On Mixed Volume of Orlicz-Aleksandrov Body

文献[1-3]在L_p Brunn-Minkowski理论的基础上探究了Orlicz-Brunn-Minkowski理论，建立了Orlicz-Brunn-Minkowski不等式与Orlicz-Minkowski不等式，并在其基础上衍生了一系列结果^[4-9]，关于凸几何方面的其他信息可参见文献[10-15].

欧氏空间$\mathbb{R}$ⁿ中的凸体之集记为$\mathscr{K}$ⁿ，$\mathscr{K}$_oⁿ={K∈$\mathscr{K}$ⁿ：o∈int K}.用C⁺表示定义在单位球面S^n-1上连续的正值函数族，$\mathscr{A}$表示[0，+∞)上非负的严格递增凸函数族.

设K∈$\mathscr{K}$ⁿ的支撑函数为h_K(u)=max{x·u：x∈K}，u∈S^n-1.n维体积为V(K)=$\frac{1}{n} \int_{S^{n-1}} h_{K}(u) \mathrm{d} S(K, u)$，dS(K，u)表示K在u方向上的面积微元.

设φ∈$\mathscr{A}$，K，L∈$\mathscr{K}$_oⁿ，α≥0，β≥0(α，β不同时为0).K，L的Orlicz组合^{[4, 7]}α_·φK+_φβ_·φL∈$\mathscr{K}$_oⁿ由h_{α·φK+φβ·φL}(u)=inf$\left\{\lambda>0: \alpha \varphi\left(\frac{h_{K}(u)}{\lambda}\right)+\beta \varphi\left(\frac{h_{L}(u)}{\lambda}\right) \leqslant \varphi(1)\right\}$确定.

由Orlicz组合的定义知

文献[8]研究了φ∈$\mathscr{A}$，K₁，…，K_n，L∈$\mathscr{K}$_oⁿ的Orlicz多元混合体积V_φ(K₁，…，K_n，L)，其定义为

当φ(x)=x时，V_φ(K₁，…，K_n，L)=V(K₁，…，K_n)=$\frac{1}{n} \int_{S^{n-1}}$h_Kn(u)dS_i(K₁，…，K_n-1，u)；当K₁=$ \cdots $=K_n-i-1=K，K_n-i=…=K_n-1=B，φ(x)=x时，V_φ(K₁，…，K_n，L)=W_i(K，L)=$\frac{1}{n} \int_{S^{n-1}}$h_L(u)dS_i(K，u).有如下Minkowski不等式^[10]：

文献[8]建立了如下所示的Orlicz-Aleksandrov-Fenchel不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式：

Orlicz-Aleksandrov-Fenchel不等式  若φ∈$\mathscr{A}$，K₁，…，K_n，L∈$\mathscr{K}$_oⁿ，1≤r≤n，则

Orlicz-Brunn-Minkowski不等式  若φ∈$\mathscr{A}$，K₁，…，K_n，L∈$\mathscr{K}$_oⁿ，且φ(1)=1，则对∀ε>o有

设f(u)，g(u)∈C⁺(S^n-1)，φ∈$\mathscr{A}$，f，g的Orlicz组合α_·φf+_φβ_·φg为

设函数f(u)∈C⁺(S^n-1)，与f(u)相关的Aleksandrov体^[11]为A(f)=max{K∈K_oⁿ：h_K(u)≤f(u)}.

文献[9]研究了关于函数f(u)，g(u)∈C⁺(S^n-1)，φ∈$\mathscr{A}$的Orlicz-Aleksandrov体A(α_·φf+_φβ_·φg)，其支持函数h_A(α·φf(u)+_φβ_·φg(u))=max{Q∈$\mathscr{K}$_oⁿ：h_Q(u)≤α_·φf(u)+_φβ_·φg(u)}.

由Orlicz-Aleksandrov体的定义及公式(1)知

当φ=t^p(p≥1)时的Orlicz-Aleksandrov体为p-Aleksandrov体^{[10, 12]}，即

本文在文献[8-9]的启发下，探索了关于Orlicz-Aleksandrov体的Orlicz多元混合体积V_φ(K₁，…，K_n-1，f，g)，其定义为

同时建立了如下不等式：

定理1  若f(u)，g(u)∈C⁺(S^n-1)，φ∈$\mathscr{A}$，K_i∈$\mathscr{K}$_oⁿ，1≤r≤n，则

定理2  若f(u)，g(u)∈C⁺(S^n-1)，φ∈$\mathscr{A}$，K_i∈$\mathscr{K}$_oⁿ，1≤r ≤n-1，则

引理1^[10]  若f(u)，g(u)∈C⁺(S^n-1)，则A(f+_φ，εg)→A(f).

引理2^[9]  若f(u)∈C⁺(S^n-1)，A(f)为与f(u)相关的Aleksandrov体，则

引理3  若f，g∈C⁺(S^n-1)，φ∈$\mathscr{A}$，则

证  令h_A(f+φ ε_·φg)(u)=h_ε(u)，h_A(f)(u)=h_f(u).由引理1、引理2、公式(3)及凸函数的性质知

其中x=φ^-1$\left(\varphi(1)-\varepsilon \varphi\left(\frac{g(u)}{h_{\varepsilon}(u)}\right)\right)$.

引理4  若f(u)，g(u)∈C⁺(S^n-1)，φ∈$\mathscr{A}$，K_i∈$\mathscr{K}$_oⁿ(1≤i≤n)，则

证  由引理2、引理3、公式(4)，有

若K₁=$\cdots$=K_n-i-1=A(f)，K_n-i=$\cdots$=K_n-1=B，则有

引理5^[11]  若K_i∈$\mathscr{K}$ⁿ(1≤i ≤n)，则V(K₁，…，K_n)≥$\prod\limits_{r=1}^{m} V\left(K_{r}[m], K_{m+1}, \cdots, K_{n}\right)^{\frac{1}{m}}$.特别地，当m=n时，有V(K₁，…，K_n) ≥$\prod\limits_{r=1}^{n} V\left(K_{i}\right)^{\frac{1}{n}}$.

定理1的证明  根据引理2、引理4、Jensen不等式^[16]，可得

结合引理2与引理5可得：

在定理1中令m=n，可得

推论1  若f(u)，g(u)∈C⁺(S^n-1)，K₁，…，K_n-1 ∈$\mathscr{K}$_oⁿ，则

令K₁=$ \cdots $=K_n-i-1=A(f)，K_n-i=$ \cdots $=K_n-1=B，由不等式(2)与不等式(5)可得：

推论2  若f(u)，g(u)∈C⁺(S^n-1)，φ∈$\mathscr{A}$，i=0，2，…，n-1，则

在推论2中取i=0，可得：

推论3  若f(u)，g(u)∈C⁺(S^n-1)，则V_φ(f，g)≥V(f)φ $\varphi\left(\left(\frac{V(g)}{V(f)}\right)^{\frac{1}{n}}\right)$

定理2的证明  令Δ=V_φ(K₁，…，K_n-1，f+_φg，f)+V_φ(K₁，…，K_n-1，f+_φg，g)，由公式(3)与引理4可得

由不等式(5)可得

将(6)式与(7)式代入Δ中即得证定理2.

若取K₁=$ \cdots $=K_n-i-1=A(f)，K_n-i=$ \cdots $=K_n-1=B，代入定理2可得：

推论4  若f(u)，g(u)∈C⁺(S^n-1)，φ∈$\mathscr{A}$，i=0，2，…，n-1，则

在推论4中令i=0，得：

推论5^[9]  若f(u)，g(u)∈C⁺(S^n-1)，则φ$\left(\left(\frac{V(f)}{V\left(f+_{\varphi} g\right)}\right)^{\frac{1}{n}}\right)+\varphi\left(\left(\frac{V(g)}{V\left(f+_{\varphi} g\right)}\right)^{\frac{1}{n}}\right) \leqslant \varphi(1)$.