Estimate for a Class of Conditional Covariance and Its Large Sample Properties

在导出估计量的渐近性质之前，一些限制性条件十分必要，它们经常在非参数核估计中用到，尽管它们不是最弱的，但能使证明变得简便.

(C1) U的边缘密度f(u)具有紧支集，并且在支撑集中，f(u)显著大于0，具有连续的二阶导数.

(C2) E(Xk1j1Xk2j2|U=u)存在并且在u点具有连续的二阶导数，其中j1，j2∈{1，2，…p}，k1，k2∈{0，1}，k1和k2可能不相同，存在某个δ＞0，使得E(|Xk1j1Xk2j2|2+δ|U=u)＜+∞.

(C3) 核密度函数K(v)满足以下条件：K(v)有界并且关于原点对称，K(v)≥0，

(C4) 存在常数c使得窗宽h→0，nh⁵→c，c＞0，当n→+∞.

为方便起见，有必要对一些符号表示含义作如下说明：令函数g(u)，$\dot{g}(u)$和$\ddot{g}(u)$分别表示g(u)的一阶、二阶导数，令

在类似于(C1)-(C4)的条件下，文献[7]得到条件协方差矩阵的核估计大样本形式：

其中：

为导出$\widetilde{\mathit{\boldsymbol{\Sigma}}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$的大样本性质，给出如下引理1.

引理1  令u为U的支撑的内点，在条件(C1)-(C4)下

逐点依分布收敛，其中

证  令

X_i，j为X的第j个分量第i次观测，则有

由于${\hat{f}(u)}$=f(u)+o_p(1)，故只须推导出$\frac{1}{n h} \sum\limits_{i=1}^{n}$(X_i，j1X_i，j2-m_XX^j₁，j₂(u))K$\left(\frac{U_{i}-u}{h}\right)$的渐近分布即可. 对A₂进行泰勒展开

不难得到

依据条件(C2)和有界的核密度函数K(·)以及C_r不等式^[9]，由Liapunov's中心极限定理可知$\sqrt{n h} A_{1}$→N(0，Var(X_j1X_j2|U=u)K₀f(u))依分布收敛. 易知

故有

类似以上讨论，

引理得证.

值得注意的是，尽管引理1给出核估计量的渐近正态性，但是这没有必要，只须将估计量写成以下相合形式：

其中

类似引理1过程，不难得到以下结果：

其中

通过以上讨论，由(2)式、(3)式，根据条件(C1)-(C4)和C_r不等式^[9]可得定理1.

定理1  令u为U的支撑的内点，在条件(C1)-(C4)下，

逐点依分布收敛，其中

定理2给出逆协方差矩阵估计量的大样本性质.

定理2  设u为协变量U的内点，在条件(C1)-(C4)下，

证  由定理1，根据文献[10]讨论，假设

依据$\widetilde{\mathit{\boldsymbol{\Sigma}}}_{\boldsymbol{XX}}(u)^{-1} \widetilde{\mathit{\boldsymbol{\Sigma}}}_{\boldsymbol{XX}}(u)=\boldsymbol{I}$，解下列方程得到B_n，V_n：

左边是

故

定理得证.

同理可得

借助文献[7]采用留一交叉验证拟似然函数来选择最优窗宽：

$\hat{\boldsymbol{m}}_{-i}\left(u_{i}\right), \widetilde{\mathit{\boldsymbol{\Sigma}}}_{\boldsymbol{X} \boldsymbol{X}}(u)_{(-i)}$分别是去掉第i个样本后的N-W核估计量和新估计量. σ_ij表示矩阵的(i，j)元素，采用100次蒙特卡洛模拟的偏差平均数来衡量估计量估计性能，偏差项数越多，可能的偏差越大，因此以下模拟协变量U为[0, 1]上的均匀分布. 由于Σ_XX(u)中有效参数数量为$\frac{p(p+1)}{2}$，限于篇幅，以下随机模拟选择p=3，4.

模型1  X|U=u~N₃(m(u)，Σ_XX(u))，其中m(u)=$\left(\begin{array}{c}u \\ \sin (u) \\ \mathrm{e}^{u}\end{array}\right)$，Σ_XX(u)=AA^T，

从表 1中可知，协方差矩阵6个参数估计中，$\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$在σ₁₁，σ₁₂，σ₂₂上要好于$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$，$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$在σ₁₃，σ₂₃，σ₃₃上优于$\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$.从表 2看到，当样本容量增加时，$\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$^-1在绝大部分点优于$\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$^-1. 从表 1、表 2中观测到，当样本容量增加时，估计量偏差越来越趋于零，印证了定理1、定理2.

模型2  X|U=u~N₄(m(u)，$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$)，其中m(u)=$\left(\begin{array}{c}u^{2} \\ \cos (u) \\ \mathrm{e}^{u} \\ \ln (1+u)\end{array}\right)$，$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$=AA^T，$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ \sin (u) & \cos (u) & 0 & 0 \\ 2 \sin (u) & 4 \sin (u) & 2 \cos (u) & 0 \\ 6 \cos (u) & 3 \sin (u) & 5 \sin (u) & 4 \cos (u)\end{array}\right)$，U~U[0, 1]

通过表 3可知，除σ₄₄在u取值较小点外，$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$估计的各参数与零的接近程度好于$\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$，随着u取值增大，$\widetilde{\boldsymbol{\Sigma}}_{\boldsymbol{XX}}(u)$^-1估计量的优势越来越明显.

本文给出动态协方差矩阵核估计量的另外一种形式，由于文献[7]给出的核估计量在每个样本点均需计算$\hat{\boldsymbol{m}}_{X}\left(U_{i}\right)$，尤其利用交叉验证选择最优窗宽时，计算格外耗时，另外其估计量的大样本性质推导极为繁琐. 相比较而言，本文建议的核估计量的计算相对简单，大样本性质简单易得，并且模拟结果表明，其估计效果不比文献[7]给出估计量差.