G_α^′≌C_2ⁿ-1:C_r.

情形1.1  当G^′≌PSL(2，2ⁿ-1)时，G=K×G^′.因为|VΓ|=2ⁿm，计算可知

所以G^′在VΓ上有$\frac{mr}{{{2}^{n-1}}-1}$个轨道.若$\frac{mr}{{{2}^{n-1}}-1}\ge 3$，则Γ_G^′为G/G^′-局部本原图，这与G/G^′为交换群矛盾.因此$\frac{mr}{{{2}^{n-1}}-1}=1, 2$.设m=2ⁱm^′，其中i=0，1，m^′|(2^n-1-1).因为(m，2ⁿ-1)=1，所以G中每个2ⁿ-1阶元素都可以表示为(1，b)的形式，每个2^n-1-1阶元都可以表示为(a^2ik，c)的形式，其中b，c∈G^′，k|m^′.于是G_α=〈(1，b)，(a^2ik，c)〉.由于(a^2ik，c)^|c|=(a^2ik|c|，1)∈K∩G_α=1，所以|a^2ik||c|，从而|c|=2^n-1-1.取G^′中的2-元素g，则G中的2-元素可以表示为(a^jm′，g)，其中j=0，1.设Γ=Cos(G，G_α，G_α(a^jm′，g)G_α)，由Γ的连通性知，〈G_α，(a^jm′，g)〉=G，所以G^′=〈b，c，g〉，〈a^2ik，a^jm′〉=〈a〉，从而k=j=1.则Γ≌Δ为完全图K_2ⁿ的G-弧传递C_m-覆盖.

情形1.2  当G^′≌SL(2，2ⁿ-1)时，G=K◦G^′，其中K∩G^′≌C₂.计算可得

所以G^′在VΓ上有$\frac{mr}{{{2}^{n}}-2}$个轨道.若$\frac{mr}{{{2}^{n}}-2}\ge 3$，则Γ_G^′为G/G^′-局部本原图，与G/G^′为交换群矛盾.因此$\frac{mr}{{{2}^{n}}-2}=1, 2$.设m=2^lm^′，其中l=1，2，m^′|(2^n-1-1). G中每个2-元素都可以表示为a^sm′h的形式，其中s=0，1，2，h为G^′的2-元素.根据引理1，不妨设Γ=Cos(G，G_α，G_α(a^sm′，h)G_α).类似于情形1.1的分析，易证s=1，Γ≌Λ为完全图K_2ⁿ的G-弧传递C_m-覆盖.

情形2  Mult(T)≌C_(d，q-1)，且d不整除q-1.

因为d为素数，所以(d，q-1)=1，从而C_(d，q-1)=1，即Mult(T)=1.于是G^′≌T，G=K×G^′≌C_m×PSL(d，q)，且Γ为G-弧传递图.若d=2，则${{2}^{n}}=\frac{{{q}^{d}}-1}{q-1}=q+1$，于是q-1=2ⁿ-2，这与d不整除q-1矛盾.故d≥3.

假设G^′在VΓ上至少有3个轨道，则Γ_G^′是G/P-弧传递图，其中P为G作用在G^′-轨道上的核，这与G/G^′≌K为循环群矛盾.故G^′在VΓ上最多有2个轨道.于是G_α/G_α^′≤K/(K∩G^′)=K为循环群，而|G:G_α|=|G^′:G_α^′|，2|G^′:G_α^′|，所以|G_α:G_α^′|=m，$\frac{m}{2}$，从而m|2(d-1，q-1).

情形3  Mult(T)≠C_(d，q-1).

由引理5可知，满足条件$\frac{{{q}^{d}}-1}{q-1}={{2}^{n}}$的Mult(T)不存在，从而图Γ不存在.

当Y为仿射型本原群时，Y=C₂ⁿ，Σ为T上的Y-正规边传递凯莱图，从而Γ为K·T上的X-正规边传递凯莱图.