Analysis of a Kind of Epidemic Model with Vaccination Rate Related to Media Coverage

本节研究系统(2)在条件(1)下解的非负有界性，记

则由下面的定理可知Γ为系统(2)的正向不变集.

定理1  系统(2)在条件(1)下的解(S(t)，I(t)，M(t))始终非负且有界.

证  首先证明解的非负性.由系统(2)的第二个方程得

由I(0)≥0得对任意的t>0，有I(t)≥0.令t₁=inf{t：t>0，S(t)=0}，由系统(2)的第一个方程得

则存在充分小的ε₁>0，在(t₁-ε₁，t₁)上有S(t) < 0，这与(0，t₁)上有S(t)>0相矛盾，因此对任意的t>0，S(t)>0.同理可证对任意的t>0，有M(t)>0.

下面证明解的有界性.令N=S+I，则根据解的非负性有

及

由比较定理得

由系统(2)的第三个方程得

因此

证毕.

系统(2)始终存在一个无病平衡点E₀=$\left(\frac{\mathit{\Lambda}}{p_{0}+d}, 0,0\right)$.计算基本再生数可得

定理2  当R₀>1时，系统(2)存在唯一地方病平衡点E^*=(S^*，I^*，M^*)，其中$S^{*}=\frac{d+r}{\beta}$，M^*=$\frac{\alpha_{0} I^{*}}{\lambda_{0}}$.

证  令系统(2)的右端等于0，若I≠0，计算得$S=\frac{d+r}{\beta}$，$M=\frac{\alpha_{0} I^{*}}{\lambda_{0}}$，整理得

令

由于

因此，当R₀>1时，g(0)>0，方程(3)存在唯一正实根，则系统(2)存在唯一的地方病平衡点E^*=(S^*，I^*，M^*).证毕.

定理3  对一切τ≥0，当R₀ < 1时，系统(2)的无病平衡点E₀局部渐近稳定，当R₀>1时不稳定.

证  系统(2)关于无病平衡点E₀的线性化矩阵为

可得系统(2)关于无病平衡点E₀的特征方程

因此无病平衡点的稳定性与时滞τ无关，当且仅当R₀ < 1时，所有特征值有负实部，由Routh-Hurwitz判据得，R₀ < 1时，E₀局部渐近稳定，R₀>1时，E₀不稳定.证毕.

定理4  对一切τ≥0，当R₀ < 1时，系统(2)的无病平衡点E₀在Γ内全局渐近稳定.

证  构造Lyapunov函数$V=\frac{1}{2} I^{2}$，V沿着系统(2)轨线的全导数为

当R₀≤1时，$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} \leqslant 0$，且$\left\{x \in \mathit{\Gamma} | \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}=0\right\}=\left\{E_{0}\right\}$，由LaSalle不变集原理得，无病平衡点E₀在Γ内全局渐近稳定.证毕.

下面研究地方病平衡点的局部稳定性，将系统(2)关于E^*线性化得

其中Y(t)=(S，I，M)^T，

系统(2)关于E^*的特征方程为

其中

令

定理5  τ=0时，若1 < R₀ < R^*，则系统(2)的地方病平衡点E^*局部渐近稳定.

证  τ=0时，系统(2)关于E^*的特征方程为

显然，B_i>0(i=1，2，3，4).由于$I^{*}=\frac{\lambda_{0}}{\alpha_{0}} M^{*}$，$\left(\frac{p(M)}{M}\right)^{\prime} \leqslant 0$，且由方程(3)得

因此

若$\left(\lambda_{0}+\frac{\mathit{\Lambda} }{S^{*}}\right)$$\left(\frac{\mathit{\Lambda}}{S^{*}} \mathit{\lambda} _{0}\right)$$-\beta \mathit{\Lambda} \lambda_{0}+(d+r)\left(p_{0}+d\right) \lambda_{0}>0$，即R₀ < R^*时，有B₁B₂-(B₃+B₄)>0，由Routh-Hurwitz判据得，地方病平衡点E^*局部渐近稳定.证毕.

接下来研究τ=0时，固定除β外的其他参数，系统(2)以β为参数产生Hopf分支的情况.假设

定理6  τ=0时，设β^*为方程B₁B₂-(B₃+B₄)=0的根.若假设(L₁)成立，则β < β^*时，E^*局部渐近稳定，β>β^*时，E^*变为不稳定，且系统(2)在β=β^*处产生Hopf分支.

证  设B₁B₂-(B₃+B₄)=0时，β=β^*，此时方程(6)变为

因此，方程(6)必有一对纯虚根$\pm \sqrt{B_{2}}$i，下面讨论系统(2)在β=β^*处产生Hopf分支的横截条件.将方程(6)关于β求导得

将纯虚根$\sqrt{B_{2}}$i代入得

当假设(L₁)成立时，$\frac{\mathrm{d}({Re}(\mathit{\Lambda}))}{\mathrm{d} \beta}>0$，则β < β^*时，E^*局部渐近稳定，β>β^*时，E^*不稳定，且系统(L₁)在β=β^*处产生Hopf分支.

接下来讨论B₁B₂-(B₃+B₄)>0时，时滞τ对系统(2)的影响.若τ>0，地方病平衡点E^*稳定性改变的必要条件是方程(4)存在纯虚根.假设方程(4)存在纯虚根iθ(θ>0).由方程(4)得

整理得

其中

令l=θ²，则方程(8)变为

接下来讨论方程(9)存在正实根的条件.令

根据文献[10]，有如下结论

引理1^[10]1)若ω₃ < 0，则方程(9)至少存在一个正根；

2) 若ω₃>0，Δ＞0，则方程(9)存在正根当且仅当z₁>0且h(z₁) < 0；

3) 若ω₃>0，Δ＜0，则方程(9)存在正根当且仅当存在z^*∈{z₁，z₂，z₃}使得z^*>0且h(z^*)≤0.

假设引理1中保证方程(9)存在正根的任意一个条件成立，不妨设l_k，k=1，…，k₀(1≤k₀≤3)为方程(9)的正根，则方程(8)存在相应的正根$\theta_{k}=\sqrt{l_{k}}$.令

定义

令Λ(τ)=ξ(τ)+iθ(τ)为方程(4)的根，满足ξ(τ^*)=0，θ(τ^*)=θ₀.假设

定理7  τ>0时，若B₁B₂-(B₃+B₄)>0，且条件(L₂)成立，则地方病平衡点E^*对于τ < τ^*局部渐近稳定，对于τ>τ^*变为不稳定，且系统(2)在τ=τ^*处产生Hopf分支.

证  根据以上讨论，现在研究系统(2)在τ=τ^*处产生Hopf分支的横截条件.将方程(4)关于时滞τ求导得

利用式(7)可得

当条件(L₂)成立时，$\frac{\mathrm{d}(\operatorname{Re}(\lambda))}{\mathrm{d} \tau}>0$，因此地方病平衡点E^*对于τ < τ^*局部渐近稳定，对于τ>τ^*变为不稳定，且系统(2)在τ=τ^*处产生Hopf分支.证毕.

研究了一类接种率受媒体报道影响的传染病模型，且考虑了媒体对传染病的报道存在延迟的情况.讨论了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性，发现无病平衡点的全局稳定性不受时滞影响，当R₀ < 1时，无病平衡点全局渐近稳定.而对于地方病平衡点，一方面，若时滞不存在，即媒体根据当前的疾病流行情况进行报道时，系统会以接触率为参数产生Hopf分支；另一方面，若存在时滞，随着时滞的增加，在地方病平衡点附近也会产生周期解.时滞越长，周期解的振荡幅度越大，这意味着传染病越难控制.因此，媒体对传染病病情的及时报道将有利于对传染病的控制.