Isolated Subsemigroups of the Semigroup $\mathscr{H} $_{(n, m)}

设$\mathscr{S} $_n和$\mathscr{T} $_n分别是有限集X_n={1，2，…，n}上的对称群和全变换半群. 对1≤m≤n-1，记X_m={1，2，…，m}且X_n-m=X_n\X_m. 令

则易证得$\mathscr{G} $_(n，m)，$\mathscr{H} $_(n，m)和$\mathscr{T} $_(n，m)都是全变换半群$\mathscr{T} $_n的子半群，且$\mathscr{G} $_(n，m)⊆$\mathscr{H} $_(n，m)⊆$\mathscr{T} $_(n，m).

设$\mathscr{T} $是半群$\mathscr{S} $的子半群，如果对任意α∈ $\mathscr{S} $，n∈ $\mathbb{N} $₊，由αⁿ∈ $\mathscr{T} $可推出α∈ $\mathscr{T} $，则称$\mathscr{T} $为$\mathscr{S} $的独立子半群. 半群理论是群理论的一般推广，变换半群的结构及其子结构同群的结构一样重要，目前已有许多研究成果^[1-13]. 在变换半群理论中，对半群的结构的研究十分广泛，其中变换半群的极大正则子半群和极大子半群的研究一直都是热点问题，研究成果十分丰富^[3-13]. 独立子半群作为一类特别的子半群，由于其构造存在一定的难度，目前对变换半群的独立子半群的研究比较少，仅有少数半群能够得到其独立子半群的完全分类. 文献[14]得到了：半群$\mathscr{S} $的子半群$\mathscr{T} $的补集$\overline{\mathscr{T}} $ = $\mathscr{S} $\ $\mathscr{T} $如果仍为$\mathscr{S} $的子半群，则$\mathscr{T} $和$\overline{\mathscr{T}} $都是$\mathscr{S} $的独立子半群，且半群$\mathscr{S} $本身为自己的独立子半群. 文献[14]还刻画了全变换半群的独立子半群的完全分类. 文献[15]通过研究$\mathscr{T} $_(n，m)的子半群$\mathscr{G} $_(n，m)的生成集与秩，得到了$\mathscr{T} $_(n，m)的生成集与秩. 本文将研究半群$\mathscr{T} $_(n，m)的子半群$\mathscr{H} $_(n，m)，并得到半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群的完全分类.

设S是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的子集. 通常，用E(S)表示S中的所有幂等元组成的集合. 本文未定义的术语及符号请参见文献[16].

为了叙述上的方便，在$\mathscr{H} $_(n，m)上引入以下的二元关系：对任意α，β∈ $\mathscr{H} $_(n，m)，定义

则$\mathscr{L} $^◇，$\mathscr{R} $^◇，$\mathscr{J} $^◇与$\mathscr{H} $^◇都是$\mathscr{H} $_(n，m)上的等价关系.

易得$\mathscr{L} $^◇ ⊆$\mathscr{J} $^◇，$\mathscr{R} $^◇⊆$\mathscr{J} $^◇且$\mathscr{H} $^◇= $\mathscr{R} $^◇∩ $\mathscr{L} $^◇. 对r∈ $\mathbb{N} $₊且2≤m+1≤r≤n，记

则$\mathscr{J} $^◇-类$\mathscr{J} $_n^◇，$\mathscr{J} $_n-1^◇，…，$\mathscr{J} $_m+1^◇恰好是$\mathscr{H} $_(n，m)的n-m个$\mathscr{J} $^◇-类. 显然$\mathscr{G} $_(n，m)= $\mathscr{J} $_n^◇.

约定：设1≤m≤n-1，令$\mathscr{S} $_n-m，$\mathscr{T} $_n-m分别表示X_n-m上的对称群和全变换半群，$\mathscr{S} $_m表示X_m上的对称群.

引理 1  设1≤m≤n-3，则$\mathscr{H} $_(n，m)= 〈$\mathscr{G} $_(n，m)，$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1}\\ {m + 2} \end{array}} \right)$〉.

证  由文献[15]可知

当m=1时，显然$\mathscr{H} $_(n，1)≅ $\mathscr{T} $_n-1，则$\mathscr{H} $_(n，1)= 〈 (23)，(23…n)，$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right)$〉 = 〈 $\mathscr{G} $_(n，1)，$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right)$ 〉.

当2≤m≤n-3时，任意取α∈ $\mathscr{H} $_(n，m)，定义β_α，λ_α∈ $\mathscr{T} $_n为

显然β_α，λ_α∈ $\mathscr{H} $_(n，m)且β_α∈ $\mathscr{G} $_(n，m). 任意取i∈X_n，若1≤i≤m，则iβ_α=iα∈X_m，于是(iα)α≤m，从而i(β_αλ_α)=(iβ_α)λ_α=(iα)λ_α=iα；若m+1≤i≤n，则由α∈ $\mathscr{H} $_(n，m)可得iβ_α=i∈X_n-m且iα＞m，从而i(β_αλ_α)=(iβ_α)λ_α=iλ_α=iα. 因此α=β_αλ_α. 易知

从而α=β_αλ_α∈ 〈 $\mathscr{G} $_(n，m)，$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1}\\ {m + 2} \end{array}} \right)$ 〉. 由α的任意性可得$\mathscr{H} $_(n，m)⊆〈 $\mathscr{G} $_(n，m)，$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1}\\ {m + 2} \end{array}} \right)$〉. 再由$\mathscr{H} $_(n，m)的定义知，$\mathscr{G} $_(n，m)⊆$\mathscr{H} $_(n，m)且$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1}\\ {m + 2} \end{array}} \right)$∈ $\mathscr{H} $_(n，m)，则〈 $\mathscr{G} $_(n，m)，$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1}\\ {m + 2} \end{array}} \right)$〉 ⊆$\mathscr{H} $_(n，m)，从而$\mathscr{H} $_(n，m)= 〈 $\mathscr{G} $_(n，m)，$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1}\\ {m + 2} \end{array}} \right)$ 〉.

为方便起见，我们用符号$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}& \cdots &{{A_r}}\\ {{a_1}}& \cdots &{{a_r}} \end{array}} \right]$表示半群$\mathscr{H} $_(n，m)中满足如下条件的元素α：

引理 2  设1≤m≤n-3，任意取α∈ $\mathscr{J} $_n-1^◇，则$\mathscr{H} $_(n，m)=〈 $\mathscr{G} $_(n，m)，α〉.

证  设

其中X_m={a₁，a₂，…，a_m}且{a_m+1，a_m+2，…，a_n}⊂X_n-m. 令

则μ_α∈ $\mathscr{G} $_(n，m)，且

于是α^*=αμ_α∈〈 $\mathscr{G} $_(n，m)，α〉，且

从而

再由引理1可得$\mathscr{H} $_(n，m)=〈 $\mathscr{G} $_(n，m)，α〉.

引理 3  设1≤m≤n-3，$\mathscr{T} $是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群. 若E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)≠Ø，则E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{J} $_m+1^◇ ≠Ø.

证  令k=min{|im(ε)|：ε∈E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)}，则m+1≤k≤n-2. 假设m+2≤k≤n-2. 任意取

其中X_n-m=A_m+1∪A_m+2∪…∪A_k，且a_i∈A_i(m+1≤i≤k). 由|im(ε)|=k≤n-2可知，存在t∈{m+1，m+2，…，k}，使得|A_t|≥3，或者存在p，q∈{m+1，m+2，…，k}且p≠q，使得|A_p|=|A_q|=2. 以下分两种情形：

情形1  |A_t|≥3. 取b，c∈A_t\{a_t}且b≠c. 令

则α²=β²=ε，从而α，β∈ $\mathscr{T} $. 由|im(ε)|=k≥m+2可知，存在i∈{m+1，m+2，…，k}，使得A_i∩A_t=Ø. 不失一般性，不妨设i＞t. 令

则(α^*)²=αβ∈ $\mathscr{T} $且(β^*)²=βα∈ $\mathscr{T} $，从而α^*，β^*∈ $\mathscr{T} $. 易验证

显然α^*β^*α∈E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)，且|im(α^*β^*α)|=k-1，与k的极小性矛盾.

情形2  |A_p|=|A_q|=2. 设A_p={a_p，a_p^*}且A_q={a_q，a_q^*}，其中a_j≠a_j^*，j=p，q. 令

则α²=β²=ε，从而α，β∈ $\mathscr{T} $，因此αβ，βα∈ $\mathscr{T} $. 令

则(α^*)²=(γ^*)³=βα∈ $\mathscr{T} $，(β^*)²=αβ∈ $\mathscr{T} $，从而α^*，β^*，γ^*∈ $\mathscr{T} $. 易验证

显然(α^*β^*γ^*)²∈E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)，且|im((α^*β^*γ^*)²)|=k-1，与k的极小性矛盾.

综上所述，k=m+1. 因此E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{J} $_m+1^◇ ≠Ø.

引理 4  设1≤m≤n-3，$\mathscr{T} $是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群. 若E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{J} $_m+1^◇ ≠Ø，则$\mathscr{J} $_m+1^◇ ⊆$\mathscr{T} $.

证  任意取

其中X_m={a₁，a₂，…，a_m}且a∈X_n-m，则显然存在t∈ $\mathbb{N} $₊，使得α^t=$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_{n - m}}}\\ a \end{array}} \right]$. 任意取

其中b∈X_n-m. 若a=b，则α^t=ε∈ $\mathscr{T} $，从而α∈ $\mathscr{T} $；若a≠b，令

其中a，b，c∈X_n-m且a，b，c互不相同，则β²=γ²=ε，从而β，γ∈ $\mathscr{T} $. 令

则

从而η∈ $\mathscr{T} $. 易验证α^t=εη∈ $\mathscr{T} $，从而α∈ $\mathscr{T} $. 由α的任意性可得$\mathscr{J} $_m+1^◇ ⊆$\mathscr{T} $.

对r∈ $\mathbb{N} $₊且2≤m+1≤r≤n，记

则$\mathscr{H} $_(n，m)(r)是$\mathscr{H} $_(n，m)的理想，且Sing_(n，m)= $\mathscr{H} $_(n，m)(n-1).

引理 5  设1≤m≤n-2，$\mathscr{T} $是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群. 若$\mathscr{J} $_m+1^◇ ⊆$\mathscr{T} $，则Sing_(n，m)⊆$\mathscr{T} $.

证  当m=n-2时，结论显然成立. 假设1≤m≤n-3. 任意取ε∈E($\mathscr{J} $_r ^◇)(m+1≤r≤n-1)，假设

其中X_n-m=A_m+1∪A_m+2∪…∪A_r且a_i∈A_i(m+1≤i≤r). 由r≤n-1可知，存在t∈{m+1，m+2，…，r}，使得|A_t|≥2. 不失一般性，不妨设|A_m+1|≥2. 若r=m+1，显然ε∈ $\mathscr{J} $_m+1^◇ ⊆$\mathscr{T} $；若m+2≤r≤n-1，设

其中1≤s≤r-m-1，a_m+1^*∈A_m+1\{a_m+1}，则显然ε=α₁β₁，且

易验证α_sβ_s=γ_s-1. 注意到

由$\mathscr{T} $是独立子半群，易得α_s，β_s，γ_s∈ $\mathscr{T} $ (1≤s≤r-m-1)，从而ε=α₁β₁∈ $\mathscr{T} $. 由ε的任意性可知，E($\mathscr{J} $_r^◇)⊆$\mathscr{T} $，m+1≤r≤n-1. 现在，任意取α∈Sing_(n，m)，则|im(α)|≤n-1. 由半群$\mathscr{H} $_(n，m)的有限性可知，存在t∈ $\mathbb{N} $₊且m+1≤r≤n-1，使得α^t∈E($\mathscr{J} $_r ^◇). 由E($\mathscr{J} $_r^◇)⊆$\mathscr{T} $可得α^t∈ $\mathscr{T} $，从而α∈ $\mathscr{T} $. 由α的任意性可得Sing_(n，m)⊆$\mathscr{T} $.

由半群$\mathscr{H} $_(n，m)的定义知$\mathscr{J} $_n-1^◇中的幂等元为如下形式：

任意取λ_(t，k)∈E($\mathscr{J} $_n-1^◇)，令

设$\mathscr{H} $_λ(t，k)^◇为$\mathscr{H} $_(n，m)中包含幂等元λ_(t，k)的$\mathscr{H} $^◇-类，则

易证得$\mathscr{H} $_λ(t，k)^◇是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的(有限)子群.

引理 6  设1≤m≤n-2，λ_(t，k)∈E($\mathscr{J} $_n-1^◇)，则$\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $ = $\mathscr{H} $_λ(t，k)^◇.

证  任意取α∈$\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $，则存在i∈ $\mathbb{N} $₊，使得αⁱ=λ_(t，k). 显然n-1=|im(λ_(t，k))|≤|im(α)|. 若|im(α)|=n，则α是X_n上的置换，从而|im(λ_(t，k))|=|im(αⁱ)|=n，与λ_(t，k)∈E($\mathscr{J} $_n-1^◇)矛盾. 因此，|im(α)|=n-1. 由|im(α)|=|im(λ_(t，k))|=n-1及im(λ_(t，k))=im(αⁱ)⊆im(α)可得im(α)=im(λ_(t，k)). 显然{t，k}是λ_(t，k)唯一的非单点核类. 若tα≠kα，则由|im(α)|=n-1可知，存在u，v∈X_n且{u，v}≠{t，k}，使得uα=vα，从而uλ_(t，k)=uαⁱ=vαⁱ=vλ_(t，k)，与{t，k}是λ_(t，k)唯一的非单点核类矛盾. 因此，tα=kα. 再由|im(α)|=n-1可得ker(α)=ker(λ_(t，k)). 由α的任意性可得$\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $⊆$\mathscr{H} $_λ(t，k)^◇. 任意取α∈ $\mathscr{H} $_λ(t，k)^◇，则由$\mathscr{H} $_λ(t，k)^◇是$\mathscr{H} $_(n，m)的有限子群且|im(α)|=n-1可知，存在i∈ $\mathbb{N} $₊，使得αⁱ=λ_(t，k)，从而α∈$\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $. 由α的任意性可得$\mathscr{H} $_λ(t，k)^◇ ⊆$\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $. 因此$\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $= $\mathscr{H} $_λ(t，k)^◇.

引理 7  设1≤m≤n-3，且$\mathscr{S} $ = $\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $ ∪$\sqrt {{\lambda _{\left( {k, t} \right)}}} $，其中t，k∈X_n-m且t≠k，则$\mathscr{S} $是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群.

证  由引理6可知$\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $ = $\mathscr{H} $_λ(t，k)^◇且$\sqrt {{\lambda _{\left( {k, t} \right)}}} $ = $\mathscr{H} $_λ(k，t)^◇，从而$\mathscr{S} $是$\mathscr{H} $_(n，m)的两个子群的并集. 任取α∈ $\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $，β∈ $\sqrt {{\lambda _{\left( {k, t} \right)}}} $，则ker(α)=ker(λ_(t，k))=ker(λ_(k，t))=ker(β)，且im(α)=im(λ_(t，k))=X_n\{t}. 进而易得ker(αβ)=ker(α)=ker(β)=ker(λ_(k，t))，且im(αβ)=im(β)=im(λ_(k，t))，则αβ∈ $\mathscr{H} $_λ(k，t)^◇ = $\sqrt {{\lambda _{\left( {k, t} \right)}}} $ ⊂ $\mathscr{S} $. 同理可得βα∈ $\mathscr{H} $_λ(t，k)^◇ = $\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $ ⊂ $\mathscr{S} $. 从而易证得$\mathscr{S} $是$\mathscr{H} $_(n，m)的子半群. 假设存在η∈ $\mathscr{H} $_(n，m)\ $\mathscr{S} $，且n∈ $\mathbb{N} $₊，使得ηⁿ∈ $\mathscr{S} $，则由$\mathscr{S} $是$\mathscr{H} $_(n，m)的子半群且$\mathscr{H} $_(n，m)为有限半群可知，存在t∈ $\mathbb{N} $₊且ε∈{λ_(k，t)，λ_(t，k)}，使得(ηⁿ)^t=η^nt=ε∈ $\mathscr{S} $，则η∈ $\mathscr{S} $，与假设矛盾. 因此，$\mathscr{S} $是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群.

引理 8  设1≤m≤n-3且$\mathscr{S} $ =$\bigcup\limits_{k \in M} {\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} } $，其中t∈X_n-m且Ø≠M⊆X_n-m\{t}，则$\mathscr{S} $是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群.

证  由引理6可知，$\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $ = $\mathscr{H} $_λ(t，k)^◇，k∈M，从而$\mathscr{S} $是$\mathscr{H} $_(n，m)的一些子群的并集. 注意到im(λ_(t，k))=X_n-m\{t}. 任取k₁，k₂∈M，对α∈$\sqrt {{\lambda _{\left( {t, {k_1}} \right)}}} $，β∈ $\sqrt {{\lambda _{\left( {t, {k_2}} \right)}}} $，显然im(α)=X_n-m\{t}=im(β)，ker(α)=ker(λ_(t，k1))且ker(β)=ker(λ_(t，k2)). 进而易得ker(αβ)=ker(α)=ker(λ_(t，k1))，且im(αβ)=im(β)=im(α)=im(λ_(t，k1))，则αβ∈ $\mathscr{H} $_λ(t，k1)^◇ = $\sqrt {{\lambda _{\left( {t, {k_1}} \right)}}} $ ⊂ $\mathscr{S} $. 同理可得βα∈ $\mathscr{H} $_λ(t，k2)^◇ = $\sqrt {{\lambda _{\left( {t, {k_2}} \right)}}} $ ⊂ $\mathscr{S} $. 从而易证得$\mathscr{S} $是$\mathscr{H} $_(n，m)的子半群. 假设存在η∈ $\mathscr{H} $_(n，m)\ $\mathscr{S} $且n∈ $\mathbb{N} $₊，使得ηⁿ∈ $\mathscr{S} $. 由$\mathscr{S} $是$\mathscr{H} $_(n，m)的子半群且$\mathscr{H} $_(n，m)为有限半群可知，存在t∈ $\mathbb{N} $₊且ε∈$\bigcup\limits_{k \in M} {\left\{ {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} \right\}} $，使得(ηⁿ)^t=η^nt=ε∈ $\mathscr{S} $，则η∈ $\mathscr{S} $，与假设矛盾. 因此，$\mathscr{S} $是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群.

引理 9  设1≤m≤n-3，$\mathscr{T} $是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群，若$\mathscr{T} $ ∩ $\mathscr{G} $_(n，m)≠Ø，则$\mathscr{G} $_(n，m)⊆$\mathscr{T} $.

证  由$\mathscr{T} $ ∩ $\mathscr{G} $_(n，m)≠Ø可知，存在α∈ $\mathscr{T} $ ∩ $\mathscr{G} $_(n，m)，于是1_Xn=α^n!∈ $\mathscr{T} $，其中1_Xn是X_n上的恒等变换. 任取β∈ $\mathscr{G} $_(n，m)，则β^n!=1_Xn∈ $\mathscr{T} $，从而β∈ $\mathscr{T} $. 由β的任意性可得$\mathscr{G} $_(n，m)⊆$\mathscr{T} $.

引理 10^[14]  设$\mathscr{S} $是有限半群. 若$\mathscr{T} $是$\mathscr{S} $的独立子半群，则$\mathscr{T} $ =$\bigcup\limits_{\varepsilon \in E\left( \mathscr{T} \right)} {\sqrt \varepsilon } $.

定理 1  设1≤m≤n-3，则半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群有且仅有以下5类：

(i) $\mathscr{H} $_(n，m)；

(ii) $\mathscr{G} $_(n，m)；

(iii) Sing_(n，m)；

(iv) $\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} $ ∪ $\sqrt {{\lambda _{\left( {k, t} \right)}}} $，其中t，k∈X_n-m且t≠k；

(v) $\bigcup\limits_{k \in M} {\sqrt {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} } $，其中t∈X_n-m且Ø≠M⊆X_n-m\{t}.

证  注意到$\mathscr{G} $_(n，m)，Sing_(n，m)都是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的子半群，$\mathscr{G} $_(n，m)∩Sing_(n，m)=Ø且$\mathscr{H} $_(n，m)= $\mathscr{G} $_(n，m)∪Sing_(n，m)，则由文献[14]可知，$\mathscr{G} $_(n，m)，Sing_(n，m)和$\mathscr{H} $_(n，m)都是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群. 由引理7、引理8可知，类型(iv)，(v)都是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群.

反之，由引理7、引理8可知，类型(iv)，(v)都是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的子半群. 注意到$\mathscr{G} $_(n，m)，Sing_(n，m)都是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的子半群，且$\mathscr{H} $_(n，m)= $\mathscr{G} $_(n，m)∪Sing_(n，m). 设$\mathscr{T} $是半群$\mathscr{H} $_(n，m)的独立子半群，则由引理10可得$\mathscr{T} $ =$\bigcup\limits_{\varepsilon \in E\left( \mathscr{T} \right)} {\sqrt \varepsilon } $. 以下分3种情形讨论：

情形 1  E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{G} $_(n，m)≠Ø且E($\mathscr{T} $)∩Sing_(n，m)=Ø. 由引理9可得$\mathscr{G} $_(n，m)⊆$\mathscr{T} $. 我们断言$\mathscr{T} $ ∩Sing_(n，m)=Ø. 假设α∈ $\mathscr{T} $ ∩Sing_(n，m)，则存在n∈ $\mathbb{N} $₊，使得αⁿ∈E($\mathscr{T} $)∩Sing_(n，m)，与E($\mathscr{T} $)∩Sing_(n，m)=Ø矛盾. 因此$\mathscr{T} $ = $\mathscr{G} $_(n，m).

情形 2  E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{G} $_(n，m)≠Ø且E($\mathscr{T} $)∩Sing_(n，m)≠Ø. 由引理9可得$\mathscr{G} $_(n，m)⊆$\mathscr{T} $. 注意到Sing_(n，m)= $\mathscr{J} $_n-1^◇ ∪ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2). 以下分子情形讨论：

情形 2.1  E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)≠Ø. 由引理3、引理4、引理5可得Sing_(n，m)⊆$\mathscr{T} $，从而$\mathscr{T} $ = $\mathscr{H} $_(n，m).

情形 2.2  E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)=Ø. 由E($\mathscr{T} $)∩Sing_(n，m)≠Ø可得E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{J} $_n-1^◇ ≠Ø. 由引理2可得$\mathscr{T} $ = $\mathscr{H} $_(n，m).

情形 3  E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{G} $_(n，m)=Ø且E($\mathscr{T} $)∩Sing_(n，m)≠Ø. 考虑到Sing_(n，m)= $\mathscr{J} $_n-1^◇ ∪ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2). 以下分子情形讨论：

情形 3.1  E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)≠Ø. 由引理3、引理4、引理5可得Sing_(n，m)⊆$\mathscr{T} $，从而$\mathscr{T} $ =Sing_(n，m).

情形 3.2  E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)=Ø. 显然E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{J} $_n-1^◇ ≠Ø. 注意到E($\mathscr{J} $_n-1^◇)={λ_(t，k)：t，k∈X_n-m且t≠k}. 令

假设|Γ_{$\mathscr{T} $} |≥3，则存在t₁，t₂，t₃，k₁，k₂，k₃∈X_n-m，t_i≠k_i(1≤i≤3)且t₁，t₂，t₃互不相同，使得λ_(t1，k1)，λ_(t2，k2)，λ_(t3，k3)∈E($\mathscr{T} $). 显然存在i∈{2，3}，使得t₁≠k_i. 若t_i=k₁，则k₁≠k_i，从而

这与E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)=Ø矛盾. 若t_i≠k₁且k_i=k₁，则

这与E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)=Ø矛盾. 若t_i≠k₁且k_i≠k₁，则

这与E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)=Ø矛盾. 综上所述，1≤|Γ_{$\mathscr{T} $} |≤2. 若|Γ_{$\mathscr{T} $}|=1，则存在t∈X_n-m，使得Γ_{$\mathscr{T} $} ={t}. 再由Γ_{$\mathscr{T} $}的定义可知，存在Ø≠M⊆X_n-m\{t}，使得E($\mathscr{T} $)=$\bigcup\limits_{k \in M} {\left\{ {{\lambda _{\left( {t, k} \right)}}} \right\}} $，从而

若|Γ_{$\mathscr{T} $} |=2，则存在t，k∈X_n-m且t≠k，使得Γ_{$\mathscr{T} $} ={k，t}. 由Γ_{$\mathscr{T} $}的定义可知，存在Ø≠M⊆X_n-m\{t}，Ø≠N⊆X_n-m\{k}，使得E($\mathscr{T} $)=$\bigcup\limits_{m \in M} {\left\{ {{\lambda _{\left( {t, m} \right)}}} \right\}} $. 由E($\mathscr{T} $)∩ $\mathscr{H} $_(n，m)(n-2)=Ø可得λ_(t，m)λ_(k，n)，λ_(k，n)λ_(t，m)∈ $\mathscr{J} $_n-1^◇，从而t∈{k，n}且k∈{t，m}. 注意到t≠k，则t=n且k=m. 由m，n的任意性可得，M={k}且N={t}，于是E($\mathscr{T} $)=$\bigcup\limits_{m \in M} {\left\{ {{\lambda _{\left( {t, m} \right)}}} \right\}} $∪$\bigcup\limits_{n \in M} {\left\{ {{\lambda _{\left( {t, n} \right)}}} \right\}} $={λ_(t，k)}∪{λ_(k，t)}，从而

注 1  易知半群$\mathscr{H} $_(n，n-1)唯一的独立子半群是它本身，$\mathscr{H} $_(n，n-2)的所有独立子半群为半群$\mathscr{H} $_(n，n-2)，$\mathscr{G} $_(n，n-2)，Sing_(n，n-2)，{λ_(m+1，m+2)}和{λ_(m+2，m+1)}.