Existence of Infinite Solutions for Fractional Singular Elliptic Equations

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本文中，我们研究如下问题：

其中，Ω⊂ $\mathbb{R}^N $(N≥3)是具有光滑边界的有界区域，0 < s < 1，0≤α < 2s < N， $0 \le \gamma < {\gamma _H} = {4^s}\frac{{{\mathit{\Gamma} ^2}\left( {\frac{{N + 2s}}{4}} \right)}}{{{\mathit{\Gamma} ^2}\left( {\frac{{N - 2s}}{4}} \right)}}$， $2_s^*(\alpha ) = \frac{{2(N - \alpha )}}{{N - 2s}}$是Sobolev-Hardy临界指数， $2_s^*(0) = 2_s^* = \frac{{2N}}{{N - 2s}}$是Sobolev临界指数，λ是正参数.

近年来，带有Sobolev-Hardy临界指数的奇异椭圆方程受到广泛关注.当s=1时，方程即是整数阶方程，文献[1-3]利用山路引理得到了这类整数阶方程存在正解，文献[4]利用极大极小值原理得到了其变号解.文献[5-6]在g(x，u)满足关于u是奇函数的条件下，得到了这类整数阶方程无穷多解的存在性.

当0 < s < 1时，关于分数阶方程解的存在性可参见文献[7-8].文献[9]得到了这类分数阶方程多解的存在性.文献[10]在以下条件(G)成立时，得到了Sobolev临界分数阶p-Laplacian方程无穷多解的存在性：

(G) 存在d₁，r₀＞0， $\tau > \frac{{p_\alpha ^*}}{{p_\alpha ^* - p}}$，使得 $g{(x, u)^\tau } \le {d_1}\left( {\frac{1}{p}g(x, u) - G(x, u)} \right)$对于所有x∈ $\mathbb{R}^N $和‖u‖≥r₀成立.

条件(G)保证了PS序列的有界性.我们在文献[10]的基础上，考虑了分数阶椭圆方程在Sobolev-Hardy临界情况下无穷多解的存在性.在Sobolev-Hardy临界情况下不需要条件(G)也能证明PS序列有界.本文通过文献[11]的方法，在没有条件(G)的情况下，证明了能量泛函在某一范围内满足(PS)_c^*条件，运用对偶喷泉定理，得到了方程(1)存在无穷多个弱解.

本文中，非线性项 $g \in C(\bar {\mathit{\Omega}} \times \mathbb{R}, \mathbb{R})$满足以下条件：

(g₁) $\mathop {\lim }\limits_{|t| \to \infty } \frac{{g(x, t)}}{{{t^{2_s^*(\alpha ) - 1}}}} = 0$对x∈Ω一致成立；

(g₂) $\mathop {\lim }\limits_{|t| \to 0} \frac{{g(x, t)}}{t} = + \infty $对x∈Ω一致成立；

(g₃) g(x，-t)=-g(x，t)对所有 $t \in \mathbb{R}$和x∈Ω成立.

我们用H^s(Ω)表示分数阶Sobolev空间^[12]，其范数定义为

泛函空间为

记空间的范数为

当γ < γ_h时，Sobolev-Hardy最佳常数^[13]定义为

方程(1)对应的能量泛函为

方程的解与泛函的临界点一一对应.本文中用C，C_i表示各种正常数.

我们的主要结果如下：

定理1  假设条件(g₁)-(g₃)成立，则存在λ^*＞0，对任意λ∈(0，λ^*)，方程(1)有无穷多个弱解{u_k}⊂X₀^s(Ω)，满足：J(u_k) < 0，且当k→+∞时，J(u_k)→0.

引理1^[14]  假设{u_n}⊂X₀^s(Ω)是一个有界序列，当2 < p_n≤2_s^*(α)(p_n→2_s^*(α)，n→∞)时，存在一个子列(仍记为{u_n})满足：

(ⅰ) 在L²(Ω)中， $\frac{{{u_n}}}{x}$⇀ $\frac{u}{x}$；

(ⅱ) 当n→∞时， $\int_{\mathit{\Omega}} {\frac{{{{\left| {{u_n}} \right|}^2}}}{{|x{|^\alpha }}}} {\rm{d}}x - \int_{\mathit{\Omega}} {\frac{{{{\left| {{u_n} - u} \right|}^2}}}{{|x{|^\alpha }}}} {\rm{d}}x \to \int_{\mathit{\Omega}} {\frac{{|u{|^2}}}{{|x{|^\alpha }}}} {\rm{d}}x$；

(ⅲ) 当n→∞时，对任意的v∈X₀^s(Ω)， $\int_{\mathit{\Omega}} {\frac{{{{\left| {{u_n}} \right|}^{{p_n} - 2}}}}{{|x{|^\alpha }}}} {u_n}v{\rm{d}}x \to \int_{\mathit{\Omega}} {\frac{{{{\left| u \right|}^{2_s^*(\alpha )}} - 2}}{{|x{|^\alpha }}}} uv{\rm{d}}x$.

引理2^[15](对偶喷泉定理)  设X是Banach空间，满足 $J \in {C^1}(X, \mathbb{R})$是偶泛函，X_j(j=1，2，…)为X上的一维子空间，且 $X = \overline {\mathop \oplus \limits_{j \in \mathbb{N}} {X_j}} $，记 ${Y_k} = \mathop \oplus \limits_{j = 1}^k {X_j}, {Z_k} = \overline {\mathop \oplus \limits_{j = k}^\infty {X_j}} $，k为自然数，如果存在k₀＞0，对任意的k≥k₀，存在ρ_k＞r_k＞0，使得以下条件成立：

(B₁) ${a_k} = \mathop {\inf }\limits_{u \in {Z_k}} J\left( u \right) \ge 0$；

(B₂) ${b_k} = \mathop {\max }\limits_{u \in Y} J\left( u \right) < 0$；

(B₃) ${d_k} = \mathop {\inf }\limits_{u \in {Z_k}} J\left( u \right) \to 0\left( {k \to \infty } \right)$；

(B₄) 对任意的c∈[d_k0，0)，J满足(PS)_c^*条件.

则J有一个临界点序列{u_k}，且J(u_k) < 0 (k=1，2，…)，J(u_k)→0(k→+∞).

J满足(PS)_c^*条件是指：对于X中所有满足n_j→∞时，u_nj∈Y_nj，J(u_nj)→c，J|′_Ynj(u_nj)→0的序列{u_nj}，都包含一个收敛的子序列，且收敛到J的临界点.

引理3  假设g满足条件(g₁)，则存在常数C＞0，使得

证  由条件(g₁)可以得到

所以

记

则(3)式成立.

引理4  假设条件(g₁)成立，则对任意的β₀＞0，存在λ^*＞0，使得对任意λ∈(0，λ^*)，J都满足(PS)_c^*条件，其中 $c \in\left(-\infty, \frac{2 s-\alpha}{2(N-\alpha)} {\mathit{\Lambda}}_{\gamma, s, \alpha}^{\frac{N-\alpha}{2 s-\alpha}}-\beta_{0}\right)$.

证  设{e_j}是X₀^s(Ω)中的一组标准规范正交基，X_j=Re_j， ${Y_k} = \mathop \oplus \limits_{j = 1}^k {X_j}$，序列{u_nj}⊂X₀^s(Ω)，使得u_nj∈Y_nj，J(u_nj)→c，J|′_Ynj(u_nj)→0(n_j→∞)，对任意v∈X₀^s(Ω)，都有

首先证明{u_n}在X₀^s(Ω)中有界.对充分大的n_j，有

由(5)式和(6)式可知

因为Ω⊂ $\mathbb{R}^N $是有界区域，所以存在常数C₀＞0，使得Ω⊂B(0，C₀)，且

由(3)式和(7)式可得

因此，当 $\lambda \in\left(0, \frac{2 s-\alpha}{2 C_{0}^{\alpha}(N-\alpha)}\right)$时，有

由条件(g₁)可得

因为

所以

故

结合(8)式可得

故{u_n}在X₀^s(Ω)中有界.

再证明在X₀^s(Ω)中u_n→u.

由以上证明知{u_n}在X₀^s(Ω)中有界，所以存在子序列{u_nj}，使得在X₀^s(Ω)中u_nj→u.

根据Vitali定理和引理1，有

根据(4)式，对任意的v∈X₀^s(Ω)，有

首先令w_nj=u_nj-u，由J′(u_nj)→0，有

由Brezis-Lieb引理和引理1，可以得到

结合(3)式和(8)式可得

令

则对任意λ∈(0，λ^*)，有

再由J(u_nj)→c(n_j→∞)，由Brezis-Lieb引理和引理1，得到

根据(9)式和(10)式可得

我们断言，当n_j→∞时，‖w_nj‖→0.否则，存在子序列(仍记为{w_nj})和正常数m，使得

根据Λ_γ，s，α的定义，有

因为m≠0，所以 $m \geqslant {\mathit{\Lambda}}_{\gamma, s, \alpha}^{\frac{N-\alpha}{2 s-\alpha}}$.结合(13)式，可以得到

这与(12)式矛盾.所以m=0，在X₀^s(Ω)中有u_n→u.

定理1的证明

假设条件(g₃)成立，对任意的u∈X₀^s(Ω)，都有J(u)=J(-u)，所以J是偶泛函.我们下面将逐一验证引理2中的条件成立.

(B₁) 根据条件(g₁)，存在常数C₈＞0，满足

所以

由Sobolev不等式和Sobolev-Hardy不等式，存在常数R₁，R₂＞0，使得

我们记 $\varphi_{k}=\sup\limits_{u \in Z_{k} \atop\|u\|=1}\|u\|_{1}$，R₀=min{R₁，R₂}.对u∈Z_k，‖u‖≤R₀，根据(14)式可得

选取ρ_k=4λC₈φ_k.根据文献[14]中的引理3.8，φ_k→0(k→∞)，有ρ_k→0(k→∞).从而存在k₀＞0，当k≥k₀时有ρ_k≤R₀.即对k≥k₀，u∈Z_k，‖u‖=ρ_k，所以得到J(u)≥0.

(B₂) 因为Y_k是有限维空间，所以对任意的u∈Y_k，存在θ＞0，使得θ‖u‖≤‖u‖₂.根据条件(g₂)，对 $M = \frac{2}{{\lambda {\theta ^2}}}$，存在r₀＞0，满足当0 < |t| < r₀时， $G(x, t) \ge \frac{{M{t^2}}}{2}$.因此，对任意的u∈Y_k，‖u‖=1，当r_k＞0充分小时，可得

则对u∈Y_k，‖u‖=r_k，有J(u) < 0.选取r_k < ρ_k，(B₂)成立.

(B₃) 根据(15)式，当k≥k₀时，u∈Z_k且‖u‖≤ρ_k，满足

由于当k→∞时φ_k→0，ρ_k→0，并且0∈Z_k，J(0)=0， $-\lambda C_{8} \varphi_{k} \rho_{k} \leqslant \inf\limits_{u \in Z_{k} \atop\|u\|=r_{k}} J(u)<0$.

所以， ${d_k}\mathop {\inf }\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {u \in {Z_k}}\\ {u = {\rho _k}} \end{array}} J(u) \to 0$.从而(B₃)成立.

(B₄) 存在λ^*＞0，当λ∈(0，λ^*)时， $\frac{{2s - \alpha }}{{2(N - \alpha )}}{\mathit{\Lambda}} _{\gamma , s, \alpha }^{\frac{{N - \alpha }}{{2s - \alpha }}} > {\beta _0}$.由引理4可知，对c∈[d_k0，0)，J满足(PS)_c^*条件.