On Coefficient Estimates for Subclasses of Bi-Close-to-Convex Functions

令H表示在单位圆盘U={z:|z| < 1}内具有下述形式的解析函数类：

S表示H中的单叶函数族.用S^*和K分别表示星像函数类和近于凸函数类.易知f(z)∈S^*当且仅当$ \operatorname{Re}\left\{\frac{z f^{\prime}(z)}{f(z)}\right\}>0(z \in U)$.设f(z)∈S，若存在g(z)∈S^*，使得$ \operatorname{Re}\left\{\frac{z f^{\prime}(z)}{g(z)}\right\}>0(z \in U)$，则称f(z)为近于凸函数，其全体记为K，近于凸函数类是由文献[1]提出的.

文献[2]证明了如下结果:

定理1 ^[2]  设f∈S，0≤μ＜1，则有

且对每个μ，存在f使得等号都成立.

文献[3]引入函数类K(β)，定义如下:对于f(z)∈S，0＜β≤1，若存在g(z)∈S^*使得

成立，则称f(z)为β型近于凸函数，其全体记为K(β).当β=1时，K(1)=K.

著名的$ \text { Koebe- } \frac{1}{4}$定理表明:每个具有形式(1)的单叶函数f都存在逆函数f^-1，且

其中

函数f(z)称为双单叶函数当且仅当f和f^-1在U内都是单叶函数.现记Σ表示单位圆盘U内所有具有形式(1)的双单叶函数.文献[4]首先引入了双单叶函数族，证明了f(z)∈Σ，则有|a₂|≤1.51.随后，许多作者研究了双单叶函数族的子类的|a₂|，|a₃|的上界问题^[5-12].

如果

在U内解析且满足

和

其中$G(w)=g^{-1}(w)=\omega-b_{2} \omega^{2}+\left(2 b_{2}^{2}-b_{3}\right) \omega^{3}-\left(5 b_{2}^{3}-5 b_{2} b_{3}+b_{4}\right) \omega^{4}+\cdots $，则称g(z)为双单叶星像解析函数，其全体记为S_Σ^*.

类似于函数类K(β)的定义，作者定义了一类双单叶近于凸解析函数类K_Σ(β).假设

如果存在双单叶星像解析函数g，满足

和

其中0＜β≤1，h=f^-1，G=g^-1，则称f(z)为β-型双单叶近于凸函数.其全体记为K_Σ(β).

本文研究了函数类K_Σ(β)的前两项系数a₂，a₃的估计及其Fekete-szegö不等式.

引理1 ^[11]   设g(z)由(3)式给出，且满足g(z)∈S_Σ^*，则有

引理2 ^[12]  设g(z)由(3)式给出，且满足g(z)∈S_Σ^*，则有

引理3 ^[3]   f(z)∈K(β)当且仅当存在g(z)∈S^*使得

其中$\prec $表示函数的从属关系.由函数从属的定义，上式也可写成

其中ω(z)在U内解析，且ω(0)=0，|ω(z)|＜1.

引理4 ^[13]  设$ \omega(z)=c_{1} z+c_{2} z^{2}+\cdots$在U内解析，且|ω(z)|＜1，则有

引理5 ^[14]   设$ \omega(z)=c_{1} z+c_{2} z^{2}+\cdots$在U内解析，且|ω(z)|＜1，则对任意的实数t，有

定理2   假设f(z)∈K_Σ(β)(0＜β≤1)，则有

和

证   因为f(z)∈K_Σ(β)，则由引理3可知，存在U内的两个函数ω₁，ω₂，满足

和

其中函数g，G，ω₁和ω₂的展式分别为

由(1)，(2)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)和(9)式，得

由(10)，(12)式得

由(15)式及引理1、引理4，得

由(16)式及引理1、引理4，得

由(17)式及引理1、引理4，得

用(11)式加上(13)式，得

由(21)式及引理4、引理5，得

由(18)，(19)，(20)和(22)式，得

由(11)式和引理1、引理2、引理5，得

定理3   假设f(z)∈K_Σ(β)(0＜β≤1)，对任意的实数λ，则有

证   由(11)，(21)式得

利用引理1、引理4和引理5，得

由(23)式和引理2可得定理3.