L₀ Dual John Ellipsoid

任给一个欧氏空间$\mathbb{R}^{n} $中的凸体K(有非空内点的紧凸集)，都存在唯一体积最大的椭球JK包含在K内，椭球JK被称为关于K的John椭球^[1]. John椭球是积分几何、凸几何分析、泛函分析、偏微分方程等学科中应用广泛的几何体^[2-6].

文献[7]将经典的John椭球推广为L_p John椭球(实数p>0)，文献[8]将L_p John椭球推广为Orlicz-John椭球，文献[9]给出了L₀ John椭球(p=0). 最近，文献[10]引入了(p，q)-阶对偶曲率测度，文献[1]定义了(p，q)-John椭球(p>0). 本文在文献[1]的基础上，研究了当p=0时，与(0，q)-阶对偶曲率测度(也称为q-阶对偶曲率测度)所对应的L₀对偶John椭球. 关于凸几何方面的其他信息可参考文献[2, 4, 10-13].

下面列举了一些关于凸体和星体的基本知识^[14]：

令x · y表示标准內积，其中x，y∈ $\mathbb{R}^{n} $. 对$\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} \backslash\{o\} $，设$ \langle\boldsymbol{x}\rangle=|\boldsymbol{x}|^{-1} \boldsymbol{x}$，其中o为原点. 以原点为中心的单位球用Bⁿ来表示，S^n-1表示(n-1)维球面. 令$\mathscr{K}^{n} $和$\mathscr{E}^{n} $分别表示$\mathbb{R}^{n} $中所有凸体和关于原点对称的椭球构成的集合，$\mathscr{K}^{n}_o $表示$\mathscr{K}^{n} $中所有以原点为内点的凸体构成的集合.

设$ K \subset \mathbb{R}^n$是凸体，则K的支撑函数$h(K, ·)=h_{K}: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R} $定义为

很容易得到支撑函数具有一阶正齐次性. 对于$ \boldsymbol{\phi} \in G L(n)$，令$ \boldsymbol{\phi}^{\mathrm{T}}$表示$ \boldsymbol{\phi}$$ \boldsymbol{\phi}$的转置. $ \boldsymbol{\phi} K=\{\boldsymbol{\phi} x: x \in K\}$的支撑函数满足

设$ K \subseteq \mathbb{R}^{n}$且o∈K，若原点o与K中任意一点的连线所形成的线段仍然包含在K中，则称集合K为关于原点o的星形集. 令K为(关于原点o的)紧星形集，则其径向函数$ \rho_{K}: \mathbb{R}^{n} \backslash\{o\} \longrightarrow \mathbb{R}$定义为

若径向函数ρ_K是连续函数，则称K为(关于原点o的)星体. 用$\mathscr{S}^n $表示欧氏空间$\mathbb{R}^{n} $中所有(关于原点o的)星体构成的集合，用$\mathscr{S}^n_o $表示$\mathscr{S}^n $中所有以原点o为内点的星体构成的集合.

对于$ q \in \mathbb{R}, K, Q \in \mathscr{S}_{o}^{n}$的q-阶对偶混合体积定义为^[15]

对$ \boldsymbol{\phi}$ ∈SL(n)，有

设$q \in \mathbb{R}, K \in \mathscr{K}_{o}^{n}, Q \in \mathscr{S}_{o}^{n} $，对每个Borel集$ \eta \subseteq S^{n-1}$定义q-阶对偶曲率测度为^[10]

其中α_K^*(η)表示η关于凸体K的逆径向Gauss像.

对于一个在S^n-1上的有限Borel测度μ，如果对所有的$ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Q}^{n} \backslash\{o\}$，有

则称μ是迷向的，其中|μ|表示μ的全测度.

设$p \in \mathbb{R}, \mu $是S^n-1上的Borel测度，$ \boldsymbol{\phi}$ ∈SL(n)，则μ在$ \boldsymbol{\phi}$下的L_p像$\boldsymbol{\phi}_{\dashv_{p}} \mu$是一个Borel测度，使得对于任意的Borel函数f：$ S^{n-1} \longrightarrow \mathbb{R}$有^[10]

文献[10]给出了q-阶对偶曲率测度的如下性质，设$ q \in \mathbb{R}, \boldsymbol{\phi}\in \mathrm{SL}(n)$，对于每个Borel集$ \eta \subseteq S^{n-1}$，有

设$q \in \mathbb{R}, K, L \in \mathscr{H}_{o}^{n}, Q \in \mathscr{S}_{o}^{n} $，定义标准化的L₀对偶混合体积

标准化的L₀对偶混合体积有如下性质：

我们通过以下极值问题引入了L₀对偶John椭球：

问题1    设$q \in \mathbb{R}, K \in \mathscr{H}_{o}^{n}, Q \in \mathscr{S}_{o}^{n} $，是否存在E∈ $\mathscr{E}^{n} $，使得$ \max\limits _{E} V(E)$满足$\bar{V}_{0, q}(K, E, Q) \leqslant 1 $？

问题2    设$q \in \mathbb{R}, K \in \mathscr{H}_{o}^{n}, Q \in \mathscr{S}_{o}^{n} $，是否存在E∈ $\mathscr{E}^{n} $，使得$\min \limits_{E} \bar{V}_{0, q}(K, E, Q) $满足V(E)≥ω_n？

引理1    设$q \in \mathbb{R}, K \in \mathscr{H}_{o}^{n}, Q \in \mathscr{S}_{o}^{n} $，

(i) 如果E₁是问题1的解，则$ \left(\omega_{n} / V\left(E_{1}\right)\right)^{\frac{1}{n}} E_{1}$是问题2的解;

(ii) 如果E₂是问题2的解，则$ \bar{V}_{0, q}\left(K, E_{2}, Q\right)^{-1} E_{2}$是问题1的解.

引理2    设$q \in \mathbb{R}, K \in \mathscr{H}_{o}^{n}, Q \in \mathscr{S}_{o}^{n} $，则

(i) $ \max \left\{V(E): E \in \mathscr{E}^{n}, \bar{V}_{0, q}(K, E, Q) \leqslant 1\right\}=\max \left\{V(E): E \in \mathscr{E}^{n}, \bar{V}_{0, q}(K, E, Q)=1\right\}$;

(ii) $\min \left\{\bar{V}_{0, q}(K, E, Q): E \in \mathscr{E}^{n}, V(E) \geqslant \omega_{n}\right\} =\min \left\{\bar{V}_{0, q}(K, E, Q): E \in \mathscr{E}^n, V(E)=\omega_{n}\right\}$.

引理3    设$q \in \mathbb{R}, K \in \mathscr{H}_{o}^{n}, Q \in \mathscr{S}_{o}^{n} $，则下列说法等价：

(i) 单位球Bⁿ是问题2的解;

(ii) q-阶对偶曲率测度$ \widetilde{C}_{q}(K, Q, ·)$在S^n-1上是迷向的.

证   假定(i)成立，由引理2，对于所有的$ \boldsymbol{\phi}$∈SL(n)，我们有

假定T∈GL(n)，对于充分小的ε₀>0，I_n+εT∈GL(n)对所有ε∈(-ε₀，ε₀)而言是可逆的，其中I_n是单位矩阵. 定义

令椭球$ E_{\varepsilon}=\boldsymbol{T}_{\varepsilon}^{\mathrm{T}} B^{n}$，有V(E_ε)=ω_n. 因为Bⁿ=E₀是问题2的解，则有

通过(5)式，有

对于充分小的ε，|T_εu|是光滑的，则被积函数log|T_εu|也是光滑的. 因此

那么有

对$\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} $，设$\boldsymbol{T}=\boldsymbol{x} \otimes \boldsymbol{x} $是$\mathbb{R}^{n} $中秩为1的线性算子，把y映成( x · y) x. 那么，可得

所以

因此，q-阶对偶曲率测度$ \widetilde{C}_{q}(K, Q, ·)$是迷向的.

假设(ii)成立. 设E是关于原点对称的椭球，且V(E)=ω_n. 换句话说，E= T Bⁿ，T∈SL(n). 记T ^T= PDR ，其中P，R 是正交矩阵，D是正定对称矩阵，且有特征值λ₁，…，λ_n及正交特征向量e₁，…，e_n. 注意到λ₁…λ_n=1.

通过(1)，(3)，(4)式及(5)式可得

又有

因为$\widetilde{C}_{q}(K, Q, ·) $是迷向的，由(2)式和(3)式知$ \frac{\widetilde{C}_{q}(\boldsymbol{R} K, \boldsymbol{R} Q, ·)}{\widetilde{V}_{q}(\boldsymbol{R} K, \boldsymbol{R} Q)}$也是迷向的. 注意到

由Jensen不等式和$ \frac{\widetilde{C}_{q}(\boldsymbol{R} K, \boldsymbol{R} Q, ·)}{\widetilde{V}_{q}(\boldsymbol{R} K, \boldsymbol{R} Q)}$的迷向性可知

因此，对所有关于原点对称且体积为ω_n的椭球E，有

故单位球Bⁿ是问题2的解. 进一步，等式(8)等号成立当且仅当λ₁=λ₂=…=λ_n=1，由此可得D = I_n，T是正交的，并且E=Bⁿ.

定理1    设$q \in \mathbb{R}, K \in \mathscr{H}_{o}^{n}, Q \in \mathscr{S}_{o}^{n} $，若极值问题

的解存在，则问题1的解存在且唯一.

证    由引理2和(5)式可得

因此，由(9)式有解，则问题2的解存在，故问题1的解也存在.

假定$ E_{1}=\boldsymbol{T}_{1} B^{n} \in \mathscr{E}$，则V(E₁)=ω_n是问题2的解，那么对于所有关于原点对称的椭球E，且V(E)=ω_n，有

由(7)式可得

由引理3可得，$ \widetilde{C}_{q}\left(\boldsymbol{T}_{1}^{-1} K, \boldsymbol{T}_{1}^{-1} Q, \cdot\right)$在S^n-1上是迷向的.

若E₂∈ $\mathscr{E}^{n} $是问题2的另一个解，即

那么

这就意味着T₁^-1E₂使得(10)式的等号成立. 由引理3知 T₁^-1E₂=Bⁿ. 因此，E₂= T₁Bⁿ=E₁. 即结论得证.

定义1    设$ q \in \mathbb{Q}, K \in \mathscr{H}_{o}^{n}, Q \in \mathscr{S}_{o}^{n}$. 对于所有关于原点对称的椭球，满足问题1的唯一椭球称为K和Q的L₀对偶John椭球，记作E_0，q(K，Q).

对于所有关于原点对称的椭球，满足问题2的唯一椭球称为K和Q的标准化的L₀对偶John椭球，记作$\bar{E}_{0, q}(K, Q) $.