Locally Strongly Convex Relative Spheres with Parallel Cubic Simon Forms

相对微分几何是关于仿射空间中超曲面的一种理论，包含等积几何和中心仿射几何为其特例.设x：M→A是从n维连通定向流形M到n+1维仿射空间A的局部强凸浸入.设{Y，y}是x(M)的相对法化. 3-形式C是最重要的几何不变量之一. Simon 3-形式$\widetilde{C}$定义为3-形式C的无迹部分：

其中U，V是M上的向量场，h是由相对法化诱导的黎曼度量，T是Tchebychev向量场.

Simon 3-形式$\widetilde{C}$与相对法化的选择无关. M的Simon 3-形式为0当且仅当M为二次曲面.关于3-形式和Simon 3-形式的基本性质及仿射微分几何的基本内容，可参考文献[1-3].

许多作者对具有平行3-形式(即满足▽^hC=0)的等积仿射超曲面进行了深入研究^[4-6].本文所指的平行均指对于h的Levi-Civita联络▽^h平行.对应于诱导联络等其它联络的平行性，可参考文献[7-9].

最近，文献[10-11]分类了具有平行3-形式的局部强凸中心仿射超曲面.文献[12]给出了具有平行Simon 3-形式的二维非退化中心仿射曲面的分类.文献[13]给出了具有平行Simon 3-形式局部强凸中心仿射超曲面的分类.本文对于相对球，得到以下定理：

定理1  设M是关于给定相对法化的局部强凸相对球，即仿射形状算子S=cid，其中c为常数.设▽^h是诱导黎曼度量h的Levi-Civita联络.如果M的Simon 3-形式是平行的▽^h$\widetilde{C}$=0，那么M具有平行的3-形式▽^hC=0，或者M为二次曲面.

在中心仿射法化的情形下，任何超曲面都是相对球，因此定理1是文献[13]部分结果的推广.本文所使用的方法实际上源于文献[14].

本文约定以下指标的范围：

设h是一个黎曼度量，▽和▽^*是无挠仿射联络.如果三元组{▽，h，▽^*}满足

那么{▽，h，▽^*}称作共轭联络.对于共轭联络{▽，h，▽^*}，可以定义

由(1)式可知，(0，3)-型$\hat{C}=h\circ C$是完全对称的，称作{▽，h，▽^*}的3-形式.利用黎曼度量h可将同态C与3-形式$\hat{C}$等同.

以下关于3-形式的引理多次出现在子流形几何中^{[4, 14]}，因为其具有一般性，所以我们将其总结成共轭联络的一个性质：

引理1^{[4, 14]}  给定共轭联络{▽，h，▽^*}及其诱导的3-形式$\hat{C}$.对于任意p∈M，S_pM表示T_pM上关于度量h的单位球.定义函数f：S_pM→$\mathbb{R}$为

那么存在T_pM的幺正标架场{ e₁，e₂，…，e_n}，使得：

(i) e₁∈S_pM是f在S_pM上达到最大值的点；

(ii) { e₁，e₂，…，e_n}是算子C(e₁)的特征向量，即C(e₁) e_i=λ_i e_i，其中λ₁=f(e₁)=$\mathop {\max }\limits_{v \in {S_p}M} \left( \mathit{\boldsymbol{v}} \right)$，如果记C(e₁) e_i=C_1i^j e_j，则

(iii) λ₁≥2λ_α，对于任意的α∈{2，3，…，n}，如果λ₁=2λ_α，那么f(e_α)=0.

对于给定的局部强凸仿射超曲面M，通过逐点利用引理1，可以定义局部幺正标架场{ e₁，…，e_n}.本文将使用这种特殊选择的标架场.

引理2  设x(M)是具有给定相对法化的局部强凸相对球.如果x(M)的Simon 3-形式$\widetilde C$是平行的▽^h$\widetilde C$=0，那么

其中

因此3-形式C在满足μ=0的M的子集上是平行的.进一步，对于α，β∈{2，…，n}和k∈{1，2，…，n}，有

且

证  如果M是具有平行Simon 3-形式▽^h$\widetilde C$=0的相对球，那么根据文献[15]的性质2.3，可知▽^hT=λid.因此

由μ的定义，很显然(3)式成立.

取(3)式的协变导数，可得

在(7)式中交换l和p，并作差，得到

但是Ricci恒等式蕴含着

其中R_ikl^j是仿射度量h的曲率张量R^h在适当标架场下的系数，即R^h(e_k，e_l) e_i=R_ikl^j e_j.那么从(8)和(9)式，我们有

x(M)具有可积性条件，见文献[15]中的(1.46)式，该等式在适当标架场下可表示为

将(11)式代入(10)式，有

在(12)式中选择i=j=p=1，l=α≥2，且运用(2)式，有

在(13)式中令k=1，得到(4)式.在(13)式中令k=l=α≥2，可得(5)式.最后，在(12)式中令i=j=1，l=α≥2，p=β≥2，α≠β，根据(4)式，可知(6)式成立.

引理3  在引理2的假设下，有下面的结论：

(i) 对于任意α∈{2，…，n}，如果λ_α²-λ₁λ_α+c≠0，则

其中V (λ_α)是C(e₁)关于特征值λ_α的特征空间；

(ii) 对于任意α，β∈{2，…，n}，如果λ_α≠λ_β且λ₁-2λ_α≠0，则

(iii) 如果μ不是常数，则

证  (i)在(12)式中选择p=k=1，i=j=l=α∈{2，…，n}，可得

对于某个α∈{2，…，n}，如果λ_α²-λ₁λ_α+c≠0，则

由此可知

对∀U，V ∈ V (λ_α)，易知

由(17)和(18)式，可得

在(19)式中将V变成- V，可知

将(19)和(20)式作和，得到

利用(17)，(21)式，且考虑h(C(U + V + W)(U + V + W)，U + V + W)的展开式，其中∀U，V，W ∈ V (λ_α)，我们最终可得(14)式.

(ii) 对于任意α，β∈{2，…，n}，如果λ₁-2λ_α≠0且λ_α≠λ_β，那么(6)式蕴含(17)式.

(iii) 如果μ不是常数，根据(5)式有

那么(6)式蕴含

其中α，β，γ∈{2，…，n}，且λ_α≠λ_β.结合(14)，(15)以及(22)式，得知(16)式成立.

定理1的证明  在(3)式中选择合适的指标，我们有

其中α∈{2，…，n}，且k∈{1，2，…，n}.根据(23)式和引理1，可得

类似地计算可得

情形1  μ为常数.

如果μ为常数，那么由(5)式知，λ_α是下列关于y的方程的解：

方程(28)至多有3个实数解，且

但引理1说明λ₁≥2λ_α，α∈{2，…，n}，从而

已经假设dim V (λ₂)=r，则引理3表明

对A∈{r+2，…，n}，a∈{2，…，r+1}，从(6)式可知

由于(λ_a-λ_A)(2λ_A-λ₁)≠0，可得

对于A∈{r+2，…，n}，因为2λ_A-λ₁≠0，从而在(25)式中选择k=1，得到

由(30)，(32)和(33)式，我们得到

因此，在μ为常数的情形下，由(24)，(26)和(34)式得到

如果λ₁=2λ₂，那么(35)式表明

且μ=0.

如果0=λ_n²-λ₁λ_n+c，那么(35)式表明

再次利用(35)式，取(36)式沿e₁的导数，得到

从而μ=0.在这种情形下，由(3)式可知▽^h C=0.

情形2  μ不是常数且没有零点.

在此情形下，(5)式表明

作为(37)和(25)式的推论，我们有

因此

由引理3，有

在(27)式中选择k=α∈{2，…，n}，利用(38)和(39)式，可得

则在点μ≠0处，有

由引理1、引理3以及(41)式，得

且

由(42)和(43)式，我们有

这等价于$\tilde C$=0.