On Ranking of Positive Reciprocal Judgment Matrix Not Satisfied with Priority Transfer

定义1^[12]  对正互反矩阵(a_ij)_n×n：如果a_ij>1，则对所有的k有a_ik≥a_jk；如果a_ij=1，则或者对所有的k有a_ik≥a_jk，或者对所有的k有a_ik≤a_jk.则称(a_ij)_n×n为序传递的

正互反判断矩阵的完全一致性是一个理想的指标，往往很难达到，在两两比较的过程中，由于不同决策者对不同元素的反射心理不同，不同的元素特点不同，序传递条件有时也难以满足.不满足序传递的判断矩阵是客观存在的.

例1^[1]  在一项以飞行员为对象的实验中，要求飞行员在“火焰”、“炽热的金属物”和“跌落”三者之间进行两两比较选择.一般的选择结果是：“火焰”与“炽热的金属物”比较，排斥“炽热的金属物”；“炽热的金属物”与“跌落”比较，排斥“跌落”；“火焰”和“跌落”比较，排斥“火焰”.对这个比较结果的解释是：飞行员惧怕热物体的反射心理要强于对火焰的惧怕；飞行员习惯上对于平稳、安全感的要求较强，因此在“炽热的金属物”与“跌落”的比较选择中排斥“跌落”；“火焰”和“跌落”的比较选择中排斥“火焰”，这并非不合理.

例1中两两比较得出的判断矩阵不满足序传递.

例2  在篮球、足球或排球等球赛的比赛预测中，有时候会出现“i队胜j队，j队胜k队，k队胜i队”的预测结果.这样的预测结果表达成两两比较得出的判断矩阵不满足序传递.

根据判断矩阵序传递的定义，很显然不满足序传递的矩阵与一致性的含义相左，偏离一致性大，因此没必要进行一致性检验.加上一致性指标的确定缺乏理论依据，偏离一致性非常大的矩阵却可能通过一致性检验，比如文献[13]的例2，在正互反判断矩阵中有“方案A₅比方案A₂极端重要，方案A₂比方案A₁极端重要，方案A₁比方案A₅稍微重要”，这很显然是矛盾的，但却通过一致性检验.

若正互反判断矩阵A=(a_ij)_n×n是完全一致的，即${a_{ij}} = \frac{{{a_{ik}}}}{{{a_{jk}}}}\left({i, j, k = 1, 2, \ldots, n} \right)$，显然有特征根问题Aω=nω，n为最大特征根，其他特征根为0，最大特征根对应的特征向量ω=(w₁，w₂，…，w_n)^T为排序权重，且$\mathit{\boldsymbol{A}} = {\left({\frac{{{w_i}}}{{{w_j}}}} \right)_{n \times n}}$，当矩阵A=(a_ij)_n×n受小扰动时排序权重影响较小^[12].因此判断矩阵满足完全一致性或者偏离一致性较小时，用最大特征根对应的特征向量归一化后作为排序向量是合理的.层次分析法中需对正互反判断矩阵进行基于最大特征根的一致性检验，是因为把判断矩阵A的最大特征根对应的特征向量归一化后作为排序向量，偏离一致性程度太远的判断矩阵没法确保以特征向量作为排序向量的合理性^[12].一致性检验是基于最大特征向量作为排序向量的，若使用其他排序法没有需一致性检验的理论依据.很显然，不满足序传递的矩阵偏离一致性程度太远，不适合用特征向量作为排序向量，因此进一步说明不满足序传递的矩阵没必要进行一致性检验.

当正互反矩阵不满足传递性时，若对其进行调整，调整后的矩阵往往与决策者意愿不一致，那么调整后的矩阵得出的排序结果没能很好反应决策者意愿.比如文中例2.对于例2中的“i队胜j队，j队胜k队，k队胜i队”的预测结果，不管调整判断矩阵的哪个元素使判断矩阵一致后都没法与预测的意愿一致.调整后的判断矩阵与决策者意愿已不一致，那么由调整后矩阵得出的排序权重没法保证与决策者意愿一致，这样的调整不合理.也即当正互反矩阵不满足传递性时，对其进行调整是不合理的.

在篮球、排球等一些球赛的单循环赛中，有时候会出现“i队胜j队，j队胜k队，k队胜i队”，若把这样的比赛结果表示成两两比较的判断矩阵，则是不满足传递性的判断矩阵.当比赛出现这样的结果时，往往采取得失分率计算这几个球队的排序权重从而确定排名，得失分率等于本队在每一场比赛中的总得分除以总失分.当粗略“胜或输”的结果没法确定比赛排名时，因为每一场比赛所有输赢信息就是“输或赢”、“总得分和总失分”，用得失分率计算方法得出的排序权重很好地体现了每一场比赛结果的所有得分和失分信息，不仅仅得出合理的排序方案，而且得出合理的排序权重的数的大小.根据比赛的得失分率计算方法，本文给出元素相对于某准则的得失分率的定义.

定义2  设在层次分析法中，准则K所支配的下一层次元素为u₁，u₂，…，u_n.若采用某种比例标度得出${a_{ij}} = \frac{{{x_{ij}}}}{{{y_{ij}}}}, {x_{ij}} > 0, {y_{ij}} > 0$(a_ij是u_i与u_j相对于准则K的重要性比较，$\frac{{{x_{ij}}}}{{{y_{ij}}}}$是根据标度得出的两两比较结果，不是化简后的结果)，且${a_{ij}} = \frac{1}{{{a_{ji}}}}, {a_{ii}} = 1$，有相应正互反判断矩阵：

令

将向量(d₁，d₂，…，d_n)归一化后得向量(w₁，w₂，…，w_n)，称w_i为元素u_i相对准则K的得失分率.

由定义2求出向量(w₁，w₂，…，w_n)，并把(w₁，w₂，…，w_n)作为元素u₁，u₂，…，u_n相对于准则K的排序权重向量的方法称为得失分率排序法.当正互反判断矩阵不满足传递性时，决策者使用某种比例标度得出两两比较的信息${a_{ij}} = \frac{{{x_{ij}}}}{{{y_{ij}}}}$，则x_ij，y_ij分别看作元素u_i与元素u_j相比较的得分和失分，定义2的d_i充分利用了矩阵元素a_ij两两比较的得分信息和失分信息，且在计算d_i时不求跟自己比较的得失分，将(d₁，d₂，…，d_n)归一化后得(w₁，w₂，…，w_n)，将(w₁，w₂，…，w_n)作为元素u₁，u₂，…，u_n相对于准则K的排序权重，用得失分率排序法求出的排序权重不仅能体现元素u_i的重要性排序，而且能很好地表示元素u_i重要性的权值的大小.

例3^[7]  对于某一决策问题，有4种方案可以选择，专家在同一准则下对4种方案A₁，A₂，A₃，A₄进行比较，认为：A₁强烈优于A₂，A₁优于A₃的程度介于明显大与强烈大之间，A₁优于A₄的程度介于相同与稍微大之间，A₄优于A₂的程度介于强烈大与极端大之间，A₄优于A₃的程度介于明显大与强烈大之间，A₂与A₃的程度相同.

为了方便研究，先列出例3中要考虑到的3种标度(见表 1).

下面分别使用1~9标度、$\frac{9}{9} \sim \frac{9}{1}$标度、$\frac{10}{10} \sim \frac{18}{2}$标度3种不同标度构造判断矩阵.很显然，分别用3个标度建立的3个正互反判断矩阵A，B，C都不满足序传递.判断矩阵的元素${a_{ij}} = \frac{{{x_{ij}}}}{{{y_{ij}}}}, \frac{{{x_{ij}}}}{{{y_{ij}}}}$是由决策者根据标度得出的两两比较结果，不是化简后的结果.然后用得失分率排序法求出排序权重，得出排序结果.

若用1~9标度，得判断矩阵

用(1)式求出得失分率$({d_1}, {d_2}, \ldots, {d_n}) = \left({\frac{{15}}{3}, \frac{3}{{16}}, \frac{3}{{13}}, \frac{{15}}{4}} \right)$，归一化后得(0.545 4，0.020 5，0.025 2，0.409 0).方案排序为A₁≻A₄≻A₃≻A₂.

若用$\frac{9}{9} \sim \frac{9}{1}$标度，得判断矩阵

用(1)式求出得失分率$({d_1}, {d_2}, \ldots, {d_n}) = \left({\frac{{27}}{{15}}, \frac{{14}}{{27}}, \frac{{17}}{{27}}, \frac{{26}}{{15}}} \right)$，归一化后得(0.384 5，0.110 8，0.134 5，0.370 3).方案排序为A₁≻A₄≻A₃≻A₂.

若用$\frac{{10}}{{10}} \sim \frac{{18}}{2}$标度，得判断矩阵

用(1)式求出得失分率$({d_1}, {d_2}, \ldots, {d_n}) = \left({\frac{{42}}{{18}}, \frac{{17}}{{43}}, \frac{{20}}{{40}}, \frac{{41}}{{19}}} \right)$，归一化后得(0.433 2，0.073 4，0.092 8，0.400 6).方案排序为A₁≻A₄≻A₃≻A₂.

本文把文献[7]例子中“A₂优于A₃的程度介于相同与明显大之间”改为“A₂与A₃的程度相同”，这样的改动便于看出矩阵元素中体现的意愿，便于看出得失分率与判断矩阵所体现信息的一致性.由本文例3题意“A₁强烈优于A₂，A₁优于A₃的程度介于明显大与强烈大之间，A₂与A₃的程度相同”，易得出A₁≻A₃≻A₂；由“A₄优于A₂的程度介于强烈大与极端大之间，A₄优于A₃的程度介于明显大与强烈大之间，A₂与A₃的程度相同”，易得出A₄≻A₃≻A₂；由“A₁优于A₄的程度介于相同与稍微大之间”，易得出A₁≻A₄，综上所述，由题意易得出A₁≻A₄≻A₃≻A₂.由得失分率排序法得出的结果与这个结果一致、与判断矩阵所体现信息是一致的.

若例3中用特征向量作为排序向量：使用1~9标度，得特征向量(0.505 3，0.060 1，0.066 7，0.367 9)，方案排序为A₁≻A₄≻A₃≻A₂；使用$\frac{9}{9} \sim \frac{9}{1}$标度，得特征向量(0.359 7，0.114 5，0.145 2，0.380 5)，方案排序为A₄≻A₁≻A₃≻A₂；使用$\frac{{10}}{{10}} \sim \frac{{18}}{2}$标度，得特征向量(0.395 3，0.093 5，0.116 9，0.394 4)，方案排序为A₁≻A₄≻A₃≻A₂，即得出不同的排序结果.

说明在不满足传递性的矩阵中，用特征向量作为排序向量没有与判断矩阵所体现的信息一致，而用得失分率排序法得出的结果能很好地体现判断矩阵中两两元素比较重要性的信息.

不管判断矩阵是否满足传递性，方案的真实排序总是客观存在的^[12]，采用得失分率排序法得出的排序结果能体现两个元素重要性排序信息，能很好地体现方案的真实排序.采用得失分率的好处：①解决实际中出现的不满足传递性的矩阵的排序问题；②避免把不满足传递性的矩阵调整为一致性矩阵后漏失过多的两两比较信息；③充分考虑两两比较中的信息，从而在单准则中得出合理的排序方案、合理的排序向量权值的大小，在多准则中合成后得出合理的排序结果.