A Stabilized Finite Element Method for the Integro-Differential Equations of Stokes Type

Chao XU; Xin-an TONG

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2020.06.008

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A stabilized finite element semi-discrete scheme based on the local pressure projection has been introduced for the integro-differential equations of Stokes type by the lowest equal-order conforming finite element pairs. Optimal error estimates of the velocity and pressure approximation have been derived. The new scheme has been stabilized on local elements, parameter free, and implemented easily. Finally, a numerical experiment has been carried out to show the effectiveness of the algorithm and the correctness of theoretical analysis.

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本文考虑如下一类Stokes型积分微分方程：

其中Ω⊂${{\mathbb{R}}^{2}}$为有界凸区域，X=(x，y)，${{u}_{t}}\text{=}\frac{\partial u}{\partial t}$，u=(u₁，u₂)表示流体速度，p是压力，f=(f₁，f₂)是体积力密度.

Stokes问题是一类非常重要的流体力学问题，其有限元解法已有大量研究成果，详见文献[1-3]及其参考文献.而对于Stokes型积分微分方程，由于其含有积分项，所以处理起来难度增大.到目前为止，关于该问题的研究成果相对较少^[4-9].其中，文献[4]利用Ritz-Volterra投影研究了一类协调混合元的求解方法，并得到了关于速度和压力逼近的L²模的最优误差估计；文献[5-7]分别研究了Crouzeix-Raviart(CR)型三角形非协调元在正则网格和各向异性网格剖分下的应用，并给出了相应的最优误差估计；文献[8-9]进一步利用高精度技巧得到了一系列关于Bernadi-Raugel元的超收敛估计结果.

不同于上述混合元方法，本文将研究同阶的有限元对(协调的线性P₁元对或双线性Q₁元对)关于方程(1)的求解问题.众所周知，虽然同阶P₁²-P₁和Q₁²-Q₁元对具有节点自由度少、结构简单等优点，但是由于不满足离散的Ladyshenskaya-Babuška-Brezzi(LBB)条件，计算时会出现压力伪震荡现象，所以不能直接用来求解这类问题.为了克服这一难题，需要引入相应的稳定项.本文将使用文献[10-12]中所述的稳定化方法来求解方程(1)，该方法的优点是稳定项定义在局部单元上，且不需要引入额外的稳定化参数，易于编程实现.关于该方法的应用研究还可以参见文献[13-17].随后，本文进行了误差理论分析，并得到了相应的最优误差估计结果.最后本文通过一个算例进行了数值模拟，并且将本文方法和其它常用低阶混合元方法的计算效果进行对比，不仅展示本文所述求解格式的有效性，还弥补了前期研究中算例缺失的不足.

1. 变分问题及其稳定化有限元逼近格式

令

则方程(1)的变分形式为：求(u，p)∈(V，M)，满足

其中$a\left( u, v \right)=\int_{\mathit{\Omega }}{\nabla u\nabla v\text{d}x\text{d}y, b\left( v, p \right)}=\int_{\mathit{\Omega }}{p\nabla v\text{d}x\text{d}y}, \left( f, v \right)=\int_{\mathit{\Omega }}{fv\text{d}x\text{d}y}$.由文献[1]知空间(V，M)满足LBB条件，方程(2)的解存在且唯一.

为简单起见，设J_h是区域Ω中单元最大直径为h的三角形(或四边形)正则剖分簇，即$\overline{\mathit{\Omega }}=\bigcup\limits_{K\in {{J}_{h}}}{K}$.定义有限元空间

其中R₁(K)表示定义在单元K上的P₁元或Q₁元.由于空间对(V_h，M_h)不满足离散的LBB条件，所以我们利用文献[10-11]中的方法，引入相应的稳定项来构造如下稳定化求解格式：

求(u_h，p_h)∈(V_h，M_h)，满足

其中R_hu₀是初值u₀(x)的投影，将在下文(6)式中定义.

其中Π：L²(Ω)→R₀是标准的L²投影算子，满足性质

其中R₀表示单元K上的分片常数.这里及下文中的C均为与h无关的正常数，且取值可以不同.

2. 误差分析

为了得到有限元解(u_h，p_h)的最优误差估计结果，引入如下投影算子：

其中

投影算子(R_h，Q_h)是适定的.

下面我们将对稳定化格式(3)进行误差分析，并得到如下结论：

定理1  设(u，p)和(u_h，p_h)分别为方程(2)和(3)的解，(u，p)∈((H²(Ω))²∩V，H¹(Ω)∩M)，则有误差估计

其中σ(t)=max{1，${{t}^{-\frac{1}{2}}}$}.

证  令

在方程(2)中取(v，q)=(v_h，q_h)，并与(3)式相减，得

利用投影定义(6)式可得

在(10)式中取(v_h，q_h)=(θ，φ)，可得

进而有

对(11)式两端从0到t进行积分，注意到θ(0)=0，可得

再利用Gronwall不等式得

最后结合三角不等式以及文献[11]中引理4.1的结论可得(7)式.

(10) 式两边同时对t求导，得

在(13)式中取(v_h，q_h)=(θ_t，φ_t)，并利用Young不等式，得

将(14)式的两端乘以t，再同时从0到t进行积分，得

进一步利用Gronwall不等式，可得

由三角不等式和文献[11]中的引理4.1可以推出(8)式.

下面对压力p的误差进行分析，得出如下结论：

定理2  在定理1的条件下，有

证  由文献[12]中的定理3.1，可得

再利用三角不等式、定理1和文献[11]中引理4.1的结论可以推出(17)式.

3. 数值实验

为了验证理论分析的正确性，我们给出下列数值实验.数值实验1对本文使用的局部压力投影稳定化方法进行了数值验证，测试收敛阶是否符合理论分析结果；数值实验2给出了几种满足离散的LBB条件的常用低阶混合有限元方法的计算结果，以便于进行对比分析.

在方程(1)中取区域Ω=[0, 1]×[0, 1]，其精确解为

右端项可以通过计算得到.为比较方便，我们统一使用向后欧拉格式进行计算，计算中采用直角三角形或正方形网格剖分.

数值实验1 基于本文稳定化方法，分别利用同阶P₁²-P₁元和Q₁²-Q₁元进行数值求解.在t=1时的计算结果见表 1、表 2.

由表 1、表 2可以看到速度的H¹模和压力的L²模的误差收敛阶均超过1阶，这也进一步验证了理论分析的正确性.

数值实验2 为了便于和本文方法对比，我们同时也给出了几个常用的满足离散的LBB条件的低阶混合元方法求解方程(1)的结果.其中，表 3给出的是协调双线性Q₁元配常数Q₀元对Q₁²-Q₀的计算结果，表 4是非协调旋转Q₁元^[18]配常数Q₀元对Q₁^rot-Q₁^rot-Q₀的计算结果，表 5是文献[5-6]中使用的CR型非协调三角形元配常数P₀元对P₁^nc-P₁^nc-P₀的计算结果，表 6是文献[7]中使用的CR型非协调矩形元配常数Q₀元对MQ₁^rot-Q₀的计算结果.

通过对结果进行分析，我们发现上述方法关于速度u的能量模的收敛阶都能达到最优.相对而言，利用同阶Q₁²-Q₁元对计算压力p时，会有高半阶的超收敛结果.关于数值实验2中所列的单元在求解流体问题时各自所具有的优势可查阅相关文献，本文不再详述.

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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