Optimal Control Based on Reduced Order Models of Partial Differential Equations

Rong-yu TIAN; Hui ZHU

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2019.01.017

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In order to solve constrained optimization problems containing partial differential equations (PDE) quickly and accurately, a model has been proposed on the basis of the optimal control problem solved in partial differential order reduction method. Because the issue of partial differential equations containing constraint solving optimization, problems will be time-consuming, which is difficult to meet the needs of existing control and optimization. For such complex issues in the study of the nature of partial differential equations on the basis, we have proposed a new model reduction method. By extracting the main characteristics of the original model in singular value decomposition method to obtain a low-dimensional space of basic functions, and in the Galerkin projection method, low-dimensional space of the original model has been projected onto the existing base function constituted, which can reduce model the purpose of the order to quickly calculate PDE optimization problems. The simulation experiment results show that under the reduced-order model order times lower case, the original model is still able to have a better approximation results. It follows that the method for quickly and accurately solving constrained optimization problems containing partial differential equations is feasible and effective.

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偏微分方程被用来描述很多物理现象和自然现象^[1]，在工业过程控制中有很多模型都是基于偏微分方程约束的控制问题和优化问题.但基于偏微分方程的最优控制问题，往往需要大量的时间来求解^[2-3]，无法满足现有优化与控制的需求，因此如何快速求解偏微分方程模型或者对偏微分方程模型进行降阶显得十分必要.

目前常见的偏微分方程的求解方法为有限差分法和有限体积法，都是对偏微分方程进行时间与空间的离散^[4-5]，将偏微分方程化简为一系列代数方程来求解.但是随着系统复杂度的日益提升，离散所得的代数方程的维数往往很高，计算时间很长.文献[6-7]基于有限元的方法来求解偏微分方程最优控制问题，虽然提高了计算精度，依然存在着计算时间长的不足.文献[8-10]提出了基于伽辽金方法来求解偏微分方程的思想，大大降低了该问题的计算量，但是并没有给出一种较好的基函数选取方法，因此求解的准确性相对较差.文献[11-12]提出了基于奇异值分解的方法来降低代数方程的阶次，从而达到简化计算的目的.

本文在结合了伽辽金方法的基础上引入正交基的概念，将原系统空间的能量投影到低维空间中，先采用有限差分法离散偏微分方程，然后根据这些离散的递归高阶代数方程生成快照.在此基础之上，本文提出了偏微分方程的模型降阶方法，能够提取高维状态空间模型的特性来获得一个低维状态空间模型.该方法能够快速准确地求解偏微分方程.本文以一个偏微分方程的最优控制问题为例，进行了仿真实验.实验表明该方法可以快速准确地求解偏微分方程，满足优化问题求解的需求.

1. 一般PDE模型的离散方法说明

1.1. PDE模型的描述

偏微分方程一般用来描述常见的物理现象，模型采用常见的抛物型偏微分方程，同时含有对流项与扩散项，如式(1)

式中y(x，t)表示温度场，L表示长度，D表示扩散系数.

1.2. PDE模型的离散

一般选择有限差分法作为偏微分方程的离散化方法对式(1)进行离散，可以得到式(2)

同理对边界条件离散化之后，带入式(2)可以得到式(3)

对于边界上的点有所不同，可得式(4)

其中$\alpha = \frac{{v\tau }}{{2\Delta x}}$，$\beta = D\frac{{\Delta t}}{{\Delta {x^2}}}$，$\gamma = \frac{{2v\Delta x}}{D}$，由此易知可以将得到离散之后的递推代数方程式整理成状态空间的形式

易知

其中k₁=1－2β－(α+β)Φ，从上式分析可知，矩阵A与维数和空间离散的步长有关，如果是大规模的问题，A的维数会随之大大增加，此时对该偏微分方程的计算会耗费很多时间.

2. PDE模型降阶处理与误差估计

2.1. PDE模型降阶

对上面所示的状态空间方程进行处理，首先可知

从集合y的k个列向量中选取L个列向量构成子集{y}^L，通常情况下L≪M，将这L个列向量构成的集合称为瞬像.在解决实际问题的时候，该瞬像集合通常由对以前的实验或者模拟结果组成，例如在解数值天气预报方程时，可以利用以前的天气结果来构成瞬像集合.

在得到该方程的瞬像之后，利用奇异值分解的方法来研究该偏微分方程的差分格式.首先将瞬像的集合表示成矩阵的形式

对于矩阵z，进行奇异值分解^[13]

上式中U∈R^M×M，V∈R^L×L都是正交矩阵，S是一个对角矩阵，S=diag(σ₁，σ₂，σ_L+1)，其对角线的元素就是矩阵Z的正奇异值.

若令U=(φ₁，φ₂，…φ_M)，V=(ψ₁，ψ₂，…ψ_L).定义矩阵的范数为‖A‖_α，β=sup$\frac{{{{\left\| {Ax} \right\|}_\alpha }}}{{{{\left\| x \right\|}_\beta }}}$，令Z_M=$\sum\limits_{i = 1}^M {{\sigma _i}{\varphi _i}{\psi _i}} $，如果M < r=rank(Z)，有如下表达式成立

这就表明了Z_M是Z的最优逼近.令Z的L+1个列向量为a_M^L=(z₁^l，z₂^l，…z_M^l)，利用矩阵范数和向量范数的相容性有

式中P_M(a_M^l)=$\sum\limits_{i = 1}^M $(φ_i，a_M^l)φ_i(a_M^l，φ_i)是向量φ_i和向量a_M^l的标准内积，在对Z_M构造的过程中发现Φ=(φ₁，φ₂，…φ_M)是一组最优基.

在定义了矩阵范数的情况下，求Φ={φ₁，φ₂，…φ_m}即最小化目标函数

Φ={φ₁，φ₂，…φ_m}可以理解为标准化正交基的集合

因此可得

将式(15)带入到式(5)中可得

有φ^Tφ=I，由此可得

式中A_r=φ^TAφ，B_r=φ^TB，c_r=cφ.降阶模型的解可以由式(18)表示

通过使用伽辽金投影方法，可知该模型由M+1阶降到了r阶.采用降阶模型可以大大简化在差分求解中的运算量.在实际的使用过程中如果瞬像的能量达到了真实模型的99.5%以上，就认为该降阶模型可以很好地去逼近原模型.

2.2. 解的误差估计

下面对降阶模型的解的误差进行简要分析，设Z^K为有限差分的真实解，Z^*K为降阶模型的解，根据式(16)可得

对于上式的前半部分，瞬像集合是由如下空间构成

于是存在如下的常数r_i，使得式(21)成立

式(19)的后半部分有

由式(19)和式(22)可知

对上式整理可得

如上式所示，记Z中的L+1个列向量为

ε_L+1ⁱ是除第L个分量为1，其余为0的单位列向量，同时令$\sum\limits_{i = 0}^L $ |r_i^k|=B_k，‖ΦΦ^TA‖_2，2=C，从上一小节的推导中已经证明了Z_M是Z的最优逼近，因此有

然后根据矩阵范数和向量范数的相容性，有如下表达式成立

由此可得

将上式展开可得

由式(24)和式(29)可知

综上所述，可以得到

由此可以证明，采用模型降阶方法得到的近似解和真实解之间的距离是有界的.在适当选取其中参数的情况下，可以保证近似解能够较好地逼近真实解.

4. 结论

本文在分析了几种偏微分方程求解方法的基础上，基于伽辽金投影法，通过合理地选取正交基函数来近似高阶代数方程，从而达到简化计算的目的.在理论上证明了该方法的近似解可以收敛于真实解，并且以一个最优控制问题为例进行了仿真实验，证明了该方法的有效性.本文接下来的研究方向是考虑将优化的一些思想运用到降阶模型中，建立一个更加准确的降阶模型.

Figure (7) Table (1) Reference (13)

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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