A Homogeneous Kernel Hilbert-Type Integral Inequality Related to Hypergeometric Function

为方便起见，设θ(x)(>0)为可测函数，ρ≥1，定义空间

和

设f，g≥0，f，g∈L²(0，∞)，‖f‖₂，‖g‖₂>0，由文献[1]，有

此处常数因子π是最佳值. (1)式称为Hilbert积分不等式. 1925年，Hardy-Riesz引进一共轭指数对(p，q)$\left({p > 1, \; \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1} \right)$，对(1)式进行了如下推广：

设f，g≥0，f∈L^p(0，∞)，g∈L^q(0，∞)，‖f‖_p，‖g‖_q>0，则由文献[1]，有

其中常数因子$\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{{\sin \left({\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{p}} \right)}}$是最佳值. (2)式称为Hardy-Hilbert积分不等式，它在分析学及偏微分方程理论方面有重要的应用^[2].文献[3-4]引入了独立参数λ(>0)及Beta函数，对Hilbert积分不等式进行了单参量化推广：

其中φ(x)=x^1-λ，常数因子$B\left({\frac{\lambda }{2}, \frac{\lambda }{2}} \right)$是最佳值(B(u，v)为Beta函数).文献[5]得到了如下不等式：

其中φ(x)=x^1-λ(0 < λ < 1)，常数因子$B\left({\frac{\lambda }{2}, 1 - \lambda } \right)$是最佳值.关于Hilbert型积分不等式的一些近期成果可参阅文献[6-14].

混合核和复合核是Hilbert不等式的重要研究内容之一.所谓的混合核和复合核研究，就是将一些基本核和一些简单的单核进行组合，构造新的积分核进行研究.这方面的研究已取得了不少成果^[15-17].我们查阅大量文献尚未发现有将基本核${k_1}(x, y) = \frac{1}{{x + y}}$和${k_2}(x, y) = \frac{1}{{|x - y|}}$组合成混合核的研究.本文引入参数α，β，将上面两个基本核k₁(x，y)，k₂(x，y)进行参量化组合成混合核$k(x, y) = \frac{{|x - y{|^\beta }}}{{{{(x + y)}^\alpha }}}$.利用基于Hardy插值难题的权函数方法和实分析技巧(如在引理2的证明中，我们利用连续函数的有界性和函数的幂级数展开式及幂级数的逐项积分性质，巧妙地证明了积分的有界性)，建立了一个常数因子联系Γ-函数和超几何函数的混合核Hilbert型积分不等式及其等价形式，并证明了它们的常数因子是最佳的.所得结果不仅统合了上面的(1)，(2)，(3)式和(4)式，而且可选取符合条件的参数值，得到一些新的、形式简单的Hilbert型积分不等式.

在本文的推证过程中，我们需要如下一些特殊函数^[18]：

设z>0，Γ-函数定义为

设Re(γ₃)>Re(γ₂)>0，|arg(1-z)| < π，超几何函数的定义为

引理1  设p>1，$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，α≥0，β>-1，且α>β，定义权函数

则有

证  令$\frac{y}{x}{\rm{ = }}u$，利用(6)式，则有

类似可证ω(α，β，y)=C(α，β).

引理2  设${\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1}$，常数α，β满足α≥0，α>β>-1，且ε，δ>0充分地小，定义可测函数

则有

证  先证(8)式.容易得到

再证(9)式.令$\frac{y}{x} = t$，由引理1的证明，有

定理1  设p>1，$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，α≥0，β>-1，α>β，$\varphi (x) = {x^{\frac{{p(2 + \beta - \alpha)}}{2} - 1}}, \varphi (y) = {y^{\frac{{q(2 + \beta - a)}}{2} - 1}}$，且f∈L_φ^p(0，∞)，g∈L_ψ^q(0，∞)，‖f‖_p，φ，‖g‖_q，ψ>0，则有

其中常数因子C(α，β)(C(α，β)同(7)式)是最佳的.

证  由Hölder不等式^[19]和Fubini定理^[20]及引理1，有

一方面，如果(11)式取等号，则存在不全为0的常数A和B^[19]，使得

于(0，∞)×(0，∞)内几乎处处成立，即${A{x^{\frac{{p(2 + \beta - \alpha)}}{2}}}{f^p}(x) = B{y^{\frac{{q(2 + \beta - \alpha)}}{2}}}{g^q}(y)}$于(0，∞)×(0，∞)内几乎处处成立.假设A≠0，则存在y>0，使得${x^{\frac{{\beta (2 + \beta - \alpha)}}{2} - 1}}{f^p}(x) = \left({{y^{\frac{{q(2 + \beta - \alpha)}}{2}}}{g^q}(y)} \right)\frac{B}{{Ax}}$于(0，∞)内几乎处处成立.而广义积分$\int_0^\infty {\left({{y^{\frac{{g(2 + \beta - \alpha)}}{2}}}{g^q}(y)} \right)} \frac{B}{{Ax}}{\rm{d}}x$是发散的，这与$0 < {\left\| f \right\|_{p, \varphi }} = \int_0^\infty {{x^{\frac{{\rho (2 + \beta - \alpha)}}{2} - 1}}} {f^p}(x){\rm{d}}x < \infty $矛盾，所以(11)式当取严格不等号.

另一方面，如果(10)式的常数因子C(α，β)不是最佳值，则存在正数K < C(α，β)，使得用K代替C(α，β)时，(10)式仍然是成立的.我们将(10)式中的f(x)，g(y)分别取引理2中的$\tilde f(x), \tilde g(y)$，并由(8)式和(9)式，有

在(12)式中令ε→0⁺，并利用Lebesgue控制收敛定理^[20]，有

再令δ→0⁺，由引理1得到

显然这与前面的K < C(α，β)矛盾，所以(10)式中的常数因子C(α，β)是最佳值.至此定理1证毕.

由齐次核Hilbert型不等式的基本理论，下面两个不等式是等价的^[21]：

因此，我们可得到下面定理：

定理2  在与定理1相同的条件下，有不等式

成立，其中常数因子C^p(α，β)是最佳值，并且(13)式与(10)式是等价的.

我们在(10)，(13)式中取一些特殊参数值，借助Maple数学软件进行计算，既可得到有关参考文献的结果，又可获得一些新的、简单的和有意义的不等式.

(1°)取α=λ(>0)，β=0，计算(7)式得

这时

设f∈L_φ^P(0，∞)，g∈L_ψ^q(0，∞)，‖f‖_p，φ，‖g‖_q，ψ>0，于是得到等价不等式

其中常数因子$B\left({\frac{\lambda }{2}, \frac{\lambda }{2}} \right), {B^p}\left({\frac{\lambda }{2}, \frac{\lambda }{2}} \right)$是最佳值.如果在(14)，(15)

式中取p=q=2，可得(3)式和其等价形式

其中φ(x)=x^1-λ，常数因子${B^2}\left({\frac{\lambda }{2}, \frac{\lambda }{2}} \right)$是最佳值.继续在(16)式中取λ=1，可得(1)式的等价式

(2°)取α=0，β=-λ(0 < λ < 1)，p=q=2，由(7)式，有

这时φ(x)=x^1-λ.设f，g∈L_φ²(0，∞)，‖f‖_2，φ，‖g‖_2，φ>0，于是得到(4)式和其等价形式

其中常数因子${B^2}\left({\frac{\lambda }{2}, 1 - \frac{\lambda }{2}} \right)$是最佳值. (1°)，(2°)说明了(10)，(13)式统合了参考文献的一些结论.除此之外，我们还可以在(10)，(13)式中选取符合条件的参数值，得到一些新的混合核Hilbert型不等式.

(3°)取α=1，$\beta = - \frac{1}{2}$，p=q=2，由(7)式，有

这时$\varphi (x) = \frac{1}{{\sqrt x }}$.设f，g∈L_φ²(0，∞)，‖f‖_2，φ，‖g‖_2，φ>0，则有等价不等式

其中常数因子π，π²是最佳值.

(4°)取α=3，β=2，p=q=2，由(7)式，有

这时φ(x)=1.设f，g∈L²(0，∞)，‖f‖₂，‖g‖₂>0，则有等价不等式

其中常数因子π，π²是最佳值.

(5°)取α=3，β=1，p=q=2，由(7)式，有

这时φ(x)=x^-1.设f，g∈L_φ²(0，∞)，‖f‖_2，φ，‖g‖_2，φ>0，则有等价不等式

其中常数因子$\frac{3}{2} - 2\ln 2, {\left({\frac{3}{2} - 2\ln 2} \right)^2}$是最佳值.