On Existence of Global Solutions and Blow-up of a Nonlocal Reaction-Diffusion Equation

本文考虑如下具有Neumann边界条件和带有非局部源的非线性抛物方程的初边值问题:

其中$\varOmega \subset {\mathbb{R}^n}\left( {n \ge 2} \right)$是非空具有光滑边界∂Ω的有界区域, υ是相对于∂Ω的向外法向量.若爆破发生, 用t^*表示爆破时间; 若不爆破, 则用t^*=∞表示.在整篇文章中, g是属于${C^2}\left( {\overline {{\mathbb{R}_ + }} } \right)$的函数, 且满足当s>0时, g′(s)>0;ρ是属于${C^2}\left( {\overline {{\mathbb{R}_ + }} } \right)$的函数; b是属于$C\left( {\bar \varOmega } \right)$的函数; f和h都是属于${C^1}\left( {{\mathbb{R}_ + }} \right)$的非负函数, u₀是正函数且满足兼容条件.其中函数ρ可符合不同的数学模型, 例如:在流体动力学中, 描述地下水运动的模型方程(多孔介质方程)中则退化为ρ(u)=0;在核反应堆的热传导方程中ρ(u)>0, 且ρ(u)没有上界.

近年来, 关于扩散方程的研究可以参考文献[1-5].在很多情况下, 这些方法用于研究局部源的反应扩散问题.从某种意义上说, 非局部模型比局部模型更接近实际问题, 但现在许多局部理论已不再成立, 为此我们通过一定改进的微分不等式, 对反应扩散方程的非局部问题进行研究^[6-11].

受以上工作的启发, 本文研究方程(1)的整体解的存在性和爆破现象.利用适当的微分不等式技巧, 分别建立了在有限时间内存在整体解或者爆破的条件.若爆破发生, 我们推导出爆破时间的上界和下界估计.

为了得到方程解的整体存在性, 假设函数ρ, f, g, h和b满足如下条件

其中b₁>0, a₁≥0, q>1, p>2q-1, l+1>0.最后, 构造如下辅助函数:

定理1  u是方程(1)的非负古典解且条件(2)成立, 则u在度量Φ(t)意义下整体存在.

证  由散度定理和条件(2), 可以得到

其中ρ₀=min_x∈∂Ω(x·υ), ${d_0} = {\max _{x \in \bar \varOmega }}\left| x \right|$.现在对不等式(5)的右边使用Young不等式, 得到

其中θ₁为待定的正数.将(5)-(7)式代入(4)式中, 取${\theta _1} = \frac{{2{c_1}l}}{{{a_1}}}$, 结合Hölder不等式和Young不等式可以分别推出

其中$\alpha = \frac{{p-2q-1}}{{p-1}} \in \left( {0, 1} \right)$, 且常数κ满足

由Hölder不等式得

将(9)式代入(8)式, 可以得到

其中

将(10)式代入(11)式, (2)式代入(3)式, 分别得到

将(13)式代入(12)式, 推导出

且${K_3} = {K_1}{\left| \varOmega \right|^{1-\frac{{l + 1}}{{p + l}}}} > 0$, ${K_4} = {K_2}{\left| \Omega \right|^{\frac{{-{{\left( {p-1} \right)}^2}}}{{\left( {l + 1} \right)\left( {p + l} \right)}}}} > 0$.由于p>1, 则有$\frac{{p-1}}{{l + 1}} > 0$成立.定理1证明完毕.

现在, 构造以下辅助函数:

定理2  假设u为方程(1)的非负古典解.函数ρ, f, h, g和b满足

a为非负数.且假设初始值Ψ(0)>0.则方程(1)的解u(x, t)在度量Φ(t)的意义下必在有限时间t^*爆破, 且t^*≤T, 其中:当a>0时, $T = \frac{{\varPhi \left( o \right)}}{{2a\left( {1 + a} \right)\varPhi \left( 0 \right)}}$; 当a=0时, T=∞.

证  利用条件(16)和(17), 以及散度定理和格林公式, 分别得到

因为Ψ(0)>0, 由此对t∈(0, t^*), 都有Ψ(t)>0.再利用Hölder不等式和(16)式可分别推出

将(21)式代入(20)式可得

将不等式(22)两边同时关于时间, 从0到t进行积分, 并且由(18)式可知

当a>0时, 对(23)式第二个不等式在[o, t]上进行积分, 得到Φ^-a(t)≤-2a(1+a)Ψ(0)Φ^-(1+a)(0)t+Φ^-a, 则Φ(t)必在有限时刻t^*≤T处爆破, 即当$t \to T = \frac{{\varPhi \left( 0 \right)}}{{2a\left( {1 + a} \right)\varPsi \left( 0 \right)}}$时, Φ(t)→∞.因此:当a>0时, ${t^*} \le T = \frac{{\varPhi \left( 0 \right)}}{{2a\left( {1 + a} \right)\varPsi \left( 0 \right)}}$; 当a=0时, 从(23)式可知Φ(t)≥Φ(0)e^{2Φ-1(0)Ψ(0)t}, 对所有t>0成立, 即T=∞.

定理3  假定$\varOmega \subset {\mathbb{R}^n}\left( {n \ge 3} \right)$是非空且具有光滑边界的有界区域. u为方程(1)的非负古典解, 而且在t^*处爆破, 函数ρ和h满足条件(2), 函数f和b满足

其中b₁>0, a₁≥0, q>1, l+1>0, m>0. l满足1 < m(l+1)+p≤2q-1, l+1>4(N-2)(q-1).则有${t^*} \ge T = \int_{\varPhi \left( 0 \right)}^\infty {\frac{{{\rm{d}}\tau }}{{{k_1}\tau + {k_2} + {k_3}{\tau ^{\frac{{3\left( {N-2} \right)}}{{3N-8}}}}}}} $.

证  首先, 对函数Φ(t)进行求导.利用格林公式, 并由(6), (7), (10)和(24)式, 可以推出

其中β₁是待定常数.结合Hölder不等式和Young不等式, 可以得到

其中

且λ₁, λ₂∈(0, 1).对(26)式利用Schwarz不等式

当N≥3时, 由文献[12]中的Sobolev不等式, 利用Young不等式得到

其中:当N=3时, ${C_b} = {2^{\frac{1}{2}}}\left( {C_s^{\frac{3}{2}}} \right)$; 当N>3时, ${C_b} = \left( {c_s^{\frac{N}{{2\left( {N-2} \right)}}}} \right)$. β₂>0是待定常数.由Young不等式得

其中

λ₃+λ₄=1, β₃>0为待定常数.把(26), (28)式和(29)式代入到(25)式中, 得到

其中

由(3)式和(24)式, 可得

取定β₁, 使其满足$0 < {\beta _1} < \frac{{2{c_1}l}}{{{a_1}}}$, 然后再取${\beta _2} = \frac{{8\left( {2{c_1}l-{a_1}{\beta _1}} \right)\left( {N-2} \right)}}{{{\omega _6}N\left( {l + 1} \right)}}$, 使得ω₄=0, 同时取${\beta _3} = \frac{{\left( {l + 1} \right){b_1}{{\left| \varOmega \right|}^{\frac{{l-p}}{{l + 1}}}}}}{{{\lambda _2}{C_b}{\lambda _4}{\omega _6}}}$, 使得ω₅=0.将(31)式代入(30)式可得

如果$\mathop {\lim }\limits_{t \to {t^*}} \varPhi \left( t \right) = \infty $, 对此式子两边关于时间t在[0, t^*]上进行积分, 可化简为