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本文研究了如下环境污染下的具有非线性捕获的捕食-食饵系统的稳定性和最优税收：
其中：x1, x2分别代表两个种群在t时刻的种群密度； r1>0表示x1种群的内禀增长率, r2>0表示x2种群的自然死亡率； L表示x1种群的环境容纳量； q为捕食者x2种群的可捕系数； E≥0表示捕食者x2种群的捕捞努力量； α, β, a, b均为正常数； γ1x13, γ2x22分别表示外界环境污染对x1, x2种群的影响； τ>0为税收； p表示单位资源x2的出售价格； c表示x2的捕获成本；
$ {\alpha _0}E\left( {\frac{{(p - \tau )q{x_2}}}{{aE + b{x_2}}} - c} \right) $ 为收获者的纯经济收入.众所周知, 自然资源并非取之不尽用之不竭的, 再加上环境污染对生物种群的影响, 很多生物资源濒临灭绝, 如何确保自然资源可持续利用, 成为学者越来越关注的问题.文献[1]提出了如下具有毒素和捕获的捕食食饵系统：
文献[2]注意到上述系统中的捕获项E是常数, 不太合理, 于是引入了税收变量, 建立了如下模型：
探讨了该系统的局部稳定性、全局稳定性和最优税收等动力学行为.但是近年来随着自然资源的过度开发, 学者们对具有捕获的生态系统动力学行为展开了深入研究[3-9].受文献[3-5]启发提出了系统(1)并拟研究系统的稳定性和最优税收策略问题.
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系统(1)存在4个平衡点P0=(0, 0, 0), P1=(
$ \widetilde x $ 1, 0, 0), P2=(x1, x2, 0)和P3=(x1*, x2*, E*), 其中P0和P1是显然的, 下面主要考虑P2和P3存在的充分性条件.定理 1 若r2 < x1成立, 则平衡点P2=(x1, x2, 0)存在.
证 平衡点P2=(x1, x2, 0)满足下面的方程组：
那么可得
其中
易知方程(4)两根和积都为负, 所以必有一正根x1, 从而
$ {\overline x _2} = \frac{{{{\overline x }_1} - {r_2}}}{{{\gamma _2}}} $ , 当定理1中的条件满足时, x1>0, x2>0, 平衡点P2=(x1, x2, 0)存在.定理 2 假设
成立, 则正平衡点P3=(x1*, x2*, E*)存在, 其中
$ A = \frac{{(a{r_2} + q)[(p - \tau )q - bc] + abc{r_2}}}{{\alpha \beta [(p - \tau )q - bc] + abc\beta }} $ .证 正平衡点满足方程组
所以可解得
显然当定理2中的条件满足时, x1*>0, x2*>0, E*>0, 则P3=(x1*, x2*, E*)是系统(1)的唯一正平衡点.
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定理 3
(H1) P0=(0, 0, 0)不稳定；
(H2)当r2>β
$ \widetilde x $ 1时, P1=($ \widetilde x $ 1, 0, 0)局部渐近稳定；(H3)当r2 < βx1和τ>p-
$ \frac{{bc}}{q} $ 时, P2=(x1, x2, 0)局部渐近稳定；(H4)当
$ q < \frac{{{\gamma _2}x_2^*{{(a{E^*} + bx_2^*)}^2}}}{{{E^*}bx_2^*}} $ 和(5)式成立时, P3=(x1*, x2*, E*)局部渐近稳定.证 系统(1)的雅克比矩阵为
(Ⅰ) 平衡点P0=(0, 0, 0)的特征方程为(λ-r1)(λ+r2+qE)(λ+α0c)=0, 因此P0=(0, 0, 0)不稳定.
(Ⅱ) 平衡点P1=(
$ \widetilde x $ 1, 0, 0)的特征方程为$ \left( {\lambda + \frac{{{r_1}{{\widetilde x}_1}}}{L} + 2{\gamma _1}\widetilde x_1^2} \right)(\lambda + {r_2} - \beta {\widetilde x_1})(\lambda + {\alpha _0}c) = 0 $ , 当r2>β$ \widetilde x $ 1时, 特征值都为负, 因此P1=($ \widetilde x $ 1, 0, 0)局部渐近稳定.(Ⅲ) 平衡点P2=(x1, x2, 0)的特征方程为
$ \left( {\lambda - {\alpha _0}\left[ {\frac{{(p - \tau )q}}{b} - c} \right]} \right) $ (λ2+ω1λ+ω2)=0, 其中当r2 < x1和τ>p-
$ \frac{{bc}}{q} $ 成立时, 其特征值均为负, 因此P2=(x1, x2, 0)是局部稳定性的.(Ⅳ) 系统(1)在平衡点P3=(x1*, x2*, E*)处的雅克比矩阵为
其特征方程为
其中
当系统(1)的正平衡点存在且
$ q < \frac{{{\gamma _2}x_2^*{{(a{E^*} + bx_2^*)}^2}}}{{{E^*}bx_2^*}} $ 即A* < 0时, 有ω1>0, ω3>0,即ω1ω2>ω3, 由Routh-Hurwitz判别法可知方程(8)的根均有负实部, 所以在条件A* < 0和(5)式(即正平衡点存在条件)成立下, 正平衡点是局部渐近稳定的.
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定理 4 若正平衡点P3=(x1*, x2*, E*)存在, 条件
$ aE + b{x_2} > \frac{{qb{E^*}}}{{{\gamma _2}(a{E^*} + bx_2^*)}} $ 成立时, 则平衡点P3是全局渐近稳定的.证 构造如下的Lyapunov函数：
则
令
$ {\eta _1} = \frac{\alpha }{\beta }, {\eta _2} = \frac{{\alpha bx_2^*}}{{\beta {\alpha _0}(p - \tau )a{E^*}}}, $ 则当
$ aE + b{x_2} > \frac{{qb{E^*}}}{{{\gamma _2}(a{E^*} + bx_2^*)}} $ 时,$ \frac{{{\rm{d}}V}}{{{\rm{d}}t}} < 0 $ , 因此, 正平衡点P3=(x1*, x2*, E*)是全局渐近稳定的.
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人类对资源需求的不断增加与自然资源的自然供给的相对有限性之间的矛盾日显突出.最优税收政策就是通过调节税收实现资源的人类需求与自然供给之间的平衡, 在保证经济稳步发展的同时, 又能促进资源节约和环境保护, 这个目标值可表示为：
其中δ>0表示贴现率, 利用Pontryagin最大值原理可以找到最优税收水平τ, 使得J在满足方程(3)和控制约束条件τmin < τ < τmax时取得最大值.此控制问题顶峰哈密顿函数为
其中λi(t), (i=1, 2, 3)是伴随变量.由于H的最大值在区间τmin < τ < τmax上取得, 所以
可得
根据Pontryagin最大值原理有
由λ3(t)=0和(12)式可得
把λ2的值代入(10)式并在正平衡点P3=(x1*, x2*, E*)处整理可得：
其中
解方程(14)可得
当t→0, K1=0时, 影子价格λ1eδt是有界的.
同理, 由(15)式和(11)式可得
其中
由(13)和(16)式有
把正平衡点P3=(x1*, x2*, E*)代入(18)式得到一个关于τ的方程, 令τδ为方程的解, 然后把τ=τδ代入x1*, x2*, E*得最优解(x1δ, x2δ, Eδ)和最优税收
$ {\tau _\delta } = p - \frac{{c(a{E_\delta } + b{x_{2\delta }})}}{{q{x_{2\delta }}}} $ .
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定理2和定理3表明税收、捕获和环境污染对种群的稳定性有着重要的影响, 只有保证
$ \tau < p - \frac{{cb}}{q}, L > A, {\gamma _1} < \frac{{\left( {L - A} \right){r_1}}}{{L{A^2}}}, q < \frac{{{\gamma _2}x_2^*{{(a{E^*} + bx_2^*)}^2}}}{{{E^*}bx_2^*}} $ , 才能使系统正平衡点局部渐近稳定, 这说明人类在改造世界的同时, 也要注意保护环境, 防止过度开采, 为此我们也给出了最优的税收政策, 为我们开发资源, 保证资源的可持续发展以及保护环境提供了重要的理论依据.由文章第4部分的结论可知, 通过最优税收的控制, 既可以保证市场的正常秩序, 保证经济的增长, 又可以确保自然资源的可持续利用.
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