On Conditional Hájeki-Rényi-Type Inequality for Conditional PA Sequences

在本文中，用{X_n，n≥1}或{S_n，n≥1}表示定义在概率空间(Ω，$ \mathscr{A} $，P)上的随机变量序列.记S₀=0，X⁺=max(0，X)，X^-=max(0，-X)，I_A表示集合A的示性函数.

设X和Y是定义在概率空间(Ω，$ \mathscr{A} $，P)上的随机变量，且EX²＜+∞，EY² < +∞，$ \mathscr{F} $是$ \mathscr{A} $的子σ-代数.定义X和Y的条件协方差($ \mathscr{F} $-协方差)如下：

其中E$ ^\mathscr{F} $X表示随机变量X的条件期望，即E$ ^\mathscr{F} $X=E(X|$ \mathscr{F} $).

定义1  设{S_n，n≥1}是一列随机变量序列，如果对任意的j > i≥1，都有

其中f是任意分量不减函数，并且使上述条件期望有意义，则称{S_n，n≥1}为条件弱鞅($ \mathscr{F} $-demimartingale)，如果进一步假设f是非负的，那么称{S_n，n≥1}为条件弱下鞅($ \mathscr{F} $-demisubmartingale).

定义2  称有限随机变量序列{X_i，1≤i≤n}在给定$ \mathscr{F} $下是条件相协的($ \mathscr{F} $-associated)，如果对定义在$ {{\mathbb{R}}^{n}} $上的任意两个使下述条件协方差存在且分量不减的函数f和g，有

如果随机变量序列{X_n，n≥1}的任意有限子序列都是条件相协的，则称序列{X_n，n≥1}是条件PA(Positively Associated)序列.

注1  均值为零的条件PA序列的部分和序列是一个条件弱鞅.

设{X_n，n≥1}是均值为零的独立随机变量序列，且{b_n，n≥1}是不减的正实数序列，则对任意的ε > 0和任意的正整数m≤n，都有

该不等式被称为H-R型不等式^[1]，此后很多学者对该不等式进行了研究^[1-5].本文利用条件弱鞅的一个极大值不等式得到了条件PA序列的条件H-R型不等式，所得结果推广了文献[5]中的相关结论.

引理1^[6]  令{S_n，n≥1}是一个条件弱下鞅(或条件弱鞅)，g(·)是一个不减的凸函数，且E$ ^\mathscr{F} $g(S_n)＜∞，n≥1，则{g(S_n)，n≥1}是一个条件弱下鞅.

引理2  若{S_n，n≥1}是条件弱鞅，则{S_n⁺，n≥1}和{S_n^-，n≥1}是条件弱下鞅.

证  显然g(x)=x⁺=max{0，x}是不减的凸函数，则由引理1知{S_n⁺，n≥1}是条件弱下鞅，取Y_n=-S_n，n=1，2，…，则Y_n是条件弱鞅.由引理1知{Y_n⁺，n≥1}也是条件弱下鞅.又因Y_n⁺=S_n^-，故{S_n^-，n≥1}是条件弱下鞅.

引理3  令{S_n，n≥1}是一个条件弱下鞅，{c_k，k≥1}是一正的不增的$ \mathscr{F} $-可测随机变量序列，则对任意的$ \mathscr{F} $-可测随机变量ε＞0 a. s.有

证  类似于文献[7]中定理2.1的证明.

引理4  设{S_n，n≥1}是一个条件弱鞅，且{c_k，k≥1}是一正的不增的$ \mathscr{F} $-可测随机变量序列，若v≥1，且对任意的k有E$ ^\mathscr{F} $(|S_k|^v) < ∞ a. s.，则对任意的$ \mathscr{F} $-可测随机变量ε > 0 a. s.以及1≤n≤N，有

证  令g(x)=x^vI_(x≥0)，则g(x)是一个不减的凸函数，从而有g(S_k⁺)=(S_k⁺)^v和g(S_k^-)=(S_k^-)^v.因为{S_n，n≥1}是一个条件弱鞅，所以由引理1和引理2知{(S_n⁺)^v，n≥1}和{(S_n^-)^v，n≥1}都是条件弱下鞅.再由条件弱下鞅的定义，对任意的m≥1，{(S_n⁺)^v，n≥m}也是一个条件弱下鞅，从而由引理3有

类似地，有

由(1)和(2)式可得

当{X_n，n≥1}是一个条件PA序列时，由文献[5]的性质3知，{X_n-E$ ^\mathscr{F} $X_n，n≥1}是均值为零的条件PA序列，又因均值为零的条件PA序列的部分和序列是一个条件弱鞅，从而{S_n-E$ ^\mathscr{F} $S_n，n≥1}是一个条件弱鞅.

定理1  设{X_n，n≥1}是一个条件PA序列，{b_n，n≥1}是一正的不减的$ \mathscr{F} $-可测的随机变量序列，则对任意的$ \mathscr{F} $-可测随机变量ε > 0 a. s.和正整数m有

证  由引理4可得

令$ {{c}_{k}}=\frac{1}{{{b}_{k}}} $，则有

在(3)式中取n=1，N=m，v=2，得

由于

故

推论1  设{X_n，n≥1}是一个条件PA序列，{b_n，n≥1}是一正的不减的实数序列，则对任意的$ \mathscr{F} $-可测随机变量ε > 0 a. s.和正整数n有

证  由于{b_n，n≥1}是正的不减的实数序列，故它关于$ \mathscr{F} $可测.同定理1的证明及

易证.

定理2  设{X_n，n≥1}是一个条件PA序列，{b_n，n≥1}是一正的不减的$ \mathscr{F} $-可测随机变量序列，则对任意的$ \mathscr{F} $-可测随机变量ε＞0 a. s.和正整数m≤u有

证  在(3)式中取n=m，N=u，v=2有

由于

故

推论2  设{X_n，n≥1}是一个条件PA序列，{b_n，n≥1}是一正的不减的实数序列，则对任意的$ \mathscr{F} $-可测随机变量ε＞0 a. s.和正整数m≤n有

证  由于{b_n，n≥1}是正的不减的实数序列，故它关于$ \mathscr{F} $可测.由定理2的证明过程及

易证结论成立.

注2  文献[5]中定理2，3，4，5分别给出了条件PA序列的4个不同形式的条件H-R型不等式，本文在相同条件下也给出了条件PA序列的条件H-R型不等式.显然，本文定理1和定理2推广了文献[5]中的定理3和定理5，推论1和推论2推广了文献[5]中的定理2和定理4.