Higher-Order Expansions of Powered Order Statistics of Gaussian Sequences

令X₁，X₂，…为一列独立同分布于标准正态分布N(0，1)的随机变量. Φ(x)和ϕ(x)为标准正态分布函数和密度函数. X_n，1≤X_n，2≤…≤X_n，n为X₁，X₂，…，X_n的顺序统计量.文献[1]得到当a_n，b_n满足

时，Φⁿ(a_nx+b_n)-Λ(x)收敛到0的一致收敛速度为$\frac{1}{{{\rm{log}}\;\mathit{n}}}$.进一步，文献[2]研究了高斯序列顺序统计量幂的渐近展开及收敛速度，得到对任意r≥1，t≥0，存在规范常数c_n>0和d_n∈$\mathbb{R}$，使得

其中: Λ_r(x)=Λ(x)$\sum\nolimits_{j = 0}^{r-1} {\frac{{{{\rm{e}}^{-jx}}}}{{j!}}} $，$x \in \mathbb{R}$规范常数c_n，d_n满足

当t=2时，亦可取如下的规范常数:

b_n由(1)式决定.文献[2]指出，当t=2且规范常数由(3)式给出时收敛速度最快.在此基础上，文献[3]研究了高斯序列最大值幂的分布函数与密度函数的高阶展开，得到与文献[2]一致的结论.

文献[4-7]研究了其他给定分布序列的极值分布函数的渐近性质.

本文旨在研究高斯序列顺序统计量幂|X_n，r|^t的分布函数与密度函数的高阶展开，并试图从中找出相应的收敛速度.

定理1  对任意给定常数1≤r≤n，t≥0及充分大的n，当t>0时，规范常数c_n和d_n取自(2)式，则

当t=2时，规范常数c_n和d_n取自(3)式，则

推论1  由定理1有t>0时，P(|X_n，n-r+1|^t≤c_nx+d_n)收敛到$\mathit{\Lambda }\left( x \right)\sum\nolimits_{j = 0}^{r-1} {\frac{{{{\rm{e}}^{-jx}}}}{{j!}}} $的速度与$\frac{1}{{{\rm{log}}\;\mathit{n}}}$同阶；t=2时，P(|X_n，n-r+1|²≤c_nx+d_n)收敛到$\mathit{\Lambda }\left( x \right)\sum\nolimits_{j = 0}^{r-1} {\frac{{{{\rm{e}}^{-jx}}}}{{j!}}} $的速度与$\frac{1}{{{{\left( {{\rm{log}}\;\mathit{n}} \right)}^2}}}$同阶.

定理2  令f_n(x)为P(|X_n，n-r+1|^t≤c_nx+d_n)的密度函数，当t>0时，规范常数c_n和d_n取自(2)式，对充分大的n，有

当t=2时，规范常数c_n和d_n取自(3)式，则对于Λ′(x)=e^-xΛ(x)，x∈$\mathbb{R}$有

推论2  由定理2知，当t>0时，f_n(x)收敛到$\mathit{\Lambda '}\left( x \right)\frac{{{{\rm{e}}^{-\left( {r-1} \right)x}}}}{{\left( {r-1} \right)!}}$的速度与$\frac{1}{{{\rm{log}}\;\mathit{n}}}$同阶；当t=2时，f_n(x)收敛到$\mathit{\Lambda '}\left( x \right)\frac{{{{\rm{e}}^{-\left( {r-1} \right)x}}}}{{\left( {r-1} \right)!}}$的速度与$\frac{1}{{{{\left( {{\rm{log}}\;\mathit{n}} \right)}^2}}}$同阶.

为使得符号简化，当t>0，规范常数c_n和d_n取自(2)式时，令(c_nx+d_n)^{$\frac{1}{t}$}=z_n；当t=2，规范常数c_n和d_n取自(3)式时，令(c_nx+d_n)^{$\frac{1}{2}$}=w_n.

引理1  对于自然数k及充分大的n，

(ⅰ) t≠2时，

(ⅱ) t=2时，

证明  由文献[3]中的(3.5)式有当t>0时，

则对(n(1-Φ(z_n)))^k做泰勒展开即可证得结论. t=2时，同理可得

引理证毕.

引理2  对于自然数l及充分大的n有Φ^-l(z_n)=1+O(n^-1)，Φ^-l(w_n)=1+O(n^-1).

证明  由(5)式可得

同理可得Φ^-l(w_n)=1+O(n^-1).

定理1的证明  使用类似于文献[2]的方法有当t>0时，

由(4)式知，

由文献[3]中的(3.6)式有

则由(7)式和(8)式知

t=2时，由(5)式得

故由(7)式知

定理证毕.

定理2的证明  令f_n(x)=h_n(x)+g_n(x)，其中

首先考虑t>0时，

由文献[3]之引理3.3知，t>0时，

由(4)式，(9)式知此时

当t=2时，有

故由(5)式及(11)式知，此时