The Little Hankel Operator on the Unit Circle

LI Yong-ning; LIANG Huan-chao; DING Xuan-hao

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2021.06.012

Let u be a nonconstant inner function. The little Hankel operator on the unit circle is a linear operator from uH²to $\overline {z{H^2}} $, which can be viewed as the restriction of Hankel operator on the classical Hardy space to uH², but some of its properties are quite different from those of the Hankel operator on Hardy space. In this paper, based on the classical Hankel operator theory on Hardy space, we completely characterize the boundedness and the finite rank property of the little Hankel operator and describe the finite rank property of the product of two little Hankel operators.

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记$\mathbb{D} $是复平面$\mathbb{C} $上的开单位圆盘，∂$\mathbb{D} $是单位圆周. 记dθ为∂$\mathbb{D} $上的弧长测度，L^p(∂$\mathbb{D} $)表示由$\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}$诱导的Lebesgue空间. Hardy空间H^p(0＜p＜∞)是由$\mathbb{D} $上满足条件

的解析函数在‖·‖_p范数下构成的赋范线性空间. 当p=∞时，H^∞表示$\mathbb{D} $上的有界解析函数空间，且‖f‖_∞=$\mathop {\sup }\limits_{0 < r < 1} $ {|f(z)|：z∈ $\mathbb{D} $ }. 根据Fatou定理与调和延拓定理^[1]，H^p等距同构于L^p(∂$\mathbb{D} $)的一个闭子空间. 在不加说明的情况下，本文将H²视为L²(∂$\mathbb{D} $)的一个闭子空间，并将L^p(∂$\mathbb{D} $)简记为L^p.

设P：L²→H²为正交投影，对φ∈L^∞，f∈H²，T_φf=P(φf)为Hardy空间H²上以φ为符号的Toeplitz算子. 记P_-=I-P，H_φf=P_-(φf)为H²上以φ为符号的Hankel算子. 对g∈L²，M_φg=φg为L²上以φ为符号的乘法算子. 对任意的h∈(H²)^⊥，S_φh=P_-(φh)为从(H²)^⊥到(H²)^⊥的以φ为符号的对偶Toeplitz算子. 则M_φ在L²=H²⊕(H²)^⊥上有如下形式的表示：

设u为非常值的内函数，则K_u²=H²⊖uH²为模型空间，正交补空间(K_u²)^⊥=uH²⊕$\overline {z{H^2}} $是一个调和函数Hilbert空间. 文献[2]类比了Hardy空间上经典Toeplitz算子的定义，引入了(K_u²)^⊥上的Toeplitz算子，并称其为对偶截断Toeplitz算子，该算子的定义如下：对任意的φ∈L^∞，x∈(K_u²)^⊥，以φ为符号的对偶截断Toeplitz算子D_φ定义为D_φx=Q_u(φx)，其中Q_u=M_uPM_u +P_-：L²→(K_u²)^⊥为正交投影. 则在(K_u²)^⊥=uH²⊕$\overline {z{H^2}} $上，D_φ有如下的分解形式：

其中，对任意的y∈uH²，t_φ：uH²→uH²定义为t_φy=uP(uφy)，被称为小Toeplitz算子，b_φ：uH²→$\overline {z{H^2}} $定义为b_φy=P_-(φy)，被称为小Hankel算子^[3]. 一方面，小Toeplitz算子与小Hankel算子的引入使得D_φ在(K_u²)^⊥上的表示与M_φ在L²上的表示在形式上一致；但另一方面，D_φ与M_φ的性质差别却很大，例如：对任意的φ，ψ∈L^∞(∂$\mathbb{D} $)，总有M_φM_ψ=M_φψ=M_ψM_φ，而D_φD_ψ=D_φψ和D_φD_ψ=D_ψD_φ在一般情况下并不成立，反例的构造具体可见文献[4]. 经过分析，由于M_u t_φM_u=T_φ，从而t_φ与T_φ是酉等价的，因此t_φ的基本性质和T_φ一致，则使得D_φ与M_φ的性质差别较大的原因在于小Hankel算子与Hankel算子的性质有一定差异. 对于小Hankel算子，易知b_φ=H_φ|_uH²，这表明小Hankel算子的某些性质可以直接由Hankel算子的性质得到. 但反过来，小Hankel算子具有的性质对于Hankel算子却不一定成立. 所以本文讨论小Hankel算子的一些基本性质是很有意义且必要的.

已知{uzⁿ：n≥0}为uH²的一组标准正交基，且{ z^m：m≥1}为(H²)^⊥=$\overline {z{H^2}} $的一组标准正交基，则对任意的i≥1，j≥0，通过简单计算可知

这里，$\widehat {\varphi u}$(n)为φu的n次傅里叶系数，因此，b_φ=〈a_ij〉在一组标准正交基{uzⁿ：n≥0}下的表示是Hankel矩阵形式，即该矩阵的每条斜对角线上的元素均为常值. Hankel矩阵是由文献[5]引入的，而且文献[5]最先发现了有限维Hankel矩阵的行列式的一些有趣的代数性质. 由上述计算可知：Hankel算子在其所在空间的一组规范正交基下的矩阵表示是一个Hankel矩阵. 文献[6]刻画了有限秩的Hankel矩阵，这是第一个有关Hankel矩阵的分析结果. 对于Hardy空间上的Hankel算子，一个非常重要的基本结果是Nehari定理^[7]，该定理完全刻画了Hankel算子的有界性. 由于Hankel算子与Toeplitz算子及乘法算子之间的紧密联系以及其在分析学、控制理论^[8]、工程学等领域的重要应用，直到现在，关于不同的函数空间上的Hankel算子的研究仍十分活跃. 有关Hankel算子更全面的介绍和更深入的讨论，可以参考文献[9-17]. 受到Hardy空间上Hankel算子的研究结果的启发，本文中，我们主要研究了uH²上的小Hankel算子的一些基本性质，例如：有界性、有限秩性质等.

1. 预备知识

本节我们主要回顾经典的Hardy空间上Hankel算子的基本性质，例如有界性，有限秩性质等，这与我们下节中所要探讨的uH²上的小Hankel算子的一些基本性质密切相关.

引理 1^[7] 若φ∈L²(∂$\mathbb{D} $)，则H_φ是有界的当且仅当存在g∈L^∞(∂$\mathbb{D} $)使得H_φ=H_g.

著名的Kronecker定理^[6]完全描述了有限秩的Hankel算子，该定理表明Hankel算子T是有限秩的当且仅当存在h∈H^∞(∂$\mathbb{D} $)及有限Blaschke积u，使得T=H_zug. Kronecker定理揭示了有限秩的Hankel算子与有理函数之间的关系. 在这里，本文引用另一版本的Kronecker定理如下：

引理 2^[6] 若φ∈L^∞(∂$\mathbb{D} $)，则H_φ是有限秩的当且仅当存在一个非零的解析多项式a(z)使得aφ∈H^∞(∂$\mathbb{D} $).

2. 小Hankel算子的基本性质

本节我们主要讨论uH²上小Hankel算子的一些基本性质，例如有界性，有限秩性质等. 显然地，根据小Hankel算子的定义，通过标准的计算，我们可得：

命题 1  对任意的y∈zH²，b_φ^*y =uPuφy =M_uH_uφ^*y，且b_φ^*≠b_φ.

命题 2  若φ∈H^∞(∂$\mathbb{D} $)，则b_φ=0.

从经典的Hardy空间上的Toeplitz算子乘积与Hankel算子乘积的关系出发，我们得到了uH²上的小Toeplitz算子乘积与小Hankel算子乘积之间的关系式. 该关系式在后面研究小Hankel算子的有限秩性质时发挥了重要作用.

命题 3  设u为非常数值的内函数，且φ，ψ∈L^∞(∂$\mathbb{D} $)，则

证  根据Hardy空间上Toeplitz算子与Hankel算子之间的关系

则对任意的x∈H²，ux∈uH²，将ux代入(1)式，可得

现在，将算子PM_u作用在(2)式的两端，得到

注意到

运用相同的技巧，可得

将等式(4)-(6)代入等式(3)中，则等式(3)可变形为

现在将算子M_u作用在(7)式的两端，则可得

这意味着

因此，我们就得到了uH²上的小Toeplitz算子与小Hankel算子之间的关系

证毕.

由M_φM_ψ=M_φψ=M_ψM_φ以及乘法算子在L²上的表示可知H_φψ=H_φT_ψ+S_φH_ψ，从而当φ∈H^∞(∂$\mathbb{D} $)时，H_φψ=H_ψT_φ=S_φH_ψ. 虽然D_φD_ψ=D_ψD_φ和D_φD_ψ=D_φψ在一般情况下并不成立，但通过直接计算，关于小Toeplitz算子和小Hankel算子，我们得到了类似的结果.

命题 4  若φ∈H^∞(∂$\mathbb{D} $)，则b_φψ=b_ψt_φ=S_φb_ψ.

证  对任意的x∈H²，ux∈uH²，由于b_φψux=P_-(φψux)，而且

又因为x∈H²，φ∈H^∞(∂$\mathbb{D} $)，故φx∈H²，从而P_-φx=0，因此b_ψt_φux=P_-(ψuφx)，故b_ψt_φ=b_φψ.

类似地，因为

而且由φ∈H^∞(∂$\mathbb{D} $)知φP(ψux)∈H²，故P_-(φP(ψux))=0. 从而S_φb_ψux=P_-(φψux)=b_φψux，因此S_φb_ψ=b_φψ. 则有b_φψ=b_ψt_φ=S_φb_ψ.

故命题4得证.

算子的有界性是算子理论中非常基本且重要的问题，所以关于小Hankel算子在什么条件下是有界算子的问题是我们需要最先解决的问题. 下述定理给出了小Hankel算子的有界性的完全刻画：

定理 1  若φ∈L²(∂$\mathbb{D} $)，则b_φ是有界的当且仅当存在g∈L^∞(∂$\mathbb{D} $)使得H_φu=H_g.

证  由于

所以b_φ是有界的当且仅当H_φu是有界的，则由引理1知，b_φ是有界算子充要条件为：存在g∈L^∞(∂$\mathbb{D} $)使得H_φu=H_g.

对于任意的φ，ψ∈L^∞(∂$\mathbb{D} $)，关于小Hankel算子，我们主要考虑以下两个问题：

问题 1  在什么条件下，b_φ是有限秩算子？

问题 2  在什么条件下，b_φ^* b_ψ是有限秩算子？

对于上述两个问题，根据Hardy空间上有限秩的Hankel算子的刻画以及Hankel算子与小Hankel算子之间的关系，我们得到如下结果：

定理 2  若φ∈L^∞(∂$\mathbb{D} $)，则b_φ是有限秩算子当且仅当存在解析多项式a(z)，使得a(z)φ(z)u(z)∈H^∞(∂D).

证  对任意的x∈H²，有ux∈uH²，则

从而，b_φ为有限秩算子当且仅当H_φu为有限秩算子. 因此，根据引理2，b_φ为有限秩算子当且仅当存在解析多项式a(z)，使得a(z)φ(z)u(z)∈H^∞(∂D).

下述例1表明：存在φ∈L^∞(∂D)，使得小Hankel算子b_φ是有限秩算子，但Hankel算子H_φ却不是有限秩的.

例 1  设φ₁为有理函数，u是非有理函数的内函数. 令φ=φ₁u，根据定理2，易知b_φ是有限秩算子. 但H_φ不是有限秩的.

定理 3  b_φ^* b_ψ为有限秩算子当且仅当下述情况之一成立：

(i) 存在某个解析多项式a(z)，使得a(z)φ (z)u(z)∈H^∞；

(ii) 存在某个解析多项式b(z)，使得b(z)u²(z)ψ (z)∈H^∞.

证  根据等式(8)，有b_φ^*b_ψ=b_φ^* b_(ψu)u=t_φψu-t_φut_u²ψ，从而b_φ^*b_ψ为有限秩算子当且仅当t_φψu-t_φu t_u²ψ为有限秩算子. 对任意的x∈H²，ux∈uH²，有

由于M_u是等距算子，若t_φψu-t_φut_u²ψ为有限秩算子，则T_uφψx-T_uφT_u²ψ是有限秩的. 又因为

因此b_φ^*b_ψ为有限秩算子当且仅当H_φu^*H_u²ψ是有限秩的. 从而，b_φ^*b_ψ为有限秩算子当且仅当H_φu(或H_u²ψ)为有限秩的. 由引理2知，b_φ^*b_ψ为有限秩算子当且仅当：要么存在某个解析多项式a(z)使得a(z)φ(z)u(z)∈H^∞，要么存在某个解析多项式b(z)使得b(z)u²(z)ψ (z)∈H^∞. 证毕.

3. 展望

Hardy空间上可以定义不同类型的Hankel算子，而且这些算子在Hardy空间的一组规范正交基上的表示均是Hankel矩阵形式. 例如，文献[9, 16-17]对任意的φ∈L^∞，f∈H²，定义了Hankel算子H_φ^U：H²→H²为H_φ^Uf=PU(φf)，这里U：L²→L²为酉算子且由Ug(z)=zg(z)给出. 根据计算可知：H_φ^U=UH_φ. 对于H_φ^U，讨论其谱性质或Hankel算子的乘积仍为一个Hankel算子等问题均是有意义的. 类似地，我们可以引入从uH²到uH²的小Hankel算子：

定义 1 设u为非常值的内函数，对任意的φ∈L^∞，x∈H²，ux∈uH²，定义符号为φ的小Hankel算子b_φ^U：uH²→uH²为b_φ^Uux=M_uPUM_φux.

注 1 根据标准计算，容易知道b_φ^U在uH²的一组规范正交基{uzⁿ：n≥0}上的表示是一个Hankel矩阵形式. 因此，定义1是有意义的，而且b_φ^U=M_uUb_φ.

我们将在后续的工作中继续讨论小Hankel算子b_φ的一些性质，例如紧性、Schatten类性质，以及小Hankel算子b_φ^U的谱理论，及刻画两个甚至多个小Hankel算子的乘积为一个小Hankel算子等.

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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