-
几何不等式描述了几何不变量(体积、面积、Gauss曲率、平均曲率等)间的关系[1-12].这些几何不等式可分为内蕴(体积、面积、长度、Gauss曲率等)与外蕴(法曲率、平均曲率等)几何不等式.经典的等周不等式与Minkowski不等式是内蕴几何不等式，关于外蕴几何不等式，我们知之甚少.以下著名的Ros不等式是关于外蕴几何不变量与内蕴几何不变量的不等式(参见文献[11-12])：
Ros不等式：设Σ为嵌入在
$\mathbb R^3$ 中的紧致闭C2曲面，其包含的体积为V.若Σ的平均曲率H>0，则其中A为Σ的面积，等号成立当且仅当Σ为球面.
对于平面上的光滑闭曲线，有以下平面上的Ros不等式：设γ为欧氏平面
$\mathbb R^2$ 上的简单光滑闭曲线，其周长与面积分别为L与A.若曲线γ的曲率κ>0，则其中s为弧长参数，等号成立当且仅当γ为圆.
文献[10]加强了不等式(2)，得到以下结果：
等号成立当且仅当γ为圆.由平面上的等周不等式知(3)式强于(2)式.
文献[10]中有猜想：设K为
$\mathbb R^n$ 中C2边界光滑的凸体，设S(K)与V(K)分别为K的表面积与体积，是否存在一个与其边界∂K主曲率相关的曲率函数f(κ1，…，κn-1)，使得其中S(·)是边界∂K的面积元，ωn为
$\mathbb R^n$ 中的单位球的体积，且不等式成立当且仅当K为球.欧氏平面$\mathbb R^2$ 的情形下，(4)式中的曲率函数变为$f(\kappa)=\frac{1}{\kappa}$ .本文将给出一类
$\mathbb R^n$ 中C2边界光滑凸体的Gauss曲率的积分不等式(参见定理1).特别地，当定理1中的次幂取$t=-\frac{1}{n-1}$ 时，有其中Hn-1为K边界的Gauss曲率.对于平面上的凸体，
$H_{n-1}^{\frac{-1}{n-1}}$ 变为$\frac{1}{\kappa}$ ，这说明不等式(4)中的曲率函数取$H_{n-1}^{\frac{-1}{n-1}}$ 时，(4)式成立.此外，当曲率函数取f(κ1，…，κn-1)=$\frac{H_{n-2}}{H_{n-1}}$ 时，(4)式仍成立(参见定理2)，其中Hn-2为(n-2)阶平均曲率.最后，我们将给出定理2的推广形式(参见定理3).
HTML
-
设K为欧氏空间中的点集，若对于任意两点x，y∈K，有
则称K为凸集.
$\mathbb R^n$ 中的非空紧凸集K称为凸体.凸体的边界∂K称为凸超曲面.凸体K的支撑函数定义为其中Sn-1表示
$\mathbb R^n$ 中的单位球面.设S为欧式空间
$\mathbb R^n$ 的超曲面，p为S上的任意一点，N为S在p点处的单位法向量.设x(s)为S上过p点的一条曲线，并且x(0)=p，其中s为曲线x(s)的弧长参数.对于曲线x(s)，其曲率向量在N方向的分量仅依赖于单位切向量T=x′(0).当曲线x(s)变化时，我们得到一系列值x″(s)·N=κ(T)，称之为超曲面S在p点处沿T方向的法曲率. κ(T)是切空间的一个二次形式Q在单位球上的限制.存在单位正交基e1，…，en-1对角化Q.方向e1，…，en-1称为超曲面S在p点处的主曲率方向.与之所对应的值κ1=κ(e1)，…，κn-1=κ(en-1)称为超曲面Σ在p点处的主曲率.考虑高斯映射g：p
$\longrightarrow$ Np，微分得dgp：x′(t)$\longrightarrow$ N′(t)，又满足Rodrigues方程我们得到关于主曲率的对称函数，称之为高阶中曲率.我们用Hk表示第k阶平均曲率，
此时H0=1.当k=1时，H1为超曲面S的平均曲率；当k=n-1时，Hn-1为超曲面S的Gauss-Kronecker曲率.即我们得到平均曲率
以及Gauss-Kronecker曲率
设K是
$\mathbb R^n$ 中的C2边界光滑的凸体，则其中u∈Sn-1为边界∂K上x处的单位外法向量，du表示Sn-1上的面积元.
令
$r_{i}=\frac{1}{\kappa_{i}}$ ，i=1，…，n-1，则ri称为主曲率半径.称为K的k阶曲率函数.函数Hk与Fk有如下关系
-
定理1 设K为
$\mathbb R^n$ 中的C2边界光滑的凸体，则当t=0，1时，等式成立；当t≠0，1时，等号成立当且仅当K为球.
证 当t>0且t≠1时.由(5)式与Hölder不等式，我们有
由Hölder不等式等号成立的条件，等式成立当且仅当gK为常数，即K为球.故当t∈(0，1)时，有
当t∈(1，+∞)时，有
当t∈(-∞，0)时，由逆向的Hölder不等式，我们有
即当t∈(-∞，0)时，有
其中等号成立当且仅当K为球.
在定理1中，若
$t=-\frac{1}{n-1}$ ，我们得这说明若曲率函数
$f\left(\kappa_{1}, \cdots, \kappa_{n-1}\right)=H_{n-1}^{-\frac{1}{n-1}}$ 时，不等式(4)成立.定理1给出了一类内蕴几何不等式，下面我们将给出关于内蕴几何量与外蕴几何量的不等式.定理2 设K为
$\mathbb R^n$ 中的C2边界光滑的凸体，则等号成立当且仅当K为球.
证 由Hn-2与Hn-1的定义及代数-几何均值不等式，有
等号成立当且仅当
$\frac{1}{\kappa_{1}}=\cdots=\frac{1}{\kappa_{n-1}}$ ，即K为球.再由不等式(9)，直接可得(10)式.当n=2时，几何量
$\frac{H_{n-2}}{H_{n-1}}$ 为$\frac{1}{\kappa}$ .因此，不等式(10)给出了(4)式中曲率函数的另一种情形.注意到1-阶曲率函数$F_{1}=\frac{H_{n-2}}{H_{n-1}}$ ，故不等式(10)可直接改写为下面，我们将给出关于Fk的积分不等式.
定理3 设K为
$\mathbb R^n$ 中的C2边界光滑的凸体，则等号成立当且仅当K为球.
证 由代数-几何均值不等式，我们有
当定理1中的
$t=-\frac{k}{n-1}$ 时，有再由(12)式，可得(11)式.
DownLoad: