On Dynamics of an SEIR Epidemic Model with Transport-Related Infection between Two Heterogeneous Cities

若没有个体的迁移，即α₁=α₂=0，则模型(1)降维成简单的SEIR模型：

由问题的实际含义，仅在区域

中讨论系统(3)解的性态，容易验证D是系统(3)的可行域.易得系统(3)存在唯一无病平衡点

利用下一代矩阵理论^[7]，可以得到基本再生数

当R_0i>1时，系统(3)存在唯一的地方病平衡点P_*i=(S_*i，E_*i，I_*i，R_*i)，其中，

其中Λ=b_ic_i(R_0i-1)(b_i+e_i)+R_0ib_i[b_i(b_i+d_i+e_i)+c_id_i]+b_i²c_i，i=1，2.

根据文献[6]中定理3.1和定理3.2的证明过程可得如下结论：

定理1  当R_0i < 1时，系统(3)的无病平衡点P_0i局部渐近稳定；当R_0i>1时，系统(3)的无病平衡点P_0i不稳定，但是系统(3)的地方病平衡点P_*i局部渐近稳定.

定理2  在初始条件(2)下，系统(1)的解始终非负，并且是一致最终有界的.

证  易证系统(1)的满足初值条件的解(S₁，E₁，I₁，R₁，S₂，E₂，I₂，R₂)始终非负.根据系统(1)可得

令y(t)=N₁(t)+N₂(t)，则

从而$\mathop {\lim \sup }\limits_{t \to \infty } y(t)\frac{{{a_1} + {a_2}}}{{\min \left\{ {{b_1}, {b_2}} \right\}}}$且$y(t) \leqslant \max \left\{\frac{a_{1}+a_{2}}{\min \left\{b_{1}, b_{2}\right\}}, y(0)\right\}$，因此系统(1)的满足初值条件的解(S₁，E₁，I₁，R₁，S₂，E₂，I₂，R₂)是一致最终有界的.证毕.

下面讨论平衡点的存在性及稳定性.

系统(1)始终存在一个无病平衡点P⁰=(S₁⁰，0，0，0，S₂⁰，0，0，0)，其中

根据下一代矩阵理论可得系统(1)的基本再生数：

其中Δ=(m₃m₄n₁R₀₁-m₁m₂n₂R₀₂+α₁α₂ϕ₁₂)²+4α₁α₂(m₄n₁R₀₁+ϕ₁₃)(m₂n₂R₀₂+ϕ₁₄)>0，定义

如果两城市间没有个体迁移，则

对城市1，R₀=R₀₁；对城市2，R₀=R₀₂.

如果在迁移途中没有路途感染，即γ₁=γ₂=0，则$\hat{\phi}_{11}$=β₁c₂+β₂c₁，$\hat{\phi}_{12}$=β₁c₂-β₂c₁，$\hat{\phi}_{13}$=β₁c₂m₁，$\hat{\phi}_{14}$=β₂c₁m₃，显然

即路途感染使得基本再生数增大，从而加剧了传染病的传播.

定理3  当R₀ < 1时，系统(1)的无病平衡点P⁰全局渐近稳定；当R₀>1时，系统(1)的无病平衡点P⁰不稳定.

证  根据文献[7]中定理2，很容易验证系统(1)满足假设(A₁)-(A₅)，从而当R₀ < 1时，无病平衡点P⁰是局部渐近稳定的；当R₀> 1时，无病平衡点P⁰是不稳定的.下证P⁰的全局吸引性.由于

考虑辅助的线性系统

系统(6)有唯一的平衡点E^*=(u₁^*，u₂^*)，其中

平衡点E^*处对应的特征方程的所有根均具有负实部，因此E^*是局部渐近稳定的.由于系统(6)是一个合作的不可约系统，则$\lim\limits_{t \rightarrow \infty}\left(u_{1}(t), u_{2}(t)\right)=\left(S_{1}^{0}, S_{2}^{0}\right)$.

令u₁(0)≥S₁(0)，u₂(0)≥S₂(0)，由比较定理可得，对任意足够小的ε₁> 0，存在t₀> 0，当t>t₀时，

所以对t>t₀，可以得到E₁，I₁，R₁，E₂，I₂，R₂的方程

显然，系统(7)的辅助线性系统有一个平衡点E₀=(0，0，0，0，0，0).且辅助线性系统右边的系数矩阵为J=F-V，根据文献[7]中定理2证明过程，如果R₀ < 1，则s(J)=s(F-V) < 0，所以矩阵J的所有特征值具有负实部，因此系统(7)的辅助线性系统的每个解均趋于零.由比较定理可得：E_i(t)0，I_i(t)0，R_i(t)0，t→∞，所以，系统(1)的极限系统为

系统(8)有一个正平衡点E₁=(S₁⁰，S₂⁰)，由系统(6)的分析可知E₁是全局渐近稳定的，因此根据渐近自治系统理论^[8]，当R₀ < 1时，系统(1)的无病平衡点P⁰是全局渐近稳定的.

定理4  当R₀>1时，系统(1)至少存在一个地方病平衡点P^*=(S₁^*，E₁^*，I₁^*，R₁^*，S₂^*，E₂^*，I₂^*，R₂^*)，且存在一个常数ε> 0，使得系统(1)的每个满足初值条件S_i(0)≥0，E_i(0)≥0，I_i(0)≥0，R_i(0)≥0且满足I₁(0)+I₂(0)> 0的解(S₁(t)，E₁(t)，I₁(t)，R₁(t)，S₂(t)，E₂(t)，I₂(t)，R₂(t))满足

证  由系统(1)可知，

则$\liminf\limits_{t \rightarrow \infty} S_{1}(t) \geqslant \frac{a_{1}}{2\left(\beta_{1}+b_{1}+\alpha_{1}\right)}$，同理可得$\liminf\limits_{t \rightarrow \infty}$S₂(t)≥$\frac{a_{2}}{2\left(\beta_{2}+b_{2}+\alpha_{2}\right)}$.根据系统(1)可知，如果I_i(t)是持久的，则E_i(t)和R_i(t)也是持久的，从而只需证明$\liminf\limits_{t \rightarrow \infty}$I_i(t)≥ε，i=1，2.令

则可以证明传染病关于(X₀，∂X₀)是一致持久的.

显然X和X₀都是系统(1)的正不变集，且∂X₀在X上是相对闭的，由定理2可知，系统(1)是点耗散的.定义

根据文献[9]，容易证明M_∂={(S₁，E₁，0，R₁，S₂，E₂，0，R₂)|S_i≥0，E_i≥0，R_i≥0，i=1，2}.

定义系统(1)从初值ϕ(0)=(S₁(0)，E₁(0)，I₁(0)，R₁(0)，S₂(0)，E₂(0)，I₂(0)R₂(0))∈X开始的解的ω极限集为ω(S₁(0)，E₁(0)，I₁(0)，R₁(0)，S₂(0)，E₂(0)，I₂(0)，R₂(0))，则有

对任意ϕ(0)∈M_∂，I_i(t，ϕ)=0，∀t≥0.则对系统(1)，$\lim\limits_{t \rightarrow \infty} E_{i}(t, \phi)=0$，$\lim\limits_{t \rightarrow \infty} R_{i}(t, \phi)=0$.根据渐近自治半流理论^[8]，可得S_i(t)满足系统(8)，由系统(8)的分析可知$\lim\limits_{t \rightarrow \infty} S_{i}(t, \phi)=S_{i}^{0}$，所以Ω={P⁰}.显然P⁰是Ω的一个孤立覆盖，且由于在M_∂上不存在连接P⁰到它自身的解，所以是非周期的，下证

这里W^s(P⁰)表示P⁰的稳定流形.假设(9)式不成立，则系统(1)存在一个满足初值条件的解{(S₁(t)，E₁(t)，I₁(t)，R₁(t)，S₂(t)，E₂(t)，I₂(t)，R₂(t))∈X₀，∀t≥0}，使得

从而对任意小的δ>0，且δ < S_i⁰，存在t₁> 0，使得对所有t>t₁，

因此对t>t₁，根据系统(1)可得

其辅助的线性系统右边的系数矩阵为J_δ，且J_δ=J-δJ₁，其中

由于R₀>1，则s(J)=s(F-V)> 0，取充分小的δ>0，使得当R₀>1时，s(J-δJ₁)>0.因此J_δ有一个具有正特征向量的正特征值s(J_δ)，由比较定理可得

与(10)式矛盾，故W^s(P⁰)∩X₀=∅.所以系统(1)关于(X₀，∂X₀)是一致持久的^[10].根据文献[11]，系统(1)至少存在一个正平衡点P^*=(S₁^*，E₁^*，I₁^*，R₁^*，S₂^*，E₂^*，I₂^*，R₂^*).定理得证.

本文基于文献[6]研究了两异质城市间具有路途感染的SEIR传染病模型.证明了当R₀ < 1时，两城市间的传染病不能入侵人群，当R₀>1时，存在地方病平衡点且系统是一致持久的.