Asymptotic Expansion of Extremes for Logarithmic General Error Distribution

设{X_n，n≥1}为一列独立同分布于对数广义误差分布(记作F_v~logGED(v))的随机变量，令M_n=$\max\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} X_{k}$表示序列{X_n，n≥1}的最大值.文献[1]给出logGED的概率密度函数定义如下：

其中：$\lambda=\sqrt{\frac{2^{-\frac{2}{v}} \mathit{\Gamma}\left(\frac{1}{v}\right)}{\mathit{\Gamma}\left(\frac{3}{v}\right)}}$，v为形态参数，Γ(·)表示伽玛函数.同时指出，当v=1时对数广义误差分布为对数拉普拉斯分布，当v=2时为对数正态分布.

文献[1]研究了M_n的渐近分布.在此基础上，文献[2]利用M_n密度极值分布的渐近展开表达式得到其矩展开.接着，文献[3]在幂赋范条件下研究logGED的分布函数极值高阶展开.其他给定分布序列的极值分布函数的渐近性质可以参考文献[4-7].

文献[1]证明了以下结果成立：当v>1且x>0时，有极限分布结果

其中，规范常数α_n和β_n满足

同时，文献[1]给出了当x充分大时，logGED(v)在v>1情形下的尾部表达式：

其中$f(t)=\frac{2 t \lambda^{v}}{v(\log t)^{v-1}}$且f′(t)→0，$g(t)=1+\frac{2 \lambda^{v}(v-1)}{v(\log t)^{v}} \rightarrow 1$.

根据文献[8]推导的命题1.1(a)与推论1.7可选择满足以下两个等式的规范常数a_n和b_n，即

与

本文旨在研究服从对数广义误差分布(记作logGED)独立随机变量序列的最大值分布的高阶展开.

定理1  令F_v表示logGED(v)的分布函数且v>1.当x>0时，有

也即

其中：

证  通过分部积分，可得

故(4)式得证.同理可得$r_{v}(x)=\frac{2^{1-\frac{1}{v}} \lambda^{2 v-1}(v-1)}{v \mathit{\Gamma}\left(\frac{1}{v}\right)}$(log x)^1-2vexp$\left(-\frac{(\log x)^{v}}{2 \lambda^{v}}\right)$-s_v(x)，代入(4)式可得到(5)式，其中

综上所述，定理1得证.

定理2  规范常数a_n，b_n分别满足(2)式和(3)式.当n充分大时，对x∈$\mathbb{R}$有

证  由(2)式易知log b_n~$2^{\frac{1}{v}} \lambda(\log n)^{\frac{1}{v}}$，结合(3)式有a_nb_n^-1~$2^{\frac{1}{v}} \lambda v^{-1}(\log n)^{\frac{1}{v}-1} \rightarrow 0$.

利用式子

和

可计算得

和

此结果由(3)式得到.再利用(7)式和等式exp(x)=1+x+$\frac{1}{2} x^{2}$+O(x³)，x→0，可得

结合(2)，(6)和(8)式有

同理可得，

再结合(9)式和(10)式，有

因此，

其中s_v(x)如定理1所示.最后结合(5)式及(9)-(11)式有

从而定理2得证.