A Two-Level Linearized Difference Scheme for Rosenau-KdV-RLW Equation

对区域[x_L，x_R]×[0，T]作网格剖分，取空间步长$ h=\frac{{{x}_{R}}-{{x}_{L}}}{J} $，时间步长为τ，x_j=x_L+jh(0≤j≤J)，t_n=nτ(n=0，1，2，…，N，$ N=\left[ \frac{T}{\tau } \right] $).记u_jⁿ=u(x_j，t_n)，U_jⁿ≈u(x_j，t_n)和Z_h⁰={U=(U_j)|U_－1=U₀=U_J=U_J+1=0，j=－1，0，…，J，J+1}，用C表示与τ和h无关的一般正常数(即在不同地方可以有不同的取值)，并定义如下记号：

对问题(2)-(4)考虑如下有限差分格式：

定理1  设u₀∈H₀²，则差分格式(6)-(8)关于以下离散能量是守恒的，即

其中n=1，2，…，N.

证  将(6)式两端乘以h然后对j从1到J－1求和，得

根据边界条件(8)和分部求和公式^[12]，有

将(11)-(15)式代入(10)式，整理有

由Qⁿ的定义，将(16)式对n递推可得(9)式.

定理2  若时间步长τ充分小，则差分格式(6)-(8)是唯一可解的.

证  用数学归纳法.显然U⁰是由初始条件(7)式唯一确定的.假设Uⁿ(n≤N－1)是唯一可解的，可设

现在来考虑方程(6)中的Uⁿ⁺¹，有

将(18)式与Uⁿ⁺¹作内积，由边界条件(8)式和分部求和公式^[12]有

又

将(20)-(22)式代入(19)式，整理有

于是只要取τ足够小，使得当1－Cτ > 0时，方程组(18)仅有零解.因此，差分格式(6)-(8)中的U_jⁿ⁺¹是唯一可解的.

差分格式(6)-(8)的截断误差定义如下：

由Taylor展开可知，当h，τ→0时，

引理1^[10]  设u₀∈H¹，则初边值问题(2)-(4)的解满足：

定理3  设u₀∈H¹，若时间步长τ和空间步长h充分小，则差分格式(11)-(13)的解Uⁿ以‖·‖_∞收敛到初边值问题(2)-(4)的解，且收敛阶为O(τ²+h²).

证  用数学归纳法.

记e_jⁿ=u_jⁿ－U_jⁿ，由(23)式减去(6)式，有

其中

由引理1以及(26)式知，存在与τ和h无关的常数C_u和C_r，使得

再由(28)式以及初始条件(7)可得到以下估计式：

现在假设

其中C_l(l=1，2，…，n)为与τ和h无关的常数.则由离散Sobolev不等式^[12]和Cauchy-Schwarz不等式，有

将(27)式两端与$ {{e}^{n+\frac{1}{2}}} $作内积，由边界条件(29)和分部积分和公式^[12]整理得

由引理1以及微分中值定理，有

即

再取τ和h充分小，使

于是，由(34)，(36)式和(37)式以及Cauchy-Schwarz不等式有

将(38)-(42)式代入(35)式，由边界条件(29)式和分部求和公式^[12]，整理得

将(43)式从1到n递推求和，并整理有

由(30)式有

将(32)，(45)式代入(44)式，利用离散Gronwall不等式^[12]，取时间步长充分小以满足：

于是有

其中

显然C_n+1为与n无关的常数.从而由归纳假设有

最后由离散Sobolev不等式^[12]，有

定理4  设u₀∈H¹，ρ₀∈L₂，若时间步长τ和空间步长h充分小，则差分格式(6)-(8)的解满足：

其中$ {{\tilde{C}}_{0}} $是与τ和h无关的常数.

定理5  在定理3的条件下，差分格式(6)-(8)的解Uⁿ以‖·‖_∞关于初值无条件稳定.

方程(1)的孤波解^[3]

在计算中，取初值函数u₀(x)=u(x，0)，固定x_L=－30，x_R=120，T=40.就τ和h的不同取值对数值解和孤波解在几个不同时刻的误差见表 1，对守恒律(5)的数值模拟见表 2.

从数值算例可以看出，本文对初边值问题(2)-(4)提出的差分格式(6)-(8)是有效的.