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在对有限群的结构进行研究时，用元素的阶、子群的阶、群的阶得出了若干漂亮的群论性质，如Sylow定理、柯西定理等. 20世纪80年代，施武杰教授提出用元素的集合及群的阶刻画单群的猜想：
设G是有限群，M是有限单群，则G≌M当且仅当|G|=|M|且πe(G)=πe(M).
该猜想提出后，众多群论学者对此进行了研究，这方面的成果可参见文献[1].文献[2]在此基础上最终证明了该猜想完全成立.在该猜想的研究中，施武杰教授等研究者还发现，很多单群可以只用πe(G)刻画.在该猜想得到证明后，一些学者开始关注减少一些考虑因素作为条件是否仍然可以刻画单群.如：只用群的阶和元素的最高阶来刻画单群，可得到很多单群的刻画[3-5].在类似的研究中都把群的阶作为必须的已知条件，那么可否用别的数量代替群的阶呢?文献[6-7]曾将群的阶换成2-Sylow子群的阶来讨论群的结构，遗憾的是，这并不能得到群的刻画，但此研究仍具有理论意义.本文继续此研究，讨论2-Sylow子群的阶、元素的最高阶、元素的次高阶与A8相同的有限群的结构.
为了讨论方便，对本文出现的一些符号加以说明. πe(G)表示群G中元素的阶的集合，K1(G)表示群G的最高阶元素的阶，K2(G)表示群G的次高阶元素的阶，Aut(G)表示群G的自同构群，Out(G)表示群G的外自同构群.
定义1 设G是有限群，其中H
$\triangleleft$ G，H∩K=1且G=H$\rtimes$ K，若K的非单位元无不动点地正规作用在H上，则称群G为Frobenius群，H为Frobenius核(简称F-核)，K为Frobenius补(简称F-补).定义2 如果群G有正规群列1⊴H⊴K⊴G，使得G/H和K分别是以K/H和H为Frobenius补的Frobenius群，则称群G为2-Frobenius群.
定义3 设G是有限群，群G的素图Γ(G)定义如下：顶点集为π(G)，两个不同素数p，q有边相连当且仅当G有一个pq阶元素.用t(G)表示Γ(G)的连通分支数. {π1，π2，…，πt(G)}为Γ(G)的连通分支所含顶点之集.若2∈π(G)，我们总假设2∈π1.
引理1[8] 设G是有限群，G的素图不连通，则下列结论之一成立：
(ⅰ) G是Frobenius群；
(ⅱ) G是2-Frobenius群；
(ⅲ) G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，使得H和G/K是π1-群，K/H为非Abel单群，其中2∈π1-群，H为幂零群，且|G/K|||Out(K/H)|.
引理2[9] 设有限群G=HN是以N为核，H为补的Frobenius群，则H的任一Sylow子群为循环群或广义四元数群.
引理3[10] 设G是偶数阶2-Frobenius群，即G=ABC，其中A⊴G，AB⊴G，AB是以A为核，B为补的Frobenius群，BC是以B为核，C为补的Frobenius群，则
且G是可解的，B是G的Hall子群且为奇数阶的，C为循环群.
引理4[11] 设a是有限群G的2阶无不动点的自同构，那么对所有x∈G，有xa=x-1.特别地，G是Abel群.
定理1 设G是有限群，K1(G)=15，K2(G)=7，且G的2-Sylow子群的阶为26，则存在H⊴G，使得下列结论之一成立：
(ⅰ) G/H≌A8，|G|=26·3α·5β·7，其中H为3α-2阶且方指数整除3的幂零群，或5β-1阶初等Abel群，或3α-2·5α-1阶且方指数整除15的幂零群；
(ⅱ) G/H≌L3(4)，|G|=26·3α·5β·7，其中H为3β-2阶且方指数整除3的幂零群，或5β-1阶初等Abel群，或3α-2·5β-1阶且方指数整除15的幂零群.
证 由条件可设
因为
所以7是Γ(G)的孤立点，故t(G)≥2，即G的素图不连通.由引理1知G是Frobenius群；或2-Frobenius群；或G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，使得H和G/K是π1-群，K/H是非Abel单群，其中2∈π1-群，H为幂零群，且|G/K|||Out(K/H)|.下面分情形讨论：
情形1 设G是Frobenius群.
易知G=HK，其中H为Frobenius补，K为Frobenius核.由引理2知，H的任一Sylow子群为循环群或广义四元数群.由7是Γ(G)的孤立点，从而
或
若π(H)={7}，则π(K)={2，3，5}.因为K是Frobenius核，所以K是幂零群，因此K=P2×P3×P5，从而K有30阶元，与K1(G)=15矛盾.
若π(K)={7}，则π(H)={2，3，5}.由引理2知H的2-Sylow子群H2为循环群或广义四元数群，则H2中恒有8阶元，与K2(G)=7矛盾.
因此G不是Frobenius群.
情形2 设G是2-Frobenius群.由引理3知G=ABC，其中A⊴G，AB⊴G，AB是以A为核，B为补的Frobenius群，BC是以B为核，C为补的Frobenius群.则
且G是可解的，B是G的Hall子群且为奇数阶的，C是循环群.由7是Γ(G)的孤立点知π(B)={7}，又因为B为AB的Frobenius补，由引理2知B是循环群，从而|B|=7.再由BC是以B为核，C为补的Frobenius群，故|C||(|B|-1)，即|C||6，因此由
可得{2，5}⊆πe(A).再由A为AB的Frobenius核知A是幂零群，从而A中存在10阶元，与K2(G)=7矛盾.
因此G不是2-Frobenius群.
情形3 设G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，使得K/H为非Abel单群.
情形3.1 设K/H≌L2(7)(23·3·7)，由文献[14]知
由引理1知|G/K||2，比较阶得(22·5)||H|.由于H幂零，因此H有10阶元，与K2(G)=7矛盾.因此K/H
$\not\cong$ L2(7).情形3.2 设K/H≌L2(8)(23·32·7)，由文献[14]知
由引理1知|G/K||3，此时恒有(23·5)||H|.而H是幂零群，因此H有10阶元，与K2(G)=7矛盾.因此K/H
$\not\cong$ L2(8).情形3.3 设K/H≌U3(3)(25·33·7)，由文献[14]知
由引理1知|G/K||2.
(a) 若|G/K|=1，则G/H≌U3(3).由
知
从而10||H|.再由H是幂零群，故H有10阶元，与K2(G)=7矛盾.
(b) 若|G/K|=2，则G/H≌U3(3). 2.由文献[14]知U3(3). 2中有12阶元，与K2(G)=7矛盾.因此K/H
$\not\cong$ U3(3).情形3.4 设K/H≌A7(23·32·5·7).由文献[14]知
由引理1知|G/K||2.
(a) 若|G/K|=1，则G/H≌A7.比较阶得
因此H的2-Sylow子群H2是8阶群，故5
(b) 若|G/K|=2，则G/H≌A7. 2.比较阶得
因为H是幂零群，所以G中的5阶元可以共轭作用于H2(H的2-Sylow子群).但H2是4阶群，故G的5阶元在H2上的作用是平凡作用.因此G有10阶元，与K2(G)=7矛盾.因此K/H
$\not\cong$ A7.情形3.5 设K/H≌A8(26·32·5·7).由文献[14]知
由引理1知|G/K||2，比较2-Sylow子群的阶得|G/K|=1，即G/H≌A8.因此
再由H是π1-群，7是Γ(G)的孤立点，从而
当α=2时，取a∈G且|a|=2，由H⊴G知a可以共轭作用于H，且该作用必无不动点，若否，G中有10阶元，与K2(G)=7矛盾.由引理4知H为Abel群，故H为5β-1阶初等Abel群.当β=1时，H为3α-2阶幂零群，且其方指数整除3.当α≥3，β≥2时，H为3α-2·5β-1阶幂零群，且其方指数整除15.
情形3.6 设K/H≌L3(4)(26·32·5·7).同理得|G/K||6，比较2-Sylow子群的阶得2
(a)若|G/K|=1，则G/H≌L3(4).比较阶得
因H是π1-群，则γ=1，|H|=3α-2·5β-1.当α=2时，同理可得H为5β-1阶初等Abel群.当β=1时，H为3α-2阶幂零群，且其方指数整除3.当α≥3，β≥2时，H为3α-2·5β-1阶幂零群，且其方指数整除15.
(b) 若|G/K|=3，则G/H≌L3(4). 3.由文献[14]知L3(4). 3中有21阶元，与K1(G)=15矛盾.因此G/H
$\not\cong$ L3(4). 3.情形3.7 设K/H≌L2(49)(24·3·52·72).由文献[12]中的结论知L2(49)有12阶元，与K2(G)=7矛盾.因此K/H
$\not\cong$ L2(49).情形3.8 设K/H≌U3(5)(24·32·53·7).由文献[14]知
由引理1知|G/K||6，比较阶知H的2-Sylow子群的阶等于2或4，从而同理可得G恒有10阶元，与K2(G)=7矛盾.因此K/H
$\not\cong$ U3(5).情形3.9 设K/H≌A9(26·34·5·7).由文献[14]知
由引理1知|G/K||2.因为26||A9|，所以|G/K|=1，即G/H≌A9.再由文献[12]知A9中有12阶元，与K2(G)=7矛盾.因此K/H
$\not\cong$ A9.证毕.定理2 设G是有限群，G的2-Sylow子群的阶与A8的2-Sylow子群的阶相等，Ki(G)=Ki(A8)(i=1，2).则G的结构如定理1.
推论1 设G是有限群，|G|=|A8|，Ki(G)=Ki(A8)(i=1，2).则G≌A8.
On Order of 2-Sylow Subgroup and the Same Largest and Second Largest Element Orders with A8
- Received Date: 31/03/2019
- Available Online: 20/12/2019
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Key words:
- 2-Sylow subgroup /
- element /
- order /
- group structure
Abstract: In this paper, the structure of finite groups with the same order of 2-Sylow subgroup and the same largest and second largest element orders with A8 has been discussed. The some properties of prime graph components of groups, outer automorphism groups and nilpotent groups are used in discussion. It is concluded that, if the finite groups G has the same order of 2-Sylow subgroup and the same largest and second largest element orders with A8, then a group H⊴G makes that, (ⅰ) G/H≌A8, |G|=26·3α·5β·7, and H is a nilpotent group and |H|=3α-2 square index divides 3; or H is an elementary Abel group, and |H|=5β-1; or H is a nilpotent group and |H|=3α-2·5β-1 square index divides 15; (ⅱ) G/H≌L3(4), |G|=26·3α·5β·7, and H is a nilpotent group and |H|=3β-2 square index divides 3; or H is an elementary Abel group, and |H|=5β-1; or H is a nilpotent group and |H|=3α-2·5β-1 square index divides 15. As a corollary, it follows that if |G|=|A8|, Ki(G)=Ki(A8)(i=1, 2), then G≌A8.
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