On Rank and Relative Rank of Semigroup $\mathscr{DOPD}$(n, r)

设[n]={1，2，…，n-1，n}(n≥3)并赋予自然数的大小序. $\mathscr{I}_n$与$\mathscr{S}_n$分别表示[n]上的对称逆半群(即部分一一变换半群)和对称群，$\mathscr{SI}_n$=$\mathscr{I}_n$\$\mathscr{S}_n$是[n]上的部分一一奇异变换半群.设α∈$\mathscr{SI}_n$，若对任意的x，y∈Dom(α)，x≤y可推出xα≤yα，则称α是部分一一保序的.记$\mathscr{OI}_n$为[n]上的保序有限部分一一奇异变换半群.设α∈$\mathscr{OI}_n$，若对任意的x，y∈Dom(α)，有|xα-yα|=|x-y|，则称α是保距的.

令

则称$\mathscr{OPD}_n$为[n]上的保序且保距有限部分一一奇异变换半群.

令

则称$\mathscr{DOPD}_n$为[n]上的保序且保距有限部分一一奇异降序变换半群.

记

易见$\mathscr{DOPD}$(n，r)是$\mathscr{DOPD}_n$的子半群，且对任意的α∈$\mathscr{DOPD}$(n，r)，β，γ∈$\mathscr{DOPD}_n$，均有|Im(βαγ)|≤r，即βαγ∈$\mathscr{DOPD}$(n，r)，因而$\mathscr{DOPD}$(n，r)是$\mathscr{DOPD}_n$的双边星理想.

通常一个有限半群S的秩定义为

半群S及其子半群V之间的相关秩定义为

易见r(S，S)=0.

对于有限半群的秩及其相关秩的研究目前已有许多结果^[1-12].文献[1]考虑了[n]上的保序有限部分一一奇异变换半群$\mathscr{OI}_n$的理想

的生成集和秩，确定了半群$\mathscr{K}_{\mathscr{O}}$(n，r)的秩为C_n^r.文献[2]证明了半群$\mathscr{OI}_n$的m偏度秩存在时一定等于n.文献[3-11]考虑了几类不同的保序且压缩的变换半群的秩和相关秩.文献[12]研究了半群$\mathscr{O}_{n}$(k)的秩.

本文在文献[1-12]的基础上继续考虑保序保距且保降序部分一一奇异变换半群$\mathscr{DOPD}_n$的双边星理想$\mathscr{DOPD}$(n，r)的秩和相关秩，证明了如下主要结果：

定理1   设n≥3，0≤r≤n-1，则$\mathscr{J}_{r}^*$是$\mathscr{DOPD}$(n，r)的生成集，即$\mathscr{DOPD}$(n，r)=〈$\mathscr{J}_{r}^*$〉.

定理2  设n≥3，0≤r≤n-1，则

定理3   设n≥3，0≤l≤r≤n-1，则

设A是自然序集[n]的非空子集，符号ε_A表示A上的恒等变换，用Φ表示空变换.规定Φ是保距变换；Φ是部分一一保序变换.设α∈$\mathscr{DOPD}$(n，r)，用Im(α)表示α的像集，Ker(α)表示Dom(α)上的如下等价关系：

对任意的t∈Im(α)，tα^-1表示t的原像集且|tα^-1|=1.若

则由保序性及保距性容易验证α有表示法

其中

对任意的j，p∈{1，2，…，i-1，i，i+1，…，k-1，k}，有|a_j-a_p|=|b_j-b_p|，于是，令

记α= $\left( \begin{array}{l} A\\ B \end{array} \right)$，在下文的证明中用这种形式表示半群$\mathscr{DOPD}_n$中元素特点.

为叙述方便，这里引用Green^*-等价关系^[13].不难验证，在半群$\mathscr{DOPD}$(n，r)中，$\mathscr{L}^*$，$\mathscr{R}^*$，$\mathscr{J}^*$有如下刻画：对任意的α，β∈$\mathscr{DOPD}$(n，r)，有

易见$\mathscr{L}^*$⊆$\mathscr{J}^*$，$\mathscr{R}^*$⊆$\mathscr{J}^*$.记

显然$\mathscr{J}^*_{0}$，$\mathscr{J}^*_{1}$，$\mathscr{J}^*_{2}$，…，$\mathscr{J}^*_{r-1}$，$\mathscr{J}_{r}^*$恰好是$\mathscr{DOPD}$(n，r)的r+1个$\mathscr{J}^*$-类，并且

不难验证$\mathscr{DOPD}_n$具有如下包含关系的双边星理想链：

用X_n(r)表示自然序集[n]={1，2，3，…，n-1，n}(n≥3)的所有r元子集，则X_n(r)中共有C_n^r个元素，其中C_n^r表示从n个元素中取出r个元素的组合数.令t=C_n^r，记X_n(r)={A₁，A₂，…，A_t}，其中

定义1^[4]  若对任意的A={a₁ < a₂ < … < a_i-1 < a_i < a_i+1 < … < a_r-1 < a_r}，B={b₁ < b₂ < … < b_i-1 < b_i < b_i+1 < … < b_r-1 < b_r}∈X_n(r)，如果对i=2，3，…，r-1，r，有a_i-a_i-1=b_i-b_i-1，则称A与B同距，否则称A与B不同距.

将X_n(r)按照同距概念进行分类.对任意的A∈X_n(r)，记A的同距类为[A].进一步可证：对任意的

必定存在

使得C与A同距，其中

本文未定义的术语及符号参见文献[14-16].

为完成定理的证明，先给出若干引理与推论.

引理1   对0≤k≤1，有$\mathscr{J}^*_k$⊆$\mathscr{J}^*_{k+1}$·$\mathscr{J}^*_{k+1}$.

证  设Φ是空变换，则$\mathscr{J}^*_{0}$={Φ}.令β= $\left( \begin{array}{l} 2\\ 1 \end{array} \right)$，γ=$\left( \begin{array}{l} 3\\ 2 \end{array} \right)$，则β，γ∈$\mathscr{J}_{1}$且Φ=βγ，即$\mathscr{J}^*_{0}$⊆$\mathscr{J}^*_{1}$·$\mathscr{J}^*_{1}$.

对任意的α∈$\mathscr{J}^*_{1}$，不妨设α=$\left( \begin{array}{l} a\\ b \end{array} \right)$，以下分2种情形证明$\mathscr{J}^*_{1}$⊆$\mathscr{J}^*_{2}$·$\mathscr{J}^*_{2}$.

情形1   若a=b，由n≥3，则存在{c，d}∈[n]\{a}，使得

则ε_A，ε_B∈$\mathscr{J}^*_{2}$，且α=ε_A·ε_B.

情形2   若a>b，分两种子情形证明.

情形2.1   若b=1，令

则β，γ∈$\mathscr{J}^*_{2}$，且α=βγ.

情形2.2   若b≥2，令

则β，γ∈$\mathscr{J}^*_{2}$，且α=βγ.

引理2   对2≤k≤r-1，3≤r≤n-1，有$\mathscr{J}^*_k$⊆$\mathscr{J}^*_{k+1}$·$\mathscr{J}^*_{k+1}$.

证   对任意的α∈$\mathscr{J}^*_k$，设α的标准表示为

其中

对任意的j，p∈{1，2，…，i-1，i，i+1，…，k-1，k}，有

以下分4种情形证明存在β，γ∈$\mathscr{J}^*_{k+1}$使得α=βγ.

情形1   若存在j∈{2，3，…，i-1，i，i+1，…，k-1，k}，使得a_j-a_j-1≥3.令

则β，γ∈$\mathscr{J}^*_{k+1}$，且α=βγ.

情形2   若存在j，p∈{2，3，…，i-1，i，i+1，…，k-1，k}，且j≠p，使得a_j-a_j-1≥2且a_p-a_p-1≥2，不失一般性，不妨设j < p.令

则β，γ∈$\mathscr{J}^*_{k+1}$，且α=βγ.

情形3   若存在j∈{2，3，…，i-1，i，i+1，…，k-1，k}，使得a_j-a_j-1=2，且对任意的

有a_p-a_p-1=1.由此可见：a₁=1，必有a_k < n；或a_k=n，必有a₁>1.否则由a₁=1且a_k=n可得α∈$\mathscr{J}^*_{n-1}$，即k=n-1，与2≤k≤r-1，3≤r≤n-1矛盾.利用保序性和保距性，类似地可得到：b₁=1，必有b_k < n；或b_k=n，必有b₁>1.

当b₁>1时，则b₁-1≥1.令

则β，γ∈$\mathscr{J}^*_{k+1}$，且α=βγ.

当b_k < n时，则b_k+1≤n.令

则β，γ∈$\mathscr{J}^*_{k+1}$，且α=βγ.

情形4   对任意的j∈{2，3，…，i-1，i，i+1，…，k-1，k}使得a_j-a_j-1=1，利用保序性和保距性可知：对任意的j∈{2，3，…，i-1，i，i+1，…，k-1，k}，b_j-b_j-1=1.由2≤k≤r-1，3≤r≤n-1可知k≤n-2，即k+2≤n.

如果a₁≠1，分以下3种子情形证明：

情形4.1   如果b₁=1，则b_k < n-1.令

则β，γ∈$\mathscr{J}^*_{k+1}$，且α=βγ.

情形4.2   如果2=b₁≤a₁，则

令

则β，γ∈$\mathscr{J}^*_{k+1}$，且α=βγ.

情形4.3   如果3≤b₁≤a₁≤n，则

令

则β，γ∈$\mathscr{J}^*_{k+1}$，且α=βγ.

如果a_k≠n，分以下2种子情形证明：

情形4.4   如果1=b₁≤a₁，令

则β，γ∈$\mathscr{J}^*_{k+1}$，且α=βγ.

情形4.5   如果1≠b₁≤n-k≤a₁，令

则β，γ∈$\mathscr{J}^*_{k+1}$，且α=βγ.

定理1的证明   由引理1和引理2可知，任意的α∈$\mathscr{DOPD}$(n，r)可以表达成$\mathscr{DOPD}$(n，r)的顶端$\mathscr{J}^*$-类$\mathscr{J}_{r}^*$中秩为r的若干元素的乘积或α∈$\mathscr{J}_{r}^*$.换句话说，$\mathscr{J}_{r}^*$是$\mathscr{DOPD}$(n，r)的生成集，即

引理3   设自然数n≥3，则rank($\mathscr{DOPD}$(n，0))=1，rank($\mathscr{DOPD}$(n，1))=C_n¹+C_n-1¹=2n-1.

证   由引理1的证明过程易知

显然有

首先，容易验证

令

则

其次，对任意的α∈$\mathscr{J}^*_{1}$，必存在i，j∈{1，2，3，…，n-1，n}，使得α=$\left( \begin{array}{l} i\\ j \end{array} \right)$，则当i=j时，有α=α_n+i-1；当i>j时，有α=α_i-1α_i-2…α_j+2α_j+1α_j.

由此可见，$\mathscr{J}^*_{1}$⊆〈M〉.结合定理1知$\mathscr{DOPD}$(n，1)=〈M〉.注意到|M|=C_n¹+C_n-1¹=2n-1.

引理4   设n≥3，2≤r≤n-1，则在$\mathscr{J}_{r}^*$中存在基数为C_n^r+C_n-1^r的集合M，使得$\mathscr{J}_{r}^*$⊆〈M〉.

证   首先，构造$\mathscr{J}_{r}^*$中基数为C_n^r+C_n-1^r的集合M.

对任意的A∈X_n(r)={A₁，A₂，…，A_t}(t=C_n^r+C_n-1^r)，不妨设

其中

若m=1，只有α₁=$\left( \begin{array}{l} A\\ A \end{array} \right)$=ε_A∈$\mathscr{J}_{r}^*$.

若2 < m≤t=C_n^r+C_n-1^r，容易验证

对其余的保降序同距类也用类似的方式进行构造，可以得到集合

用t₁，t₂分别表示当|[A]|=1和|[A]|≥2时生成元的个数，若1∈A且n∈A，则|[A]|=1，若1∈A且n∉A，则|[A]|≥2，则

即

其次，对任意的α∈$\mathscr{J}_{r}^*$，验证α∈〈M〉，即$\mathscr{J}_{r}^*$⊆〈M〉.

对任意的α∈$\mathscr{J}_{r}^*$，必存在A∈X_n(r)，使得Im(α)，Dom(α)∈[A].不失一般性，可设α=$\left( \begin{array}{l} B_i\\ B_j \end{array} \right)$，其中，B_i，B_j∈[A]={A=B₁，B₂，…，B_m-1，B_m}且i，j∈{1，2，…，m-1，m}.

若|[A]|=1，则α=ε_A=ε_Im(α).

若|[A]|≥2，则当i=j时，有α=α_m+i-1；当i>j时，有α=α_i-1α_i-2…α_j+1α_j.

为叙述方便，这里引用符号α_ij=$\left( \begin{array}{l} B_i\\ B_j \end{array} \right)$.

引理5   设自然数n≥3，则M是半群$\mathscr{DOPD}$(n，r)唯一的极小生成集.

证   对任意的α_st，α_mn∈M，s，t，m，n∈{1，2，…，t-1，t}，当t=m时，有α_st·α_mn=α_sn；当t≠m时，有α_st·α_mn∈$\mathscr{DOPD}$(n，r-1).

对任意的α_st，α_mn∉M，s，t，m，n∈{1，2，…，t-1，t}，当t=m时，有α_st·α_mn=α_sn∉M；当t≠m时，有α_st·α_mn∈$\mathscr{DOPD}$(n，r-1).

对任意的α_st∈A₁，α_mn∈A₂且A₁∉[A₂]，有α_st·α_mn∈$\mathscr{DOPD}$(n，r-1).

定理2的证明   由引理3与引理4可知，任意的α∈$\mathscr{J}_{r}^*$可以表达为M中若干元素的乘积或α∈M，即$\mathscr{J}_{r}^*$⊆〈M〉.再由定理1知，M是$\mathscr{DOPD}$(n，r)的生成集，即$\mathscr{DOPD}$(n，r)=〈M〉，其中M的定义见引理4与引理5的证明过程.注意到|M|=C_n^r+C_n-1^r，进一步有

因此，结合引理5，有rank($\mathscr{DOPD}$(n，r))=C_n^r+C_n-1^r.

定理3的证明   当l=r时，显然有r($\mathscr{DOPD}$(n，r)，$\mathscr{DOPD}$(n，l))=0.

当0≤l < r时，由定理1与定理2的证明过程可知

再由相关秩的定义，可知

则