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令Ω⊂
$\mathbb{R}^{3}$ 是一个边界光滑的有界域. 本文主要研究Ω上具有奇异振荡力的三维非自治Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer方程[1-4]:其中:a∈
$\mathbb{R}$ ,b>0,r∈[1,∞),μ>0是流体的运动粘度,α是流体弹性的表征参数,函数u=u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))表示流体的速度,p=p(x,t)表示压力. 当a,b=0时,方程(1)为带奇异振荡力的Navier-Stokes-Voigt方程[5-10];当α=0时,方程(1)为带奇异振荡力的Brinkman-Forchheimer方程[11-15];当a,b,α=0时,方程(1)为带奇异振荡力的Navier-Stokes方程[16-17].结合方程(1),我们考虑如下平均Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer方程:
记函数
其中函数f0(x,s),f1(x,s)∈Lb2(
$\mathbb{R}$ ,H),Lb2($\mathbb{R}$ ,H)⊆Lloc2(R,H)是平移有界函数空间,即有其中常数M0,M1≥0,定义
综上有
引入函数空间
这里clXS表示S在空间X的闭包,H与V是可分的Hilbert空间. 令H′是H的对偶空间,V′是V的对偶空间,有V↺H=H′↺V′,其中嵌入都是连续且稠密的. H与V分别具有如下内积和范数:
用〈·,·〉表示V′与V之间的对偶集,用|·|p表示Lp(Ω)空间中的范数,用||·||E表示巴纳赫空间E中的范数. 字母C为常数.
方程(1)的前两个等式,可以写成如下抽象形式
令A=-PΔ是Stokes算子,P是从L2(Ω)到H的Leray正交投影,有
令B:V×V→V′是双线性算子,有
这里
对于方程(2)的全局解的存在唯一性,可由文献[2]中的标准方法得到如下定理1.
定理1 假设uτ∈V,f(x,t)在Lloc2(
$\mathbb{R}$ ,H)中平移紧,则方程(2)存在唯一解我们将考虑具有与时间相关的外力驱动的非自治辅助线性方程,对其进行一系列估计.
定理2 假设K(t)∈Lloc2(
$\mathbb{R}$ ,H),则方程(3)存在唯一解且满足不等式
证 用Galerkin逼近法,可以推出解的存在,将方程(3)与AY(t)作内积,可得
由不等式(4)可得
即有
对不等式(5)在[τ,t]上积分,得
易得
将方程(3)与Y(t)作内积,可得
即
对不等式(6)在[t,t+1]上积分,再运用Poincaré不等式得
即有
定理2证毕.
定理3 设k(t)∈Lloc2(
$\mathbb{R}$ ,H),存在常数l满足则带奇异振荡力的线性方程
的解X(t)满足不等式
其中C与K(t)无关.
证 首先记
则由(7)式可推出
由积分中值定理和定理2可得
现令
由X(τ)=0,得
方程(8)在[τ,t]上积分可得
综上所述可得
所以
由不等式(10)可得不等式(9)成立,定理3证毕.
Some Estimates for the 3D Non-autonomous Linearization Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer Equations with Singularly Oscillating Forces
- Received Date: 17/01/2021
- Available Online: 20/03/2022
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Key words:
- singularly oscillating forces /
- Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer equations /
- auxiliary linear equation
Abstract: In this paper, we mainly study the three-dimensional non-autonomous linear Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer equation with singular oscillating force. Firstly, the general estimation of the auxiliary linear equation with time-dependent external force was carried out, and then the singular oscillation was derived from the results of these general estimates.