Some Estimates for the 3D Non-autonomous Linearization Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer Equations with Singularly Oscillating Forces

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令Ω⊂$\mathbb{R}^{3}$是一个边界光滑的有界域. 本文主要研究Ω上具有奇异振荡力的三维非自治Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer方程^[1-4]：

其中：a∈$\mathbb{R}$，b＞0，r∈[1，∞)，μ＞0是流体的运动粘度，α是流体弹性的表征参数，函数u=u(x，t)=(u₁(x，t)，u₂(x，t)，u₃(x，t))表示流体的速度，p=p(x，t)表示压力. 当a，b=0时，方程(1)为带奇异振荡力的Navier-Stokes-Voigt方程^[5-10]；当α=0时，方程(1)为带奇异振荡力的Brinkman-Forchheimer方程^[11-15]；当a，b，α=0时，方程(1)为带奇异振荡力的Navier-Stokes方程^[16-17].

结合方程(1)，我们考虑如下平均Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer方程：

记函数

其中函数f₀(x，s)，f₁(x，s)∈L_b²($\mathbb{R}$，H)，L_b²($\mathbb{R}$，H)⊆L_loc²(R，H)是平移有界函数空间，即有

其中常数M₀，M₁≥0，定义

综上有

引入函数空间

这里cl_XS表示S在空间X的闭包，H与V是可分的Hilbert空间. 令H′是H的对偶空间，V′是V的对偶空间，有V↺H=H′↺V′，其中嵌入都是连续且稠密的. H与V分别具有如下内积和范数：

用〈·，·〉表示V′与V之间的对偶集，用|·|_p表示L^p(Ω)空间中的范数，用||·||_E表示巴纳赫空间E中的范数. 字母C为常数.

方程(1)的前两个等式，可以写成如下抽象形式

令A=-PΔ是Stokes算子，P是从L²(Ω)到H的Leray正交投影，有

令B：V×V→V′是双线性算子，有

这里

对于方程(2)的全局解的存在唯一性，可由文献[2]中的标准方法得到如下定理1.

定理1  假设u_τ∈V，f(x，t)在L_loc²($\mathbb{R}$，H)中平移紧，则方程(2)存在唯一解

我们将考虑具有与时间相关的外力驱动的非自治辅助线性方程，对其进行一系列估计.

定理2  假设K(t)∈L_loc²($\mathbb{R}$，H)，则方程(3)存在唯一解

且满足不等式

证  用Galerkin逼近法，可以推出解的存在，将方程(3)与AY(t)作内积，可得

由不等式(4)可得

即有

对不等式(5)在[τ，t]上积分，得

易得

将方程(3)与Y(t)作内积，可得

即

对不等式(6)在[t，t+1]上积分，再运用Poincaré不等式得

即有

定理2证毕.

定理3  设k(t)∈L_loc²($\mathbb{R}$，H)，存在常数l满足

则带奇异振荡力的线性方程

的解X(t)满足不等式

其中C与K(t)无关.

证  首先记

则由(7)式可推出

由积分中值定理和定理2可得

现令

由X(τ)=0，得

方程(8)在[τ，t]上积分可得

综上所述可得

所以

由不等式(10)可得不等式(9)成立，定理3证毕.