On Ding f-Projective Modules

1960年，Auslander和Bridger在双边noetherian环R上引入了有限生成模G-维数的概念.文献[1]推广了Auslander和Bridger的想法，在任意的环R上定义了Gorenstein投射模的概念.文献[2]证明了在noetherian环R上的有限生成R-模M是Gorenstein投射模当且仅当M是G-维数为0的模，发现了Gorenstein投射模有许多投射模的性质.文献[3]引入了Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的两种特殊情况，分别叫做强Gorenstein平坦模和Gorenstein FP-内射模，这两种模的类在凝聚环上有许多性质类似于在noetherian环上Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的性质.文献[4]重新命名强Gorenstein平坦模是Ding投射模，Gorenstein FP-内射模是Ding内射模.由文献[5]的命题10.2.6知，有限表示模M是Ding投射模当且仅当在左完全环上，M是Gorenstein投射模，Gorenstein投射模是Ding投射模.因此，由文献[4]的推论4.6知，在Gorenstein环上，Gorenstein投射模是Ding投射模.

利用有限生成投射模，文献[2]引入并研究了f-投射模. Gorenstein投射模是投射模的一类重要推广，文献[6]利用有限生成Gorenstein投射模引入了Gorenstein f-投射模. Ding投射模是Gorenstein投射模的一种特殊情形.受以上工作的启发，我们引入了Ding f-投射模的概念.

我们给出了Ding f-投射模的刻画，证明了：由所有Ding f-投射模左R-模的类关于直和以及直和项封闭；若R是左凝聚环，则由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于纯扩张以及纯子模封闭.

文中未解释的概念和符号，请参见文献[7-9].

本文中的R是带有单位元的结合环，所有模都是酉模.对左R-模M，M^**表示对偶模Hom_R(M，R)，δ_M：M→M^**是自然赋值映射.

由文献[10]知，如果存在投射模的正合序列

使得M$ \cong $Ker(P⁰→P¹)，且对任意平坦左R-模F，有Hom_R(P，F)是正合的，则左R-模M是Ding投射模.

下面我们引入Ding f-投射模的定义.

定义1  如果对任意左R-模，同态f：A→M都可以通过有限生成Ding投射模左R-模P分解，则左R-模M是Ding f-投射模，其中A是有限生成左R-模.

等价地，对M的任意有限生成子模N，包含映射f：N→M可以通过有限生成Ding投射左R-模P分解.

命题1   有限生成左R-模M是Ding f-投射模当且仅当M是Ding投射模.

证  必要性  设有限生成左R-模M是Ding f-投射模.则恒等映射1_M：M→M可以通过有限生成Ding投射左R-模D分解成g：M→D和h：D→M使得hg=1_M.因此M是D的直和项.故M是Ding投射模.

充分性  设M是有限生成Ding投射模.则有限生成左R-模N到M的同态f可以通过有限生成Ding投射左R-模M分解.故M是Ding f-投射模.

记Γ={D_i：i∈I}是有限生成Ding投射左R-模同构类的代表半单无赘集，且设

设A，B是左R-模.则对任意f∈Hom_R(A，⊕_i∈ID_i)，g∈Hom_R(⊕_i∈ID_i，B)，其中a∈A，有自然同态

其中

引理1   设B是左R-模，则以下结论等价：

(ⅰ) B是Ding f-投射模；

(ⅱ)对任意有限生成左R-模A，σ_A，B是满同态.

证   (ⅰ)$\Rightarrow $(ⅱ)设α∈Hom_R(A，B).因为B是Ding f-投射模，所以α可以通过有限生成Ding投射左R-模D_k∈Γ分解.存在β：A→G_k和γ：G_k→B，使得α=γβ.设π：⊕_i∈ID_i→D_k是标准投射，且λ：D_k→⊕_i∈ID_i是标准内射.取

因为α=σ_A，B(f⊗g)，所以σ_A，B是满同态.

(ⅱ)$\Rightarrow $(ⅰ)设A是有限生成左R-模，且φ∈Hom_R(A，B).则存在

使得

因为A是有限生成的，所以存在有限指标集J⊆I，使得

定义ψ：A→(⊕_j∈JD_j)ⁿ为

且ξ：→(⊕_j∈JD_j)ⁿ B为

则φ=ξψ.因为(⊕_j∈JD_j)ⁿ是有限生成Ding投射模，所以B是Ding f-投射模.

由文献[5]知，如果对任意有限表示模F，序列${\rm{Ho}}{{\rm{m}}_R}(F, B)\mathop \to \limits^{{\beta ^*}} {\rm{Ho}}{{\rm{m}}_R}(F, C) \to 0$是正合的，则正合序列$0 \to A\mathop \to \limits^a B\mathop \to \limits^\beta C \to 0$是纯的.

下面给出本文的主要结果.

定理1   由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于直和以及直和项封闭，若R是左凝聚环，则由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于纯扩张以及纯子模封闭.

证   设(M_j)_j∈J是一族Ding f-投射左R-模，Q是有限生成左R-模.对任意同态f：Q→⊕_j∈JM_j，因为Q是有限生成的，所以存在有限指标集K⊆J，使得Im(f)⊆⊕_k∈KM_k.由引理1知

正合.因此可以得到图 1.

因为下行正合，所以σ_Q，⊕k∈KM_k是满同态.由引理1知，⊕_k∈KM_K是Ding f-投射模.定义τ：Q→⊕_k∈KM_K，使得对任意χ∈Q，τ(χ)=f(χ).则τ可以通过有限生成Ding投射模Z分解成μ：Q→Z和υ：Z→⊕_k∈KM_k，使得τ=υμ.设ι：⊕_k∈KM_K→⊕_j∈JM_j是包含映射，则f=ιτ=(ιν)μ.因此⊕_j∈JM_j是Ding f-投射模.故由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于直和封闭.

设U是Ding f-投射左R-模V的直和项.定义π：V→U是标准投射，i：U→V是标准嵌入.对任意有限生成左R-模X和任意同态α：X→U，存在有限生成Ding投射左R-模Y，β：X→Y和γ：Y V，使得iα=γβ，则

因此U是Ding f-投射模.故由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于直和项封闭.

设R是左凝聚环，且0→A→B C→0是左R-模的纯正合序列.假设A和C是Ding f-投射左R-模.因为D_i∈Γ是有限表示的，所以

是正合的.因此可以得到正合序列

即

正合.因此对任意有限生成左R-模N，可以得到图 2.

因为A和C是Ding f-投射左R-模，所以由引理1知，σ_N，A和σ_N，C是满的.由文献[5]的引理3.14知，σ_N，B也是满的.因此B是Ding f-投射模，故由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于纯扩张封闭.

设R是左凝聚环，且$0 \to A\mathop \to \limits^\varepsilon B\mathop \to \limits^\rho C \to 0$是左R-模的纯正合序列.假设B是Ding f-投射左R-模.对任意有限生成左R-模M和任意同态α：M→A.因为B是Ding f-投射模，所以存在有限生成Ding投射左R-模D，γ：M→D和ψ：D→B，使得εα=ψγ.设$M\mathop \to \limits^\gamma D\mathop \to \limits^\varphi L \to 0$是正合序列.则存在β：L→C，使得图 3交换.

因为R是左凝聚环，所以D是有限表示的，且L也是有限表示的.又因为

是正合的.所以存在η：L→B，使得β=ρη.于是存在同态θ：D→A，使得α=θγ.因此A是Ding f-投射模. 故由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于纯子模封闭.

由文献[11]知，如果每个有限生成无挠右R-模是有限表示的，则R是右Π-凝聚环.由文献[5]知，如果δ_M：M→M^**是单同态，则左R-模M是无挠模.本文中，我们用Dpd_RM表示左R-模M的Ding投射维数.若存在最小的非负整数n，使得M有长度为n的Ding投射分解，则记Dpd_RM≤n；若n不存在，则记Dpd_RM=∞.我们用LDPD(R)表示R的左整体Ding投射维数，即

定理2   设R是右Π-凝聚环，且LDPD(R)≤n.若存在正合序列

其中F_i是f-投射模，则M是Ding f-投射模左R-模.

证  设

是正合序列.对任意有限生成左R-模N和同态f：N M，由文献[12]的推论3.12知，每个有限生成左R-模有f-投射预包络.因此，我们可以构造复形

其中每个Pⁱ是有限生成投射的，使得对任意f-投射左R-模Q，上述序列是Hom_R(－，Q)正合的.因为D是有限表示的，所以存在正合序列

其中P_i是有限生成投射的.则C是有限生成Ding投射左R-模.我们可以得到图 4.

我们也可以得到图 5.

由同伦引理知，f－αh可以通过ι：N→P⁰分解.即存在β：P⁰→M，使得f=αh+βι.因此f可以通过有限生成Ding投射模左R-模C⊕P⁰分解.故M是Ding f-投射模.