A Vector Bundle Model of Toeplitz Operators on the Quotient Module ${{\mathscr{N}}_{\psi }}$ in the Bidisc

对于单变量内函数ψ(z₂)∈H^∞($\mathbb{D}$)，用[z₁-ψ(z₂)]表示H²(${{\mathbb{T}}^{2}}$)中由z₁-ψ(z₂)生成的子模，${{\mathscr{N}}_{\psi \left( {{z}_{2}} \right)}}$表示相应的商模H²(${{\mathbb{T}}^{2}}$)/[z₁-ψ(z₂)]. 文献[10]首先引入了这类商模，并给出了该商模的一些性质与刻画.

命题1

证  首先，对任意f∈${{\mathscr{N}}_{\psi }}$，有

其中g_l(z₂)∈H²($\mathbb{T}$). 则对l，k≥0，有

则对任何l≥0，有

从而

由此可见

且

令

这里的T^*k_ψ(z2)g₀(z₂)∈H²($\mathbb{T}$). 因此

即h∈${{\mathscr{N}}_{\psi }}$.

当ψ(z₂)是M阶Blaschke乘积时，H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$)⊖ψ(z₂)H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$)是M维空间，我们用λ₁(z₂)，…，λ_M(z₂)表示H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$)⊖ψ(z₂)H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$)的一组正交正规基. 定义

我们用$\mathscr{A}$表示H²(${{\mathbb{T}}^{2}}$)中由{e_j(z₁，z₂)}生成的闭子空间. 显然{e_j(z₁，z₂)}就是$\mathscr{A}$的一组正交正规基. L_a²($\mathbb{D}$)表示$\mathbb{D}$上的Bergman空间. 文献[11]证明了$\mathscr{A}$与L_a²($\mathbb{D}$)可自然地等同. 利用该等同，文献[4, 12]得到了一系列Bergman空间上的结果，也是Bergman空间以及其上算子理论研究的重要方式.

对k=1，…，M；j=0，1，…，定义

定理1  {E_j，k：k=1，…，M；j=0，1，…}是${{\mathscr{N}}_{\psi \left( {{z}_{2}} \right)}}$的一组正交正规基.

证  注意到

也就是说{λ_k(z₂)ψ(z₂)^j：k=1，…，M；j=0，1，…}是H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$)的一组正交正规基. 若(i，k)≠(r，s)且i≤r，则

因为i_u≠r_u或k_v≠j_v至少有一个成立，且容易验证‖E_i，k‖=1，因此{E_j，k}是一组正交正规基.

下面证明${{\mathscr{N}}_{\psi }}$中任何函数f可由{E_i2，i3，k}表示. 因为

其中$\sum\limits_{{{k}_{1}}=1}^{M}{\sum\limits_{{{j}_{1}}=0}^{\infty }{{{\left| {{a}_{{{k}_{1}}, {{j}_{1}}}} \right|}^{2}}}}<\infty \ $，且

从而

因此

此外，有

定理1得证.

定义${{\mathscr{N}}_{\psi \left( {{z}_{2}} \right)}}$到(H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$)⊖ψ(z₂)H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$))⊗L_a²($\mathbb{D}$)的算子U₀为

命题2  U₀是酉算子，且有U₀T_B(z1)=(I⊗M_B(z1))U₀，其中I为H²(${{\mathbb{T}}_{w}}$)⊖ψ(w)H²(${{\mathbb{T}}_{w}}$)上的单位算子.

证  由文献[10]或直接计算知

从而有

由于B(z₁)在单位圆盘上可由多项式逼近，因此结论成立.

注1  命题2说明商模${{\mathscr{N}}_{\psi }}$上的Toeplitz算子T_z1酉等价于(H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$)⊖ψ(z₂)H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$))⊗L_a²($\mathbb{D}$)上的算子I⊗M_z1，也表明商模${{\mathscr{N}}_{\psi \left( {{z}_{2}} \right)}}$上的Toeplitz算子T_z1酉等价于M-重的Bergman位移.

令Ω表示复平面$\mathbb{C}$中的开子集，$\mathscr{H}$表示一个Hilbert空间.

定义1^[13]  Ω上的连续向量丛E是一个由一簇Hilbert空间组成的拓扑空间，且满足：

(a) 存在连续映射q：E→Ω；

(b) E在每个纤维E_z=q^-1(z)上有Hilbert空间结构，且在每个E_z上的Hilbert拓扑与由E诱导的拓扑一致；

(c) 对于每个z∈Ω，存在z的邻域U→Ω以及一个同胚Φ_U：q^-1(U)U×$\mathscr{H}$，使得：

(c₁) 对每个(w，h)∈U×$\mathscr{H}$，点Φ_U^-1(w，k)∈E_w，

(c₂) 对每个w∈U，映射(Φ_U^w)^-1：$\mathscr{H}$→E_w，(Φ_U^w)^-1(h)=Φ_U(w，h)是连续线性变换.

定义2  (a) 设丛E为Ω上的连续向量丛，GL($\mathscr{H}$)是Hilbert空间$\mathscr{H}$上的可逆有界线性算子全体，若对任何一对相交非空的开集U，V⊂Ω，映射

中的Φ_UV：U∩V→GL($\mathscr{H}$)是全纯的，则称E为Ω上的全纯向量丛；

(b) 设E为Ω上的全纯向量丛，若每个E_z上有内积，且内积关于z是光滑变化的，即对E的任何两个局部光滑截面s，t，函数$z\mapsto {{\langle s(z), t(z)\rangle }_{z}}$是一个光滑函数，则称E为Hermitian的.

引理1^[14]   Ω上的任何全纯向量丛在全纯意义下都是平凡的.

对Ω上的Hermitian全纯向量丛E，令Γ_a(E)表示E的全体全纯截面组成的集合. E上的Bergman空间L_a²(E)定义为

对于平坦向量丛E的Bergman空间，可用另一个观点来刻画：

定义3  设E是复向量丛，E的酉坐标覆盖是一组坐标卡{U，Φ_U}，且对每个开集U和z∈U，丛映射Φ_U|_Ez：E_z{z}×$\mathscr{H}$是酉算子. 若函数Φ_UV：U∩V→U($\mathscr{H}$)是常值的，则称E的酉坐标覆盖是平坦的. 具有平坦酉坐标覆盖的向量丛称为平坦酉向量丛E.

Ω上的平坦向量丛E可诱导Ω的基本群在$\mathscr{H}$上的酉表示

反之，若有Ω的基本群在$\mathscr{H}$上的酉表示α，用${\mathit{\tilde{\Omega }}}$表示Ω的万有覆盖空间，则我们可按如下方式构造一个平坦向量丛：在${\mathit{\tilde{\Omega }}}$×$\mathscr{H}$中定义等价关系~：(z₁，h₁)~(z₂，h₂)，若对某A∈π₁(Ω)有z₂=A(z₁)且h₂=α(A)h₁，则该等价关系给出一个平坦酉向量丛E_α=${\mathit{\tilde{\Omega }}}$×$\mathscr{H}$/~. 关于平坦向量丛与酉表示，我们有如下结果：

命题3^[13]  Ω上的平坦酉向量丛与Hom(π₁(Ω)，U($\mathscr{H}$))/U($\mathscr{H}$)是一一对应的.

建立抽象算子的几何模型在算子研究中有着悠久的历史，也取得了非常重要的成果^[15-17]. 设B(z)是一个N阶Blaschke乘积，注意到集合$\mathscr{S}$=B({z：B′(z)=0})是有限集，实际上有|$\mathscr{S}$|≤N-1. 设$\mathscr{S}$={w₁，…，w_k}，用l_i表示连接w_i与$\mathbb{D}$的边界$\mathbb{T}$的直线，且当i≠j时，要求l_i与l_j不相交. 令${{\mathbb{D}}_{B}}=\mathbb{D}\backslash \left\{ {{l}_{i}} \right\}_{i=1}^{k}$，则${{\mathbb{D}}_{B}}$是单连通的. 对$\mathbb{D}$中的每个开集U，可定义B在U上的逆为U上的解析函数f，满足：f(U)⊂$\mathbb{D}$，且对z∈U有B(f(z))=z. 对每个$z\in \mathbb{D}\backslash \mathscr{S}$，有B^-1(z)={w₁，…，w_N}，且当i≠j时，w_i≠w_j，以及B(z)在w_i的某足够小的邻域上是一一的. 设U为z在${{\mathbb{D}}_{B}}$中的邻域. 对i=1，…，N，σ_i表示U_wi与U之间的双全纯映射且B(σ_i(z))=z. 由单值化定理以及${{\mathbb{D}}_{B}}$的单连通性，σ_i可延拓到${{\mathbb{D}}_{B}}$上，仍用σ_i表示. 这里注意的是：σ_i是w=B(z)的逆，不是文献[18]研究交换子时使用的局部逆.

对z₀∈$\mathbb{D}\backslash \mathscr{S}$以及${{\mathbb{D}}_{B}}$中包含z₀的开子集U，设γ_i是$\mathbb{D}\backslash \mathscr{S}$中过z₀且包含w_i的闭曲线. 当将{σ_i}沿着γ_j移动时，由解析延拓性，我们可得到{1，2，…，k}的一个排列τ_j. 由此可定义${{\mathbb{C}}^{N}}$上的一个酉算子

我们用α：π₁($\mathbb{D}\backslash \mathscr{S}$)U(${{\mathbb{C}}^{k}}$)表示该酉表示. 根据该表示α，由向量丛的构造可知，可在$\mathbb{D}\backslash \mathscr{S}$上构造一个平坦酉向量丛E_B. 显然E=E_B⊗${{\mathbb{C}}^{M}}$也是$\mathbb{D}\backslash \mathscr{S}$上的平坦酉向量丛，该向量丛对应的Bergman丛位移就是${{\mathscr{N}}_{\psi }}$-商模上以有限Blaschke乘积为符号的Toeplitz算子的模型.

定理2  设B(z₁)是M阶Blaschke乘积，${{\mathscr{N}}_{\psi \left( {{z}_{2}} \right)}}$上的Toeplitz算子T_B(z1)酉等价于L_a²($\mathbb{D}$)⊗${{\mathbb{C}}^{M}}$上的算子T_Eα⊗I，这里的I是${{\mathbb{C}}^{M}}$上的单位算子.

证  用f₁=(1，0，…，0)，…，f_M=(0，…，0，1)表示${{\mathbb{C}}^{M}}$的标准正交基. 对1≤k≤M，定义H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$)⊖ψ(z₂)H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$)到${{\mathbb{C}}^{M}}$的酉变换U₁：λ_k(z₂)|f_k. 文献[1]定义了L_a²(${{\mathbb{D}}_{{{z}_{2}}}}$)到L_a²(E_α)的酉算子

且有

从而算子

V显然是酉算子. 定义算子U：${{\mathscr{N}}_{\psi }}$→L_a²(E_α)⊗${{\mathbb{C}}^{M}}$为U₀：${{\mathscr{N}}_{\psi \left( {{z}_{2}} \right)}}$(H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$)⊖ψ(z₂)H²(${{\mathbb{T}}_{{{z}_{2}}}}$))⊗L_a²($\mathbb{D}$)与V的复合，且有

推论1  ${{\mathscr{N}}_{\psi \left( {{z}_{2}} \right)}}$上的Toeplitz算子T_B(z1)的双交换子与T_Eα⊗Id的双交换子等同.

由于有限阶矩阵是有限维的，由推论1可见M_B的双交换子是有限维的，也就说明M_B的极小约化子空间是有限的. 在后续研究中，我们将通过该向量丛模型进一步研究${{\mathscr{N}}_{\psi \left( {{z}_{2}} \right)}}$上的Toeplitz算子T_B(z1)的性质.