A New Characterization of Alternating Group A₅

在有限群的研究中，经常从不同的角度去刻画某个群，比如文献[1]就对单群K₃进行了刻画.在这里，我们主要关注对单群A₅的刻画.文献[2-7]采用了多种不同的方法来刻画A₅.文献[2]通过Sylow-p子群的个数来刻画A₅，文献[3-5]通过元素的阶来刻画A₅，文献[6-7]分别通过不可补子群个数和状态空间图来刻画A₅.文献[8]从不同不可约特征标在某一元素上取不同值的角度分类了可解群.本文受此启发，通过在不同共轭类上取值都不同的特征标的个数来刻画A₅，说明了恰好存在两个不可约特征标，使得在不同的共轭类取值都不同的60阶群只有A₅.为了方便，我们称特征标为TJ特征标当且仅当其在不同的共轭类上取值不同，称群为TJ群当且仅当其不可约特征标中恰好有两个特征标为TJ特征标.为便于本文证明，下面给出相关的引理：

引理1^[9]  G=H×K，若任取φ∈Irr(H)，θ∈Irr(K)，则φ×θ刚好是G的所有不可约特征标.其中对于h∈H和k∈K，有(φ×θ)(hk)=φ(h)θ(k).

引理2^[9]  若A是交换群，且A◃G，则对所有χ∈Irr(G)，有χ(1)||G:A|.

引理3^[9]  若χ∈Irr(G)且χ(1)>1，则存在g∈G，使得χ(g)=0.

引理4^[9]  如果G=H×K，其中H是非交换群，K≠1，则G不是TJ群.

证  令λ表示H的线性特征标，因为H非交换，所以

所以H的线性特征标不是TJ特征标，于是H的线性特征标乘以K的不可约特征标不是TJ特征标.对于H的非线性特征标χ，由引理3，存在h∈H，使得χ(h)=0，所以H的非线性特征标乘以K的不可约特征标也不是TJ特征标.于是G的所有不可约特征标均不是TJ特征标，所以G不是TJ群.

定理1  如果|G|=60，且恰好存在两个不可约特征标χ和φ，使得对任意g_m，g_n，其中g_m，g_n属于不同的共轭类，且1≤m，n≤|Irr(G)|，有χ(g_m)≠χ(g_n)且φ(g_m)≠φ(g_n).则G≌A₅.

证  只需证明60阶群除了A₅外其它均不满足定理条件即可.

首先看一些特殊情况：

情形1  若G是循环群，则显然不满足“恰好存在两个不可约特征标在不同共轭类上取值不同”这一条件.

情形2  若G是交换群，则|G|=60=2²×3×5，于是

或

前者G≌C₆₀已经讨论过.后者对于H=C₂× C₃，一定存在λ∈Irr(H)，使得Ker(λ)=1.又因为C₂和C₅的非主不可约特征标均为TJ特征标，所以由引理1，λ与C₂和C₅的非主不可约特征标的乘积一定是TJ特征标.则G的TJ特征标的个数一定大于2.

再看一般情况：

因为60阶群除了A₅外均可解，所以只需排除G可解的情况.

若G可解，则G的Sylow-5子群正规.设G的Sylow-5子群为P.

情形3  若P≤Z(G).

此时N_G(P)=C_G(P)=G，于是由文献[10]可得P在G中有补，记为H.则可以得到

所以H∩P=1.因为P≤Z(G)，所以P与H可换，所以H◃G.又因P◃G，则G=H× P.

情形3.1  若H≌C₁₂，则G≌C₁₂×C₅≌C₆₀，归为情形1.

情形3.2  若H≌C₆×C₂，则G≌C₆×C₂×C₅为交换群，归为情形2.

情形3.3  若H≌(C₂× C₂)$\rtimes$C₃，则G≌H× P.此时H为非交换群，由引理4知群G不是TJ群.

情形3.4  若H≌C₆$\rtimes$C₂，显然与情形3.3用同样的方法可得群G不是TJ群.

情形3.5  若H≌C₃$\rtimes$C₄，此时与情形3.4相同.

情形4  若P$\nleqslant$Z(G).

此时G非交换，|G′|>1，于是对于G的线性特征标λ，有Ker λ≥G′，所以Ker λ>1，所以线性特征标均不是TJ特征标.以下只需证明非线性特征标不是TJ特征标即可.

因为P$\nleqslant$Z(G)，P为G的交换正规子群，且(|P|，|G/P|)=1，因此

所以

而|G/P|=12，所以|G′/P|=1，3，4，所以|G′|=5，15，20.由文献[11]得G/C_G(P)同构于Aut(P)的子群，又因为P≤/ Z(G)，所以|G/C_G(P)|=4，2，所以G/C_G(P)交换且|C_G(P)|=15，30.由文献[11]得G′≤C_G(P)，所以

所以|G′|=5，15.

情形4.1  若|G′|=5，则G′=P.又因G非交换，而G/G′交换，所以G的Hall-2，3子群交换，所以

或者

而C₅$\rtimes$C₂和C₅$\rtimes$C₄都为非交换群，由引理4，在这两种情况下G均不是TJ群.

情形4.2若|G′|=15，则|G/G′|=4.此时G有以下两种情况：

(a) 当G≌(C₁₅$\rtimes$C₂)×C₂时，由引理4可得G不是TJ群.

(b) 当G≌C₁₅$\rtimes$C₄时，此时有以下两种情况：

(b₁)若G=〈a〉$\rtimes$〈b〉，其中a¹⁵=b⁴=1且[a，b²]=1.令H=〈a，b²〉，则H◃G且H交换.又因|H|=30，由引理2，对于G的任一不可约特征标χ，有χ(1)|2，所以对于G的非线性不可约特征标χ，有χ(1)=2.又因为|G:H|=2，由文献[9]得，χ_H要么不可约，要么${{\chi }_{H}}=\sum\limits_{i=1}^{t}{{{\lambda }_{i}}}$(其中λ_i互不相同且不可约).所以对于G的非线性不可约特征标χ，有χ_H=λ₁+λ₂，此时

又因

所以由文献[9]得，对于g∈G-H，有χ(g)=0.显然

所以|G:C_G(b)|=15，也就是说b的共轭类有15个元，于是G-H至少有两个共轭类，在这两个共轭类上特征标的取值都为0，所以G的所有非线性特征标均不是TJ特征标.

(b₂)若G=(〈a〉×〈b〉)$\rtimes$〈c〉，其中

令H=〈a〉×〈b〉，则|H|=15，且H交换并正规于G.同理可得对于G的任一不可约特征标χ，有χ(1)|4，于是χ(1)=2或χ(1)=4.若χ(1)=4，由文献[9]得${\chi _H} = \sum\limits_{i = 1}^t {{\lambda _i}} $(其中λ_i∈Irr(H))，于是

所以对于g∈G-H，有χ(g)=0.又因

同(b₁)得，若χ(1)=4，则不是TJ特征标.若χ(1)=2，同样由文献[9]得χ_H=2λ(其中λ∈Irr(H)).于是

所以若χ(1)=2，则不是TJ特征标.所以G的所有非线性特征标均不是TJ特征标.

综上所述，若G可解，则G不是TJ群.

而对于A₅，显然A₅有5个共轭类，又因A₅为单群，所以|A₅:A₅^′|=1，于是A₅有1个线性不可约特征标和4个非线性不可约特征标.线性特征标即为主特征标，显然不是TJ特征标.对于非线性特征标，由文献[12]得，其中有两个特征标是由S₅的特征标限制得到的，所以这两个特征标在循环节为5的两个共轭类上取值相同，由此也均不是TJ特征标.剩下的两个不可约特征标由文献[12]计算得满足“在不同共轭类取值不同”这一条件.于是，A₅为TJ群.

故定理1得证.