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2021 Volume 46 Issue 4
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TAN San-biao, AI Hai-ming, YAN Yan-xiong. Finite Group With 6p2q Elements of Maximal Order[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2021, 46(4): 1-3. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2021.04.001
Citation: TAN San-biao, AI Hai-ming, YAN Yan-xiong. Finite Group With 6p2q Elements of Maximal Order[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2021, 46(4): 1-3. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2021.04.001
shu

Finite Group With 6p2q Elements of Maximal Order

  • 1.

    School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China

  • 2.

    School of Science and Technology, Beijing Open University, Beijing 100081, China

More Information
  • Corresponding author: YAN Yan-xiong
  • Received Date: 10/10/2020
    Available Online: 20/04/2021

  • MSC: O152.1

  • It is well known that the arithmetic properties of a group have an important influence on the structure of the group. It has become a hot topic to describe the structure of a finite group by using the various quantitative properties of a group. In this article, the influence of the number of elements of maximal order of a finite group on the structure of such group has been studied. It is proved that finite groups with 6p2q maximal order elements are solvable, where p, q are primes with q > p > 13.
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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com
  • 1. 

    沈阳化工大学材料科学与工程学院 沈阳 110142

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Finite Group With 6p2q Elements of Maximal Order

    Corresponding author: YAN Yan-xiong
  • Received Date: 10/10/2020
  • Available Online: 20/04/2021

Abstract: It is well known that the arithmetic properties of a group have an important influence on the structure of the group. It has become a hot topic to describe the structure of a finite group by using the various quantitative properties of a group. In this article, the influence of the number of elements of maximal order of a finite group on the structure of such group has been studied. It is proved that finite groups with 6p2q maximal order elements are solvable, where p, q are primes with q > p > 13.

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  • 本文所讨论的群均为有限群. πe(G)表示群G中元素阶的集合，k是πe(G)中的最大值，n为G中k阶循环子群的个数. 对一个自然数t，π(t)表示t的素因子集合，特别地，π(G)=π(|G|). Mt(G)是G的t阶元素的集合，特别地，M(G)=Mk(G). 设p是素数，pn‖|G|表示pn||G|，但pn+1|G|. φ(x)为x的欧拉函数. 文中其他未说明的符号和术语都是标准的(见文献[1]).

    众所周知，群的数量刻画是群论研究中十分重要的课题. 文献[2]讨论了与最高阶元素有关的几个数量条件对Conway单群和Fischer单群的结构的影响. 文献[3]用群的阶与群的不可约特征标维数刻画了单群A8和L3(4). 文献[4]用不可补子群的个数刻画了单群A5. 文献[5]用交换子群的个数刻画了单群A5和S5. 本文的研究与下面的Thompson猜想有关：

    Thompson猜想  设G1与G2为同阶型群. 如果G1可解，则G2可解.

    目前该猜想依然没有被证明. 因此，许多研究者考虑在减弱猜想条件的基础上继续研究. 文献[6]证明了最高阶元的个数分别为2p(p为素数)、奇数、不大于4或为φ(k)时，G可解. 文献[7]证明了|M(G)|=4p时，G要么可解，要么同构于S5. 文献[8]证明了|M(G)|=10p时，G可解. 文献[9]证明了|M(G)|=18p时，G可解. 文献[10]证明了|M(G)|=30时，G可解. 以上结果显然有助于Thompson猜想的解决. 本文继续了这一问题的研究，得到：

    定理1  设G是有限群，若|M(G)|=6p2q，其中p，q为素数，且q>p>13，则群G可解.

    引理1  设|M(G)|=6p2q，则n，φ(k)和k的关系如表 1所示.

    定理1的证明

    由表 1，将定理1的证明分为以下7种情形讨论：

    情形1  如果n=1，则φ(k)=6p2q. 由文献[6]的定理1.1可知G超可解.

    情形2  如果n=3，则φ(k)=2p2q. 由表 1知k=r，2r，其中r=2p2q+1为素数，或k=q2，且q=2p2+1为素数. 令a是k阶元，且A=〈a〉，则

    假设G不可解，由文献[11]的引理2.7可知k=2r. 令|CG(A)|=2α·3β，α，β为非负整数. 显然CG(A)可解. 事实上NG(A)/CG(A)≤Aut(A)，即|NG(A)/CG(A)||φ(k)，因此NG(A)/CG(A)可解，从而NG(A)可解. 考虑G在NG(A)上的陪集置换表示η，则G/Kerη＜~S3. 因为Kerη≤NG(A)可解，则G可解，矛盾.

    情形3  如果n=p，则φ(k)=6pq. 由表 1知k=r，2r，其中r=6pq+1为素数或k=q2，且q=6p+1为素数. 假设G不可解，由文献[11]的引理2.7知k=2r. 和情形2同样的讨论知NG(A)可解. 由文献[11]的引理2.9有i≥2，所以存在i，使得pni. 因此由(1)式知G是{2，3，q，r}-群. 令|CG(A)|=2α·3β，α，β为非负整数. 从而CG(A)没有22和r2阶元. 如果β≥2，则CG(A)至少有r2-1个2r阶元，由于q>p，有

    矛盾. 因此β=1. 令R是CG(A)的Sylow r-子群，如果R$\ntriangleleft $CG(A)，则CG(A)至少有r+1个Sylow r-子群，所以CG(A)至少有(r+1)(r-1)=r2-1个2r阶元，矛盾. 所以R$\trianglelefteq $CG(A). 因此RcharCG(A)$\trianglelefteq $NG(A)，则NG(A)≤NG(R). 因为

    由Sylow定理可知|G∶NG(A)|=1，所以R$\trianglelefteq $G. 因此G/R是{2，3，q}-群. 因为q>p>13，由文献[12]知G/R可解，从而G可解，矛盾.

    情形4  如果n=3p，则φ(k)=2pq. 由表 1知k=r，2r，其中r=2pq+1为素数或k=q2，且q=2p+1为素数. 假设G不可解，由文献[11]的引理2.7知k=2r. 和情形2同样的讨论知NG(A)可解，且π(G)⊆{2，3，p，q，r}. 由文献[11]的引理2.9有i≥2. 如果3 (n1，n2，…，ns)，则存在i使得3 ni. 由于

    所以G是{2，p，q，r}-群. 但p，q是素数且q>p>13，由文献[13]的定理1知G可解，矛盾. 如果3|(n1，n2，…，ns)，因n1+n2+…+ns=3p，则3‖(n1，n2，…，ns). 令ni=2αi·3βi·pγi·qθi·rλi，其中αi，βi，γi，θi，λi为非负整数. 由于

    则存在i使得βi=1，γi=θi=λi=0. 从而G是{2，3，q，r}-群，且3‖|G|. 因为G不可解，且q>p>13，可知不存在G的单截断同构于K3-单群，故存在G的某截断W同构于文献[13]中定理2的K4-单群之一. 通过简单的计算可知这是不可能的，矛盾.

    同理可证，n∈{q，3q，p2，3p2，pq，3pq}时，G可解.

    情形5  如果n=p2q，则φ(k)=6. 由表 1知k=7，9，14，18. 假设G不可解，由文献[11]的引理2.7知k=14，18. 若k=14，由于n1+n2+…+ns=p2q，则存在i使得3 ni，所以32 |G|. 因为p，q为素数，且q>p>13，从而G是{2，3，7}-群. 由文献[11]的引理2.7知G$\cong $E×L2(7)，E为初等交换2-群，故G有(2a-1)×48个14阶元. 显然(2a-1)×48≠6p2q，矛盾. 若k=18，则G为{2，3，p}-群或{2，3，q}-群. 因为G不可解，且q>p>13，由文献[12]知G是{2，3，p}-群且p=7. 此时G有一截断W同构于L2(17)，从而8∈πe(L2(17))，矛盾.

    情形6  如果n=3p2q，则φ(k)=2. 由表 1知k=3，4，6. 令a为k阶元，则CG(〈a〉)为2-群或{2，3}-群. 因为

    k≤6且q>p>13，所以G是2-群或{2，3}-群. 因此G可解.

    情形7  如果n=6p2q，则φ(k)=1. 此时G是初等交换2-群，|M(G)|=2m-1为奇数，其中m为某正整数，矛盾.

    由情形1至情形7的证明可知定理1的结论成立.

Table (1) Reference (13)

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