Pullback Random Attractors for the Non-autonomous Stochastic Delay Generalized Kuramoto-Sivashinsky Equation

在空间(Ω，$\mathscr{F}$，P)上定义一簇遍历的保测变换{θ_t}_t∈ℝ：

令$z\left( {{\theta }_{t}}\omega \right)=-\int_{-\infty }^{0}{{{\text{e}}^{r}}}\omega (t+r)\text{d}r+\omega (t)$是dz+zdt=dω(t)的稳态解.由文献[8]得，存在一个可测的{θ_t }_t∈ℝ-不变子集$\mathit{\tilde{\Omega }}\subseteq \mathit{\Omega }$，对任意$\omega \in \mathit{\tilde{\Omega }}$都满足

令v(t)=e^-z(θ_tω)u(t)，由于 $\frac{1}{2}$ u²dt+udW=u◦dW，其中◦表示Stratonovvitch积，则方程(1)转化为

用标准Galerkin方法^[9]，由假设(E₁)，(E₂)，(E₃)，(E₄)可以证明：对于任意τ∈ℝ，ω∈Ω，ψ∈X_ρ，方程(4)有唯一的解v(·，τ，ω，ψ)∈C([τ-ρ，∞]，L²($\mathscr{O}$))∩L_loc²(τ，∞；H₀¹($\mathscr{O}$))∩L_loc²(τ，∞；H_per²($\mathscr{O}$))，v(·，τ，ω，ψ)是连续的，v(·，τ，·，ψ)：(ω，$\mathscr{F}$)→(X_ρ，$\mathscr{B}$(X_ρ))是可测的.定义映射

其中Ψ：ℝ₊×ℝ×ω×X_ρ→X_ρ，容易证明Ψ是定义在X_ρ上的连续非自治随机动力系统.设$\mathscr{D}$是X_ρ上的一些非空双参量集合所形成的集簇，并且对任意c＞0，D={D(τ，ω)：(τ，ω)∈ℝ×Ω}∈$\mathscr{D}$满足

其中$ {\left\| D \right\|_{{X_\rho }}} = \mathop {\sup }\limits_{\psi \in D} {\left\| \psi \right\|_{{X_\rho }}}$.通常对b，m，α，γ，λ做如下假设：

其中λ为庞加莱不等式常数.定义映射

由遍历定理(参照文献[10]的定理2.1)和(3)式，存在可测的{θ_t }_t∈ℝ-不变子集Ω^′⊆Ω，对任意$\omega \in \mathit{\tilde{\Omega }}\cap \mathit{{\Omega }'}$有

在后文的研究中Ω代表$\mathit{\tilde{\Omega }}\cap \mathit{{\Omega }'}$.假设对任意的τ∈ℝ，h满足

引理1  假设(E₁)，(E₂)，(E₃)，(E₄)，(5)式和(6)式成立，则对任意的τ∈ℝ，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)≥4ρ+1，使得对任意t≥T，σ∈[τ-3ρ-1，τ]，ψ∈D(τ-t，θ_-tω)，v满足

其中R(τ，ω)定义为

C为依赖于τ，ω和D的正实数.

证  用方程(4)与v做内积，得

由(E₁)，(E₂)，(E₃)，(E₄)，对任意ε＞0有

由(5)式和(11)-(16)式可得

由(5)式，在(17)式左右乘${{\text{e}}^{\int_{\tau }^{t}{\delta }\left( {{\theta }_{\zeta }}\omega \right)\text{d}\zeta }}$，得

令σ≥τ+ρ，s∈[-ρ，0]，由(7)式知$\delta (\omega )\le \frac{\lambda }{2}$，可得到

令$\varepsilon =\frac{{{L}_{F}}}{2}{{\text{e}}^{\frac{\lambda \rho }{4}}}$，对(18)式在[τ，σ+s]上求积分，其中σ≥τ+ρ，s∈[-ρ，0]，由(7)，(19)式可以得到

用τ-t和θ_-τω分别代替τ和ω，则σ≥τ-t+ρ，令σ∈[τ-3ρ-1，τ]，则t≥4ρ+1，可以得到

由$\delta \left( \omega \right)\le \frac{\lambda }{2}$可知，对任意s∈[ρ，0]有

由(2)式和(8)式，对任意ε＞0和ω∈Ω，存在T(ε，ω)≥4ρ+1，使得对任意|t|≥T(ε，ω)都有

令$\varepsilon =\frac{{\tilde{\delta }}}{4}$，ψ∈D(τ-t，θ_-tω)和D ∈ $\mathscr{D}$，由(9)式和(22)式可得

则由(20)-(24)式可得，存在T≥4ρ+1，当t≥T时引理1成立.

引理2^[1]  V是周期为2L的光滑周期函数，成立以下不等式：

引理3  假设(E₁)，(E₂)，(E₃)，(E₄)，(5)式和(6)式成立，则对任意的τ∈ℝ，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)≥4ρ+1，使得对任意t≥T，σ₁∈[τ-ρ-1，τ]，ψ∈D(τ-t，θ_-tω)，v满足

其中R₁(τ，ω)为依赖于τ，ω和D的正实数.

证  用方程(4)与-v_xx做内积，得

由假设(E₁)，(E₂)，(E₃)，(E₄)以及引理2和Young不等式，得

则由(25)-(32)式可以得出

由引理1可得

令τ∈ℝ，t≥4ρ+1，ω∈Ω，κ∈(τ+s-2ρ-1，τ+s-ρ-1)，s∈[-ρ，0]，σ₁∈[τ-ρ-1，τ]，对(33)式在[κ，σ₁+s]上求积分，用τ-t和θ_-τω分别代替τ和ω，则由(34)，(35)式可以得出

与(36)式的证明类似，对(33)式在[τ-ρ，τ]上积分，由(34)，(35)和(36)式可得

其中Q₁(τ，ω)，Q₂(τ，ω)为依赖于τ，ω和D的正实数.由(5)，(36)和(37)式得引理3成立.

引理4  假设(E₁)，(E₂)，(E₃)，(E₄)，(5)和(6)式成立，则对任意τ∈ℝ，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)≥4ρ+1，使得对任意t≥T，ψ∈D(τ-t，θ_-tω)，v满足

其中R₂(τ，ω)是依赖于τ，ω和D的正实数.

证   用方程(4)与v_xxxx做内积，可得

由假设(E₁)，(E₂)，(E₃)，(E₄)以及引理2，可得

由(38)-(43)式可以得出

由引理2可得

令τ∈ℝ，t≥4ρ+1，ω∈Ω，κ₁∈(τ+s-1，τ+s)，s∈[-ρ，0]，κ₁≤κ₂，对(44)式在[κ₁，κ₂+s]上求积分，用τ-t和θ_-τω分别代替τ和ω，再用τ代替κ₂，由(34)，(35)，(45)式可得

与(46)式的证明类似，对(44)式在[τ-ρ，τ]上积分，由(34)，(35)，(45)，(46)式可得

其中Q₁^′(τ，ω)，Q₂^′(τ，ω)为依赖于τ，ω和D的正实数.由(5)，(46)，(47)式得引理4成立.

引理5  假设(E₁)，(E₂)，(E₃)，(E₄)，(5)式和(6)式成立，则非自治随机动力系统Ψ有一个闭的可测的$\mathscr{D}$ -拉回吸收集K={K(τ，ω)：τ∈ℝ，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$，K(τ，ω)定义为

其中R(τ，ω)由(10)式定义.

证  由引理1，对任意的τ∈ℝ，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)＞0，使得对任意t≥T有

由(10)式可知K拉回吸引$\mathscr{D}$的所有元素.由(9)式和(22)式可证得K(τ，ω)∈$\mathscr{D}$，并且对任意τ∈ℝ，R(τ，·)：Ω→ℝ是($\mathscr{F}$，$\mathscr{B}$(ℝ))-可测的.可以得出K是闭的可测的$\mathscr{D}$-拉回吸收集.

引理6  假设(E₁)，(E₂)，(E₃)，(E₄)，(5)式和(6)式成立，则非自治随机动力系统Ψ在X_ρ上是$\mathscr{D}$-拉回预紧的.

证  要证明Ψ在X_ρ上是D-拉回预紧的，需要证明对任意的τ∈ℝ，ω∈Ω和D∈$\mathscr{D}$，如果t_n→∞和ψ_n∈D(τ-t_n，θ_-tnω)，则序列{Ψ(t_n，τ-t_n，θ_-tnω，ψ_n)(·)}_n=1^∞在X_ρ上有收敛子列.

为了证明在X_ρ上v_τ(·，τ-t_n，θ_-τω，ψ_n)是预紧的，首先证明v_τ(·，τ-t_n，θ_-τω，ψ_n)在X_ρ上等度连续，由假设(E₁)，(E₂)，(E₃)，(E₄)以及引理1、引理3、引理4和(4)式可知，存在N₁=N₁(τ，ω)＞0，使得对任意n＞N₁有

其中c=c(τ，ω)＞0.因此对任意n＞N₁，s₁，s₂∈[-ρ，0]，且s₁＞s₂，有

由此得出v_τ(·，τ-t_n，θ_-τω，ψ_n)在X_ρ上等度连续.然后证明对固定的s∈[-ρ，0]，有{v(τ+s，τ-t_n，θ_-τω，ψ_n)：n∈ $\mathbb{N}_{+} $ }在L²($\mathscr{O}$)上预紧.由引理3可知，对任意的s∈[-ρ，0]，v(τ+s，τ-t_n，θ_-τω，ψ_n)在H₀¹($\mathscr{O}$)上有界.由H₀¹($\mathscr{O}$)连续嵌入L²($\mathscr{O}$)，则v(τ+s，τ-t_n，θ_-τω，ψ_n)在L²($\mathscr{O}$)上预紧.则由文献[6]的引理5.2可知v_τ(·，τ-t_n，θ_-τω，ψ_n)在X_ρ上是预紧的.

定理1   假设(E₁)，(E₂)，(E₃)，(E₄)，(5)式和(6)式成立，则连续非自治随机动力系统Ψ在X_ρ上存在$\mathscr{D}$-拉回随机吸引子.

证  由于引理5和引理6的结论满足文献[3]中$\mathscr{D}$-拉回随机吸引子的存在性条件，所以连续非自治随机动力系统Ψ在X_ρ上存在$\mathscr{D}$-拉回随机吸引子.