Hyponormal Dual Truncated Toeplitz Operators

DING Xuanhao; HUANG Yuhao; SANG Yuanqi; LI Yongning

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2022.06.011

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Let H² be the Hardy space on the unit disk $\mathbb{D}$={z∈$\mathbb{C}$: |z| < 1}, and let L²=L²($\mathbb{T}$) be the space of square integrable functions on the unit circle $\mathbb{T}$={z∈$\mathbb{C}$: |z|=1}. Let u be a nonconstant inner function, the dual truncated Toeplitz operators defined on the orthogonal complement of the model space is studied, which is a new class of Toeplitz operators. This paper proved that there is no analytic subnormal dual truncated Toeplitz operators established, also applied classical Toeplitz operator theory to completely characterized the symbols of hyponormal dual truncated Toeplitz operators.

Corresponding author: LI Yongning

Received Date: 13/10/2021

Available Online: 20/06/2022

Key words:

Abstract: Let H² be the Hardy space on the unit disk $\mathbb{D}$={z∈$\mathbb{C}$: |z| < 1}, and let L²=L²($\mathbb{T}$) be the space of square integrable functions on the unit circle $\mathbb{T}$={z∈$\mathbb{C}$: |z|=1}. Let u be a nonconstant inner function, the dual truncated Toeplitz operators defined on the orthogonal complement of the model space is studied, which is a new class of Toeplitz operators. This paper proved that there is no analytic subnormal dual truncated Toeplitz operators established, also applied classical Toeplitz operator theory to completely characterized the symbols of hyponormal dual truncated Toeplitz operators.

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记H²表示开单位圆盘$\mathbb{D}$={z∈$\mathbb{C}$：|z|＜1}上的Hardy空间，L²=L²($\mathbb{T}$)是单位圆周$\mathbb{T}$={z∈$\mathbb{C}$：|z|=1}上的平方可积函数构成的空间，L^∞表示由$\mathbb{T}$上全体本性有界函数构成的空间，H^∞是$\mathbb{D}$上有界解析函数构成的全体.

对于每一个非常值的内函数u，我们称

为模型空间. P_u=P-M_uPM_u表示从L²到K_u²的正交投影，其中P是从L²到H²的正交投影. 取L²中的一个函数f，可以定义以f为符号的Toeplitz算子T_f：

模型空间正交补上的对偶截断Toeplitz算子D_f定义为

文献[1-2]发现对偶截断Toeplitz算子与Hardy空间上的Toeplitz算子^[3]有许多相同的性质. 例如：对偶截断Toeplitz算子是有界的当且仅当其符号是有界的；紧的对偶截断Toeplitz算子只能是零算子；对偶截断Toeplitz算子为零算子当且仅当其符号为零；符号为连续函数的对偶截断Toeplitz算子生成的C^*-代数模去紧算子后构成的理想*-等距同构于$\mathbb{T}$上的连续函数全体^[2].

因此，我们特别考虑是否D_f是次正规算子当且仅当T_f是次正规算子?

为了说明我们的研究动机，首先来回顾次正规算子的定义以及Halmos第五问题的历史.

对于Hilbert空间H上的算子S，如果S存在一个包含H的Hilbert空间K，且其上的正规算子N满足S=N|_H，则称S为次正规算子. 次正规算子理论在许多问题中都有广泛应用^[4]. 文献[5]对Toeplitz算子提出了著名的Halmos第五问题“是否次正规Toepltiz算子不是解析的就是正规的?”文献[6]给出了Halmos第五问题成立的充分条件. 文献[7]认为这个猜测几乎是正确的. 然而，Halmos第五问题首先被我国著名算子理论学家孙顺华先生解决^[8-9]. 此外，文献[10]也对这个问题进行了研究. 但是至今数学家无法给出次正规Toeplitz算子的符号刻画.

对偶截断Toeplitz算子与Toeplitz算子有许多差异. 文献[11]的定理9证明了两个解析Toeplitz算子的乘积还是Toeplitz算子. 然而，我们很容易构造出两个解析对偶截断Toeplitz算子，其乘积不是对偶截断Toeplitz算子^[1]. 更多关于Toeplitz算子和Hankel算子的相关研究可参见文献[12-13].

本文的第一部分，我们考虑了对偶截断Toeplitz算子版本的Halmos第五问题，证明了不存在解析的次正规对偶截断Toeplitz算子. 本文的第二部分，我们完全刻画了亚正规的对偶截断Toeplitz算子.

1. 解析对偶截断Toeplitz算子

令M_f为L²上的乘法算子，定义为

M_f正是解析Toeplitz算子T_f的正规延拓. 因此，Hardy空间H²上每一个解析的Toeplitz算子T_f都是次正规的. D_f(f是解析函数)在uH²上的限制D_f|_uH²是次正规的，但是我们不知道解析对偶截断Toeplitz算子是否是次正规的. 因此我们考虑如下的问题：

问题1  是否每个解析对偶截断Toeplitz算子都是次正规的?

下面的定理1将给出问题1的否定回答.

定理1  如果f是一个非常数的解析函数，则D_f不是次正规的.

证  假设D_f是次正规的，则存在正规延拓N，使得

此外，N+λI也是正规算子，并且满足

其中λ是常数. 因此，D_f+λI是次正规的. 不失一般性，假设f(0)=0. 令f=zf₁，其中f₁∈H². 因为次正规算子必是亚正规的，所以D_f是亚正规的. Hilbert空间H上的算子T为亚正规算子当且当

当且当

因为

所以存在{x_j}_j=0^∞⊂K_u²，使得

和

根据假设，f不是常数，则存在非负整数l，使得x_l≠0. 令y=zu^l，因此y∈zH² ⊆[K_u²]^⊥，我们可以得到

因为x_l∈K_u²，所以(I-P+uPu)x_l=0. 根据模型空间的定义，我们可以得到

因此

进一步，

矛盾，则

2. 亚正规对偶截断Toeplitz算子

因为每个解析对偶截断Toeplitz算子不是次正规的，我们将对偶截断Toeplitz算子的Halmos第五问题改写为如下形式：

问题2  是否每个次正规的对偶截断Toeplitz算子都是正规的?

首先，我们用复对称算子的方法给出问题2的肯定回答. 然后，运用经典的Toeplitz算子理论，完全刻画正规对偶截断Toeplitz算子的符号.

对于Hilbert空间上的算子T，存在一个等距且共轭线性的对合映射C，使得

在L²上有一个经典的对合映射C，其定义为

因为C是将[K_u²]^⊥映回自身的双射^[14]，运用类似于文献[15]中命题3的方法，容易验证每个对偶截断Toeplitz算子都是复对称的. 文献[16]证明了复对称算子T如果是亚正规的，则T一定是正规算子. 因为次正规算子一定是亚正规的，因此问题2的猜测是正确的. 虽然这个结论不是新的，但是对于对偶截断Toeplitz算子的研究却是新的发现.

定理2  如果f∈L^∞，则下面的3条陈述是等价的：

(Ⅰ)D_f是亚正规算子；

(Ⅱ)D_f是正规算子；

(Ⅲ)存在常数c和d以及一个实值函数φ∈L^∞，满足f=cφ+d.

证  (Ⅰ)⇔(Ⅱ)  由上面的讨论，我们知道亚正规的对偶截断Toeplitz算子都是正规的. 反过来，根据定义，每个正规算子一定是亚正规的.

(Ⅱ)⇒(Ⅲ)  假设D_f是正规的，则

对于y∈(K_u²)^⊥，我们得到

展开(1)式可得

取y=ux，x∈H²，则(2)式变为

因此

根据文献[3]的命题7.5，可得

运用文献[17]的引理2.1，可得T_uⁿ→0，其中

则

进一步有

计算下式

其中${k_\lambda } = \frac{{\sqrt {1 - |\lambda {|^2}} }}{{1 - w\lambda }}$表示正规化的再生核. 运用Cauchy-Schwarz不等式，可得

由(4)式可得

类似地，有

因此

由于Berezin变换是单射，因此T_fT_f=T_fT_f，则T_f是正规算子. 根据文献[11]，存在常数c和d以及一个实值函数φ∈L^∞，满足f=cφ+d.

(Ⅲ)⇒(Ⅱ)  因为D_f^*=D_f，容易验证具有上面形式的算子都是正规算子.

注1  Hardy空间上的Toeplitz算子反酉等价于(H²)^⊥上的对偶Toeplitz算子(H²)^⊥^[18-19].

但是对于模型空间的情况就完全不同了，对偶截断Toeplitz算子D_f是正规的当且当T_f是正规的(定理2)，当且当存在常数c和d以及一个实值函数φ∈L^∞，满足f=cφ+d. 正规截断Toeplitz算子与正规对偶截断Toeplitz算子的符号有巨大区别，并且是复杂的^[20-21].

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[1]	DING X H, SANG Y Q. Dual Truncated Toeplitz Operators[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2018, 461(1): 929-946. doi: 10.1016/j.jmaa.2017.12.032 CrossRef Google Scholar
[2]	SANG Y Q, QIN Y S, DING X H. Dual Truncated Toeplitz C^*-Algebras[J]. Banach Journal of Mathematical Analysis, 2019, 13(2): 275-292. doi: 10.1215/17358787-2018-0030 CrossRef Google Scholar
[3]	DOUGLAS R G. Banach Algebra Techniques in Operator Theory[M]. New-York, NY: Springer, 2012. Google Scholar
[4]	GILLESPIE T A. The Theory of Subnormal Operators[J]. Bulletin of the London Mathematical Society, 1993, 25(6): 618-620. doi: 10.1112/blms/25.6.618 CrossRef Google Scholar
[5]	HALMOS P R. Ten Problems in Hilbert Space[J]. Bulletin of the American Mathematical Society, 1970, 76(5): 887-934. doi: 10.1090/S0002-9904-1970-12502-2 CrossRef Google Scholar
[6]	ABRAHAMSE M B. Subnormal Toeplitz Operators and Functions of Bounded Type[J]. Duke Mathematical Journal, 1976, 43(3): 597-604. Google Scholar
[7]	HALMOS P R. Ten Years in Hilbert Space[J]. Integral Equations and Operator Theory, 1979, 2(4): 529-564. doi: 10.1007/BF01691076 CrossRef Google Scholar
[8]	SUN S H. On Hyponormal Weighted Shift[J]. Chinese Annals of Mathematics, 1984, 5B(1): 101-108. Google Scholar
[9]	SUN S H. On Hyponormal Weighted Shift (Ⅱ)[J]. Chinese Annals of Mathematics, 1985, 6B(3): 231-233. Google Scholar
[10]	COWEN C C. Some Subnormal Toeplitz Operators[J]. Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik(Crelles Journal), 1984, 351: 216-220. Google Scholar
[11]	BROWN A, HALMOS P R. Algebraic Properties of Toeplitz operators[J]. Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik(Crelles Journal), 1964, 213: 89-102. Google Scholar
[12]	李永宁, 梁焕超, 丁宣浩. 圆周上的小Hankel算子[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2021, 43(6): 89-94. Google Scholar
[13]	丁宣浩, 梁焕超, 李永宁. 可交换的Toeplitz算子[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2022, 47(2): 27-31. Google Scholar
[14]	SARASON D. Algebraic Properties of Truncated Toeplitz Operators[J]. Operators and Matrices, 2007, 1(4): 491-526. Google Scholar
[15]	GARCIA S, PUTINAR M. Complex Symmetric Operators and Applications[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 2006, 358(3): 1285-1315. Google Scholar
[16]	WANG X H, GAO Z S. A Note on Aluthge Transforms of Complex Symmetric Operators and Applications[J]. Integral Equations and Operator Theory, 2009, 65(4): 573-580. doi: 10.1007/s00020-009-1719-5 CrossRef Google Scholar
[17]	GUO K Y, WANG K. On Operators Which Commute with Analytic Toeplitz Operators Modulo the Finite Rank Operators[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 2006, 134(9): 2571-2576. doi: 10.1090/S0002-9939-06-08259-1 CrossRef Google Scholar
[18]	GUEDIRI H. Dual Toeplitz Operators on the Sphere[J]. Acta Mathematica Sinica(English Series), 2013, 29(9): 1791-1808. doi: 10.1007/s10114-013-1717-z CrossRef Google Scholar
[19]	STROETHOFF K, ZHENG D C. Algebraic and Spectral Properties of Dual Toeplitz Operators[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 2002, 354(6): 2495-2520. doi: 10.1090/S0002-9947-02-02954-9 CrossRef Google Scholar
[20]	CHALENDAR I, TIMOTIN D. Commutation Relations for Truncated Toeplitz Operators[J]. Operators and Matrices, 2014(3): 877-888. doi: 10.7153/oam-08-49 CrossRef Google Scholar
[21]	CHU C. Normal Truncated Toeplitz Operators[J]. Complex Analysis and Operator Theory, 2018, 12(4): 849-857. doi: 10.1007/s11785-017-0740-y CrossRef Google Scholar

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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