Estimation of Unknown Functions in a Class of Nonlinear Weakly Singular Integral Inequalities

为了研究不等式组(5)，我们需要下面的引理：

引理1  设$u, A, B, C, f, g \in C\left(\left[0, t_{1}\right], \mathbb{R}_{+}\right) $，B，C为不减函数，k₁，k₂，k₃为正常数，且k₁>k₂，k₁>k₃，它们满足不等式

则不等式(6)中的未知函数有估计式

定理1   设r_i(i=1，2，3，4，5，6)是正常数，$r_{1}>r_{5}, r_{1}>r_{2}, r_{4}>r_{3}, r_{4}>r_{6} ; u, v, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, $ $c_{2}, d_{1}, d_{2}, f_{1}, f_{2} $都是区间[0，t₁]上满足不等式组(5)的非负连续函数.若[α，β，γ]∈I，取$ {p_1} = \frac{1}{\beta }, {q_1} = \frac{1}{{1 - \beta }}$；若[α，β，γ]∈Ⅱ，取$ p_{2}=\frac{1+4 \beta}{1+3 \beta}, q_{2}=\frac{1+4 \beta}{\beta}$，则对i=1，2有不等式组(5)中未知函数的估计式

其中

证   利用文献[12]中的引理1，文献[13]中的定理1，文献[11]中的引理1和引理2，由(5)式推出

利用著名的Jensen不等式$\left(A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{n}\right)^{l} \leqslant n^{l-1}\left(A_{1}^{l}+A_{2}^{l}+\cdots+A_{n}^{l}\right) $，由(23)式和(23)式推出

令

把(26)式代入(24)式，得到

把(27)式代入(26)式，利用Bernoulli不等式知，对任意t∈[0，t₁]，有

由文献[14]的定理5.5和(28)式推出，对任意t∈[0，t₁]，有

把(29)式代入(27)式，看出对任意t∈[0，t₁]，有

其中K₁，K₂如(12)式和(13)式中所定义.把(30)式代入(25)式，利用Bernoulli不等式，得到

其中A(t)，B(t)分别由(10)式和(11)式定义.把引理1应用于不等式(31)，推出所要求的估计式(9).把估计式(9)代入不等式(30)，得到所要求的估计式(8).

考虑积分方程系统^{[8, 11]}

为了对x，y的模进行估计，令u(t)=‖x(t)‖，v(t)=‖y(t)‖，由(32)式得到

则(33)式可视为不等式组(5)的特殊情况：$a_{i}(t)=b_{i}(t)=c_{i}(t)=d_{i}(t)=f_{i}(t) \equiv 1(i=1, 2), \alpha=1, \beta= $ $\frac{2}{3}, \gamma=\frac{5}{6}, r_{1}=4, r_{2}=3, r_{3}=2, r_{4}=3, r_{5}=2, r_{6}=1. $根据文献[11]中的定义可以看出，[α，β，γ]为I型分布.根据文献[11]中的引理1，取$p_{1}=\frac{3}{2}, q_{1}=3 $，这些函数满足定理1中相应函数的条件.对定理1中有关函数计算可得

由定理1，可以对积分方程组(32)中的未知函数x，y的模进行估计，

其中