The Compound Theorem for Piecewise Double-Weighted Pseudo-almost Periodic Functions

现在介绍分段加权伪概周期函数的概念.首先定义集合U为加权函数全体{μ：ℝ→(0，∞)}，则

加权函数具有如文献[2]中定义的加权函数的相关性质，在此将不再赘述.对于ρ，υ∈U_∞，S＞0，f∈PC_T(ℝ，X)，定义

分段双加权遍历空间PPAP_T⁰(X，ρ，υ)和PPAP_T⁰(Ω，X，ρ，υ)，有如下定义：

PPAP_T⁰(X，ρ，υ)在上确界范数下是Banach空间.分段双加权伪概周期函数空间为

定理1  令f∈PPAP_T(Ω，X，ρ，υ)且h∈PPAP_T(Ω，ρ，υ).假设下面的条件成立：

(H₁) $\rho \in U_T^0, v \in {U_\infty }, \mathop {\inf }\limits_{S > 0} \frac{{\mu (S, v)}}{{\mu (S, \rho )}} > 0, {\rm{且}}\mathop {\lim }\limits_{S > 0} \frac{{\mu (S, v)}}{{\mu (S, \rho )}} < \infty $；

(H₂) f(t，·)对∀t∈ℝ在每个有界子集Ω上是一致连续的，即对∀ε＞0和有界集K⊂Ω，存在δ＞0，使得当x，y∈K且‖x-y‖＜δ时，‖f(t，x)-f(t，y)‖＜ε对∀t∈ℝ成立；

(H₃) f(ℝ，K)={f(t，x)：t∈ℝ，x∈K}对每个有界子集K∈Ω是有界的.

若R(h)⊂K，那么f(t，h(t))∈PPAP_T(X，ρ，υ).

证  因为f∈PPAP_T(Ω，X，ρ，υ)，h∈PPAP_T(Ω，ρ，υ)，所以f=f^ap+f^e且h=h^ap+h^e.则函数f(·，h(·))可以做如下的分解：

由于R(h^ap)在X上是相对紧的，则∀t∈ℝ，f^ap(t，·)在R(h^ap)上是一致连续的.由文献[11]的定理3.1，容易看出f^ap(·，h^ap(·))∈AP_T(ℝ，X).下面证明

步骤1  证明f(·，h(·))-f(·，h^ap(·))∈PPAP_T⁰(X，ρ，υ).

令K∈Ω是有界的，使得R(h)，R(h^ap)⊂K.由条件(H₃)，存在M＞0使得

同时，由条件(H₂)，对于ε＞0，存在δ＞0，使得当x，y∈K且‖x-y‖＜δ时，有

因为h^e∈PPAP_T⁰(Ω，ρ，υ)，根据条件(H₁)，有

其中

因此存在M，S₀＞0，使得当S＞S₀时，有

又因为

所以

由平移不变性可得，对S＞S₀，有

步骤2  证明f^e(·，h^ap(·))∈PPAP_T⁰(X，ρ，υ).

因为f=f^ap+f^e，且当t∈ℝ时，f^ap(t，·)在R(h^ap)上是一致连续的.那么由条件(H₂)可知，f^e(t，x)=f(t，x)-f^ap(t，x)关于t在x∈R(h^ap)上是一致连续的.即对于ε＞0，存在δ＞0，使得当x，y∈R(h^ap)且‖x-y‖＜δ时，有

由R(h^ap)在X上是相对紧的，则对ε＞0，可以找到有限n个以x₁，x₂，…，x_n∈R(h^ap)为中心的开球O_k，使得$R\left( {{h^{ap}}} \right) \subset \bigcup\limits_{k = 1}^n {{O_k}} $且

集合B_k={t∈ℝ：h^ap(t)∈O_k}是开的，并且$R = \bigcup\limits_{k = 1}^n {{B_k}} $.令

那么当i≠ j，1≤i，j≤n并且 $R = \bigcup\limits_{k = 1}^n {{E_k}} $ 时，E_i∩E_j=Ø.

因为f^e(·，x_k)∈PPAP_T⁰(Ω，X，ρ，υ)，所以存在S₀＞0，使得

因此对于S＞S₀，有

则f^e(·，h^ap(·))∈PPAP_T⁰(X，ρ，υ).

令V_s为序列(加权)σ：ℤ→(0，+∞)的集合.对于σ∈V_s且T∈ℤ₊，令

定义1  令σ，ϑ∈V_s∞，序列{x(n)}：ℤ→X是有界的且满足

那么序列{x(n)}被称为σ，ϑ-PAP₀序列，我们用PAP₀S(X，σ，ϑ)来标记.

类似于文献[12]中引理2.1的证明，可以得到下面的引理：

引理1  令σ，ϑ∈V_s∞.如果

且x：ℤ→X是有界的.对∀ε＞0，S＞0，S∈ℤ，定义

故x∈PAP₀S(X，σ，ϑ)的充分必要条件是$\mathop {\lim }\limits_{S \to \infty } \frac{{{\mu _s}\left( {{M_{S, \varepsilon }}(x), \vartheta } \right)}}{{{\mu _s}(n, \sigma )}} = 0$.

定义

那么

由$\hat \sigma (j), \hat \vartheta (j)$的定义可看出：$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sum\limits_{i = - n}^n {\hat \vartheta } (i)}}{{\sum\limits_{i = - n}^n {\hat \sigma } (i)}} < \infty $的充分必要条件是$\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } \frac{{\int_{ - s}^s v (t){\rm{d}}t}}{{\int_{ - s}^s \rho (t){\rm{d}}t}} < \infty $.

类似于文献[12]中引理2.6和定理2.5的证明，容易得到下面的两个引理：

引理2  令u∈PPAP_T⁰(X，ρ，υ).那么

引理3  序列{a_n}_n∈ℤ∈PAP₀S(X，$\hat \sigma , \hat \vartheta $)的充分必要条件是：存在a∈PPAP_T⁰(X，ρ，υ)∩UPC_T(ℝ，X)，使得a(t_n)=a_n，n∈ℤ.进一步，PAP₀S(X，$\hat \sigma , \hat \vartheta $)是平移不变的.

定理2  令{I_i(x)}∈PAPS(X，$\hat \sigma , \hat \vartheta $)，x∈Ω.当u(ℝ)⊂Ω时，u∈PPAP_T(X，ρ，υ)∩UPC_T(ℝ，X).如果下面的条件成立：

(H₄) {I_i(u)：n∈ℤ，u∈K}在每个子集K⊆Ω上是有界的；

(H₅)当i∈ℤ时，I_i(u)在u∈Ω处一致连续.

那么{I_i(u(t_i))}∈PAPS(X，$\hat \sigma , \hat \vartheta $).

证  类似于文献[12]中引理3.7的证明，容易证明{u^ap(t_i)}∈APS(X).此外，由引理3可得{u^e(t_i)}∈PAP₀S(X，$\hat \sigma , \hat \vartheta $)，所以{u(t_i)}∈PAPS(X).根据文献[13]的引理3，当y₁，y₂∈Ω时，有

结合条件(H₅)可得，当i∈ℤ时，I_i^ap(u)是关于u∈Ω一致连续的，且I_i^e(u)也是一致连续的.定义

那么

由文献[11]的定理3.4，容易看出{P₁(i)}∈APS(X).所以下面只需要证明{P₂(i)}∈PAP₀S(X，$\hat \sigma , \hat \vartheta $).

注意到{u(t_i)}和u^ap(t_i)是有界的.令K⊂Ω是有界的，使得u(t_i)，u^ap(t_i)⊂K，i∈ℤ.由条件(H₅)，对∀ε＞0，存在δ₁＞0使得

容易看出K₁={u^ap(t_i)：i∈ℤ}是相对紧的.因为当i∈ℤ时，I_i^e在u∈K₁处是一致连续的.那么对ε＞0，存在$0 < \delta < \max \left\{ {{\delta _1}, \frac{\varepsilon }{4}} \right\}$使得当y₁，y₂∈K₁且‖y₁-y₂‖＜δ时，有

由于K₁是相对紧的，则存在x₁，…，x_m∈K₁使得对每个i，有

所以如果‖I_i^e(x_k)‖＜δ，那么

因此，如果‖u^e(t_i)‖＜δ且‖I_i^e(x_k)‖＜δ，k=1，2，…，m，那么

此外，对于S＞0，有

因为{u^e(t_i)}，{I_i^e(x_k)}∈PAP₀S(X，$\hat \sigma , \hat \vartheta $)，k=1，…，m，由文献[13]的引理1以及定理1，可得

因此

所以P₂∈PAP₀S(X，$\hat \sigma , \hat \vartheta $).