The Research of Quasi-weak Almost Periodic Property and Sequence Shadowing Property Under Strongly Uniform Convergence

一致收敛是数学分析及拓扑学中非常重要的概念.我们知道，部分序列函数的性质在一致收敛条件下可以被遗传到极限函数，例如连续性、黎曼积分、不动点、链回归点等，然而很多动力学性质在一致收敛的情况下并不能被遗传到极限函数，例如拓扑传递性^[1]、初值敏感性^[2]等.为了研究序列函数和极限函数之间的动力学关系，文献[3]给出了比一致收敛更强的条件，即强一致收敛，从此很多学者开始在强一致收敛条件下研究序列函数和极限函数之间的动力学性质，得到了许多成果^[4-13].例如文献[4]证明了在强一致收敛条件下，若序列函数是拓扑传递的，则极限函数也是拓扑传递的，同时给出了一个拓扑传递不能被一致收敛所遗传的例子；文献[5]证明了若序列映射{f_n}是Li-Yorke混沌，在强一致收敛条件下，其极限函数f也是Li-Yorke混沌；文献[6]证明了若序列函数是渐近周期的，在强一致收敛条件下，其极限函数也是渐近周期的；文献[7]证明了在强一致收敛条件下，$\bigcap\limits_{m = 1}^\infty {\bigcup\limits_{n - m}^\infty {QW\left({{f_n}} \right)} } $是QW(f)子集.本文在文献[7]的基础上，继续研究拟弱几乎周期点，得到如下结果：(ⅰ)设序列映射{f_n}强一致收敛于等度连续映射f，且点列{x_k}是每个映射f_n的拟弱几乎周期点，若$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \; {x_k} = x$，则x是f的拟弱几乎周期点；(ⅱ)若序列映射{f_n}强一致收敛于等度连续映射f，则$\mathop {\lim \; \sup }\limits_{n \to \infty } QW\left({{f_n}} \right) \subset QW(f)$.改进和推广了文献[7]的结论.另外，本文还研究了强一致收敛条件下序列跟踪性的动力学性质，得到：若序列映射{f_n}强一致收敛于f，且f_n具有fine序列跟踪性，则f具有序列跟踪性.这些结果丰富了强一致收敛条件下拟弱几乎周期性和序列跟踪性的理论.

定义1  设(X，d)是度量空间，f：X→X连续，x∈X.若∀ε>0，存在N>0，存在非负递增的整数列{n_i}，使得对∀i≥0，有#({r：f^r(x)∈B(x，ε)，0≤r < n_iN})≥n_i，则称x是f的拟弱几乎周期点. f的拟弱几乎周期点集用QW(f)表示.

定义2^[14]   设(X，d)是度量空间，f：X→X连续，δ＞0，{x_i}_i≥0是X中的序列.若对∀i≥0，有d(f(x_i)，x_i+1) < δ，则称{x_i}_i≥0是f的δ-伪轨.

定义3   设(X，d)是度量空间，f：X→X连续，ε>0，y∈X，{x_i}_i≥0是X中的序列.若对∀i≥0，有d(fⁱ(y)，x_i) < ε，则称y ε-跟踪{x_i}_i≥0.

定义4   设(X，d)是度量空间，f：X→X连续.若对∀ε>0，存在δ＞0，使得当{x_i}_i≥0是X中f的δ-伪轨时，存在y∈X和非负递增整数列{n_i}_i=0^∞，y ε-跟踪{x_ni}_i=0^∞，则称f具有序列跟踪性.

定义5   设(X，d)是度量空间，f：X→X连续.若对∀ε>0，使得当{x_i}_i≥0是X中f的ε-伪轨时，存在y∈X和非负递增整数列{n_i}_i=0^∞，y ε-跟踪{x_ni}_i=0^∞，则称f具有fine序列跟踪性.

引理1 ^[7]   设(X，d)是度量空间，对∀n∈ $\mathbb{N}_{+}$，f_n：X→X连续，f：X→X连续，序列映射{f_n}强一致收敛于f，x∈X.若x是每个映射f_n的拟弱几乎周期点，则x是f的拟弱几乎周期点.

定理1   设(X，d)是度量空间，对∀n∈ $\mathbb{N}_{+}$，f_n：X→X连续，f：X→X等度连续，序列映射{f_n}强一致收敛于f.若点列{x_k}是每个映射f_n的拟弱几乎周期点，且$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k} = x$是f的拟弱几乎周期点.

证   由f的等度连续性知，∀ε>0，存在$0 <\delta<\frac{\varepsilon}{3}$，当d(z₁，z₂) < δ时，∀l≥0，有

由$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k} = x$知，对δ>0，存在正整数m>0，使得d(x_m，x) < δ.由式(1)知，∀l≥0，有

由引理1知，x_m是f的拟弱几乎周期点，故对$\frac{\varepsilon }{3}>0$，存在q>0，存在非负递增的整数列{n_i}，对∀i≥0，有

令

设r∈A_ni，则有

由(2)，(3)式知

故r∈B_ni，则A_ni⊂B_ni，因此#(B_ni)≥#(A_ni)≥n_i，故x是f的拟弱几乎周期点.

定理2  设(X，d)是度量空间，对$\forall n\in {{\mathbb{N}}_{+}}, {{f}_{n}}:X\to X$连续，f：X→X等度连续.若序列映射{f_n}强一致收敛于f，则$\mathop {\lim \; \sup }\limits_{n \to \infty } QW\left({{f_n}} \right) \subset QW(f)$.

证  由f的等度连续性知，∀ε>0，存在$0 < \delta < \frac{\varepsilon }{4}$，当d(z₁，z₂) < δ时，∀l≥0，有

由${f_n}\mathop \to \limits^s f$知，对$\frac{\varepsilon }{4} > 0$，存在正整数N₁，当n>N₁时，∀l≥0，∀x∈X，有

设$z = \mathop {\lim \; \sup }\limits_{n \to \infty } QW\left({{f_n}} \right)$，则存在正整数m>N₁，使得

取

由y∈QW(f_m)知，对$\frac{\varepsilon }{4} > 0$，存在正整数q>0和非负递增的整数列{n_i}，对∀i≥0，有

令

设r∈A_ni，则有

由y∈B(z，δ)和(4)式知

由(5)，(6)，(7)式知

故r∈B_ni，则A_ni⊂B_ni，因此#(B_ni)≥#(A_ni)≥n_i，则z∈QW(f)，所以

下面举例说明：即使满足定理2的条件，也推不出$\mathop {\lim \; \sup }\limits_{n \to \infty } QW\left({{f_n}} \right) \subset QW(f)$.

例1  设I=[0, 1]，对$n\in {{\mathbb{N}}_{+}}$，定义f_n：X→X为

定义f：X→X为

易知序列映射{f_n}在I上强一致收敛于f，并且f是等度连续的，另外(0，1)⊂QW(f).

下面证明$\forall n\in {{\mathbb{N}}_{+}}, \quad \forall x\in (0, 1]$，存在$m=m(n, x)\in {{\mathbb{N}}_{+}}$，当k≥m时，有

若$x\in \left(0, \frac{1}{n} \right]$，当k≥1时，有

若$x\in \left(\frac{1}{n}, \frac{2}{n} \right]$，当k≥2时，有

若$x\in \left(\frac{2}{n}, \frac{3}{n} \right]$，当k≥3时，有

依此类推，若$x\in \left(\frac{i}{n}, \frac{i+1}{n} \right]$，其中0≤i≤n－1，则存在$m=m(n, x)\in {{\mathbb{N}}_{+}}$，当k≥m时，有

故(8)式成立.设x∈(0，1]，下面证明$x\notin QW\left({{f}_{n}} \right)$.假设x∈QW(f_n)，则∀ε>0，存在m₀>m，使得f_0n^m(x)∈B(x，ε).由(8)式知f_0n^m(x)=0，故0∈B(x，ε)，这与ε的任意性矛盾，故$x \notin QW\left( {{f_n}} \right)$.又因0∈QW(f_n)，则QW(f_n)={0}，因此

故

定理3   设(X，d)是度量空间，对$\forall n\in {{\mathbb{N}}_{+}}, {{f}_{n}}:X\to X$连续，f：X→X连续，序列映射{f_n}强一致收敛于f.若f_n具有fine序列跟踪性，则f具有序列跟踪性.

证   ∀ε>0，取$0 < \delta < \frac{\varepsilon }{3}$.设{x_i}_i≥0是f的δ-伪轨，则∀i≥0，有

由${{f}_{n}}\overset{s}{\mathop{\to }}\, f$知，对δ>0，存在正整数N₁，当n>N₁时，∀l≥0，∀y∈X，有

取m>N₁，并固定m，由(10)式知，当i≥0时，有

由(9)式和(11)式知，当i≥0时，有

由f_m具有fine序列跟踪性知，存在x∈X和非负递增整数列{n_i}_i=0^∞，当i≥0时，有

由(10)式知，当i≥0时，有

因此，当i≥0时，有

故f具有序列跟踪性.

注1   本文在强一致收敛条件下，研究了序列映射与极限映射之间关于序列跟踪性的关系.得到：若f_n具有fine序列跟踪性，则f也具有序列跟踪性.另外还研究了序列映射与极限映射之间关于拟弱几乎周期性的关系，得到如下结论：(ⅰ)若点列{x_k}是每个映射f_n的拟弱几乎周期点，且$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\mkern 1mu} {x_k} = x$，则x是f的拟弱几乎周期点；(ⅱ)$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \ \sup }}\, QW\left({{f}_{n}} \right)\subset QW(f)$.而文献[7]只得到$\bigcap\limits_{m=1}^{\infty }{\bigcup\limits_{n-m}^{\infty }{QW\left({{f}_{n}} \right)}}\subset \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \ \sup }}\, QW\left({{f}_{n}} \right)$，我们知道$\bigcap\limits_{m=1}^{\infty }{\bigcup\limits_{n-m}^{\infty }{QW\left({{f}_{n}} \right)}}\subset \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \ \sup }}\, QW\left({{f}_{n}} \right)$，这就说明本文的结论推广和改进了文献[7]的结果，有一定的研究价值.