Generalizing the Marshall-Type Minimal Inequalities for Non-negative Demimartingales

设{S_n，n≥1}表示定义在概率空间(Ω，$\mathscr{F}$，P)上的随机变量序列. 记S₀=0，I(A)是集合A的示性函数，p＞0，p≠1并且$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.{c_n，n≥1}是$\mathbb{R}$上不增的正数序列，g(·)是$\mathbb{R}$上的不减凸函数，记$A=\left\{\min\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} c_{k} g\left(S_{k}\right) \leqslant \varepsilon\right\}$, $B=\left\{\min\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} g\left(S_{k}\right) \leqslant \varepsilon\right\}$, $N=\left\{\min\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} S_{k} \leqslant \varepsilon\right\}$.

定义1  设{S_n，n≥1}是L¹(Ω，$\mathscr{F}$，P)上的随机变量序列，如果对任意1≤i≤j＜∞，有

则称随机变量序列{S_n，n≥1}是一个弱鞅(demimartingale)，其中f是使上述期望存在且分量不减的函数. 若进一步假设f是一个非负函数，则称{S_n，n≥1}是一个弱下鞅(demisubmartingale).

弱鞅的概念最先是由文献[1]提出的，之后很多学者对弱(下)鞅进行了研究，给出了弱(下)鞅的一些概率不等式以及这些不等式的应用^[2-12].

对于零均值的平方可积随机变量X和任意函数ε，有

文献[2]进一步推广，对任意函数ε

其中：EX_k=0，E(X_k|X₁，X₂，…，X_k-1)=0 a.e.，k≥2，且EX_k²＜∞，k≥1.

在上述条件下，如果令

那么{S_n，n≥1}就是一个鞅. 文献[4]在E|X_i|^p＜∞，i≥1，且p≥2的条件下，将(1)式推广，对于任意ε＞0，得到如下形式的Marshall型不等式

其中α是下列函数的最大值

之后，文献[5]将文献[4]中的若干结论推广到弱鞅的情形下，得到了弱鞅的Marshall型概率不等式. 文献[14]将文献[5]中关于非负弱鞅{S_n，n≥1}的Marshall型极小值不等式推广到了形如{g(S_n)，n≥1}的弱鞅的情形.

受文献[5]和[14]的启发，本文将文献[5]和[14]中关于非负弱鞅{S_n，n≥1}的Marshall型极小值不等式推广到{c_ng(S_n)，n≥1}的情形下，其中g是$\mathbb{R}$上不减的凸函数，{c_n，n≥1}是$\mathbb{R}$上不增的正数序列.

引理1  ^[13]若E|X|^p＜∞，E|Y|^q＜∞，则

引理2  ^[15]设{S_n，n≥1}是一个非负弱鞅，g(·)是一个不减的凸函数，使得g(0)=0，且对任意的n≥1，有Eg(S_n)＜∞. {c_n，n≥1}是一个不增的正数序列，那么对任意n≥1，ε＞0，有

引理3  设{S_n，n≥1}是一个非负弱鞅，g(·)是一个不减的凸函数，使得g(0)=0. 若0＜p＜1，使得对任意的n≥1，有Eg(S_n)＜∞. {c_n，n≥1}是一个不增的正数序列，那么对任意n≥1，ε＞0，有

证  记Y=I_A，运用Hölder不等式(3)和引理2，可以得到

由于

原命题得证.

定理1  设{S_n，n≥1}是一个非负弱鞅，{c_n，n≥1}是$\mathbb{R}$上不增的正数序列，g(·)是$\mathbb{R}$上不减的凸函数，且g(0)=0. 若存在0＜p＜1，使得对于任意n≥1，均有E[c_ng(S_n)]＜∞，那么对于任意ε＞0有

其中M₁，M₂是下面方程的正解，且M₁≤M₂，

其中

证  显然，当P(A)=P{$\min\limits_{1 \leqslant k \leqslant n}$c_kg(S_k)≥ε}=0时，(7)式显然成立. 下面考虑当P(A)＞0时的情况.

当P(A)＞0时，通过引理3可以得到：

两边同时除以P(A)^q，有

即有

从而有

令$x_{0}=\frac{1-P(A)}{P(A)}$，则有

因此有

即有

因为0＜p＜1且$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，由Hölder不等式和弱鞅的非负性可得

不难发现

因此，我们可以通过满足M₁≤M₂的M₁和M₂得到方程(9)的正解. 又因为$x_{0}=\frac{1-P(A)}{P(A)}$满足(10)式且q＜0，β＜1，因此(8)式得证. 特别地，如果M₁=M₂，那么有

若在定理1中，令c_n≡1，那么就有以下推论1.

推论1  设{S_n，n≥1}是一个非负弱鞅，g(·)是$\mathbb{R}$上不减的凸函数，且g(0)=0. 若存在0＜p＜1，使得对于任意n≥1，均有E[g(S_n)]^p＞0，那么对于任意ε＞0有

其中M₁，M₂是方程(9)的正解，且M₁≤M₂，其中

若在定理1中，取c_n≡1，g(x)=x，则又有以下推论2.

推论2  设{S_n，n≥1}是一个非负弱鞅，若存在0＜p＜1，使得对于任意n≥1，均有ES_n^p＞0，那么对于任意ε＞0，有

其中M₁，M₂是方程(9)的正解，且M₁≤M₂，其中$\beta=\frac{\left(\varepsilon+E S_{n}\right)^{q}}{\left(E S_{n}^{p}\right)^{\frac{q}{p}}}$.

注  推论1是文献[14]中的定理3.1，推论2是文献[5]中的定理2.2，因此本文中的定理1是文献[14]中定理3.1和文献[5]中定理2.2的推广.