On Rank of Semigroup HS_{(n, k)}

设X_n=[n]={1，2，…，n}，T_n是[n]上的全变换半群，S_n是[n]上的对称群. 称Sing_n=T_n\S_n为奇异变换半群. 设S是一个半群，e∈S，若e²=e，则称e是S的幂等元. 对任意α∈T_n，令

表示α的核类，易知α的核类为等价类. 令

表示[n]在α下的象. 设S是有限变换半群，P是S的子集，则〈P〉为由P生成的半群S的子半群. 若子集P满足〈P〉=S，则称P为S的一个生成集.

有限半群S的秩定义为

其中|P|为非空集合P的基数. 类似地，为了下文叙述方便，我们把半群的秩推广到半群的一个子集的秩，定义如下：设S为半群，B为半群S的非空子集，对S的某个子集A，若满足B⊆〈A〉，则称A为集合B的生成集，集合B的秩为rankB=min{|A|：A⊆S，且B⊆〈A〉}.

对于变换半群秩的相关研究，一直都是半群理论研究中的热点研究对象之一. 文献[1]得到了奇异变换半群Sing_n的秩及幂等元的秩都为$\frac{n(n-1)}{2}$. 文献[2]研究了奇异变换半群Sing_n的理想的秩和幂等元的秩，并得到Sing_n的理想的秩和幂等元的秩均为第二类Stirling数S(n，r). 文献[3]得出了半群T_n=S_n∪Sing_n的生成元和秩. 文献[4]给出了Heisenberg群上次Laplace方程的解在满足次线性增长时的Liouville型定理. 文献[5]证明了除F_i22外，所有Conway单群和Fischer单群都可以由ONC₁(G)和l_p(G)唯一刻画. 文献[6]得到了半群TOP_n(k)的格林关系和星格林关系，并证明了半群TOP_n(k)是非正则富足半群. 文献[7-10]分别研究了半群CPO_n、半群SPC_n、半群PCS_n和半群OI_n(k，m)的秩.

设$g=\left(\begin{array}{ccccccccc}1 & 2 & \cdots & k-1 & k & k+1 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \cdots & k & 1 & k+1 & \cdots & n-1 & n\end{array}\right)$，即H_(n，k)=〈g〉为由g生成的带k的局部循环群. 记半群HS_(n，k)=Sing_n∪H_(n，k)，容易验证HS_(n，k)是T_n的子半群.

本文在文献[11]的基础上继续考虑新半群HS_(n，k)的秩，并证明了如下结果：

在本文中，用$\left[\begin{array}{lllll}B_{1} & B_{2} & \cdots & B_{r-1} & B_{r} \\ b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{r-1} & b_{r}\end{array}\right]$表示在半群HS_(n，k)中满足如下条件的元素β：

在HS_(n，k)上，有通常的格林关系：对任意的α，β∈HS_(n，k)，α$\mathscr{R} $β当且当ker(α)=ker(β)；α$\mathscr{L} $β当且当im(α)=im(β)；α$\mathscr{J} $β当且当|im(α)|=|im(β)|.

令$\mathscr{H} $=$\mathscr{L} $∩$\mathscr{R} $，易见$\mathscr{R} $，$\mathscr{L} $，$\mathscr{J} $与$\mathscr{H} $都是半群HS_(n，k)上的等价关系.

记Δ_r={β∈HS_(n，k)：|im(β)|=r}，1≤r≤n，则HS_(n，k)=Δ_n∪Δ_n-1∪…∪Δ₁. Δ_n-1中的幂等元表示为$e_{i \rightarrow j}=\left[\begin{array}{l}i \\ j\end{array}\right]$，1≤i，j≤n且i≠j.

当k≥2，n-k≥3时，令：

E(Δ_n-1)为Δ_n-1中所有幂等元的集合，E(Δ_n-1)=E_n-1^Δ∪E_n-1^Φ∪E_n-1^Γ∪E_n-1^Λ，且E_n-1^Δ∩E_n-1^Φ∩E_n-1^Γ∩E_n-1^Λ=Ø.

注意，为方便起见，在本文中，凡是整数的加法运算，均是在模n的剩余类环中进行的. 例如，e_n+i→j=e_i→j，e_i→n+j=e_i→j，n+i=i等.

引理1  设k+1≤i≤n，1≤j≤k，则E_n-1^Γ⊆〈{g}∪E_n-1^C〉.

证  任取i∈{k+1，k+2，…，n}，j∈{1，2，…，k}. 则e_i→1∈E_n-1^C. 易验证

由i，j的取值范围及E_n-1^C，E_n-1^Γ的定义可知，e_i→1∈E_n-1^C，e_i→j+1∈E_n-1^Γ，从而e_i→j+1∈〈{g}∪E_n-1^C〉，则E_n-1^Γ⊆〈{g}∪E_n-1^C〉.

在Δ_n-1上引入关系~：α~β当且当存在m∈$\mathbb{Z}$，使得ker(α)=ker(g^mβ).

注意g^k=1_Xn(1_Xn为X_n上的恒等变换). 易验证~是Δ_n-1上的等价关系. 对任意α∈Δ_n-1，记

则${\widehat \Delta _{n - 1}}$是~在Δ_n-1上所决定的分类，[α]是α所在的等价类.

引理2  设k+1≤i，j≤n，当i≠j时，有[e_i→1]∩[e_j→1]=Ø.

证  采用反证法证明. 假设[e_i→1]∩[e_j→1]≠Ø，则存在α∈[e_i→1]∩[e_j→1]，从而α~e_i→1且α~e_j→1，由等价关系的传递性得e_i→1~e_j→1，于是存在m∈$\mathbb{Z}$，使得ker(e_i→1)=ker(g^me_j→1). 由于{1，i}是e_i→1的唯一非单点核类，则{1，i}也是g^me_j→1的唯一非单点核类. 从而

即{1+m，i+m}是e_j→1的非单点核类. 再由{1，j}是e_j→1的唯一非单点核类，可得{1，j}={1+m，i+m}.

若1=i+m且j=1+m，则m=1-i且m=j-1，于是i+j=2. 这与2k+3≤i+j≤2n-1矛盾. (由k+1≤i，j≤n且i≠j，可得2k+3≤i+j≤2n-1).

若1=1+m且j=i+m，则i=j，这与i≠j矛盾.

综上可知，假设不成立，从而[e_i→1]∩[e_j→1]=Ø.

引理3  设k+1≤i≤n，集合M⊆E_n-1^Γ∪H_(n，k)，且E_n-1^Γ⊆〈M〉，则M∩[e_i→1]≠Ø.

证  由M⊆E_n-1^Γ∪H_(n，k)，E_n-1^Γ⊆〈M〉及e_i→1∈E_n-1^Γ可知，存在β₁，β₂，…，β_m∈M，使得e_i→1=β₁β₂…β_m. 由|im(e_i→1)|=n-1可得

从而β₁，β₂，…，β_m∈Δ_n-1∪H_(n，k). 再由|im(e_i→1)|=n-1可知，存在s∈{1，2，…，m}，使得|im(β_s)|=n-1. 若|im(β_j)|=n，则β_j∈H_(n，k)，从而β_j=g^t_j，1≤t_j≤k. 令

于是|im(β₁)|=n，|im(β₂)|=n，…，|im(β_h-1)|=n，且β₁=g^t₁，…，β_h-1=g^t_h-1，1≤t₁，…，t_h-1≤k. 从而

从而有ker(e_i→1)⊇ker(g^lβ_h). 注意到|im(g^lβ_h)|=|im(β_h)|=n-1. 设g^lβ_h的唯一非单点核类为{x，y}，则xg^lβ_h=yg^lβ_h. 于是xg^lβ_h…β_m=yg^lβ_h…β_m. 即xe_i→1=ye_i→1，从而{x，y}是e_i→1的非单点核类. 由{1，i}是e_i→1的唯一非单点核类可得{x，y}={1，i}，于是ker(e_i→1)=ker(g^lβ_h)，即e_i→1~β_h. 则β_h∈M∩[e_i→1]，从而M∩[e_i→1]≠Ø.

定理1  设k≥2，n-k≥3，则rankE_n-1^Γ=n-k+1.

证  由引理1可知E_n-1^Γ⊆〈{g}∪E_n-1^C〉，从而

再由引理2及引理3可得，E_n-1^Γ的任意生成集必含e_i→1及H_(n，k)中的元素，k+1≤i≤n. 从而rankE_n-1^Γ≥n-k+1. 因此rankE_n-1^Γ=n-k+1.

定理2  在E_n-1^Φ中，有E_n-1^Φ⊆〈E_n-1^B〉，且rankE_n-1^Φ=$\frac{(n-k)(n-k-1)}{2}$.

证  由文献[12]的定理1可得，E_n-1^B是E_n-1^Φ的极小幂等元生成集. 又由元素g的结构及E_n-1^B中i，j的取值范围，对任意的e_i→j，e_l→p∈E_n-1^B(i≠l或者j≠p)，与引理2的证明类似，容易得到[e_i→j]∩[e_l→p]=Ø，因此有E_n-1^Φ⊆〈E_n-1^B〉，且rankE_n-1^Φ=$\frac{(n-k)(n-k-1)}{2}$.

定理3  在E_n-1^Δ中，有E_n-1^Δ⊆〈{g}∪E_n-1^A〉，rankE_n-1^Δ=$\left[\frac{k}{2}\right]+1$.

证  根据文献[11]的引理3及定理6，类似地可得到E_n-1^Δ⊆〈{g}∪E_n-1^A〉，rankE_n-1^Δ=$\left[\frac{k}{2}\right]+1$.

定理4  设1≤i≤k，k+1≤j≤n，记M={e_1→k+1，g}∪E_n-1^A∪E_n-1^B∪E_n-1^C，则E_n-1^Λ⊆〈M〉.

证  对任意e_i→j∈E_n-1^Λ，i∈{1，2，…，k}，j∈{k+1，k+2，…，n}，若i=1且j=k+1，显然有e_i→j∈〈M〉. 若i，j不满足此情形，由于e_j→i∈E_n-1^Γ，有e_j→i∈〈{g}∪E_n-1^C〉⊆〈M〉. 于是存在e_k+1→j∈E_n-1^Φ⊆〈E_n-1^B〉⊆〈M〉，e_i→1∈E_n-1^Δ⊆〈{g}∪E_n-1^A〉⊆〈M〉，有e_i→j=(e_j→ie_k+1→je_1→k+1e_i→1)³，从而有e_i→j∈〈M〉，即E_n-1^Λ⊆〈M〉.

定理5  在E_n-1^Λ中，记T=〈{g}∪E_n-1^A∪E_n-1^B∪E_n-1^C〉，则e_1→k+1∉〈T〉.

证  采用反证法证明. 若e_1→k+1∈〈T〉，由文献[12]的引理5知，存在幂等元e_k+1→1，e_l1→k+1，e_l2→l1，e_l3→l2，…，e_lm→lm-1，e_1→lm∈〈T〉，有

由e_l1→k+1∈〈T〉知l₁∈{k+1，k+2，…，n}，即e_l1→k+1∈E_n-1^Φ. 同理可推出l₂，l₃，…，l_m-1，l_m∈{k+1，k+2，…，n}，即e_li→li-1∈E_n-1^Φ(i=1，2，…，m)，从而e_1→lm∉E_n-1^Δ∪E_n-1^Φ∪E_n-1^Γ，这与假设矛盾，故e_1→k+1∉〈T〉.

定理6  设k≥2，n-k≥3，则rankHS_(n，k)=$\frac{(n-k)(n-k-1)}{2}+n-k+2+\left[\frac{k}{2}\right]$.

证  HS_(n，k)=Sing_n∪H_(n，k)，H_(n，k)=〈g〉. 由文献[1]知Sing_n=〈E(Δ_n-1)〉，又因

由引理1及定理1知E_n-1^Γ⊆〈{g}∪E_n-1^C〉，rankE_n-1^Γ=n-k+1. 由定理2知

由定理3知

由定理5知E_n-1^Λ⊆〈{e_1→k+1，g}∪E_n-1^A∪E_n-1^B∪E_n-1^C〉. 因此

则HS_(n，k)=〈{e_1→k+1，g}∪E_n-1^A∪E_n-1^B∪E_n-1^C〉. 从而

反之，设A是半群HS_(n，k)的生成集，从而半群HS_(n，k)的生成集A必含H_(n，k)中的元素. 由文献[12]知，Sing_n由幂等元生成，则A∩E_n-1^Δ≠Ø，A∩E_n-1^Φ≠Ø，A∩E_n-1^Γ≠Ø，A∩E_n-1^Λ≠Ø. 显然

因此

特别地，当k=1时，rankHS_(n，k)=$\frac{n(n-1)}{2}+1$；

当n-k=2时，rankHS_(n，k)=$\left[\frac{k}{2}\right]+6$，此时E_n-1^A=$\left\{e_{i \rightarrow 1}: 2 \leqslant i \leqslant\left[\frac{k}{2}\right]+1\right\}$，E_n-1^B={e_k+1→k+2，e_k+2→k+1}，E_n-1^C={e_k+1→1，e_k+2→1}，E_n-1^Λ⊆〈{e_1→k+1，g}∪E_n-1^A∪E_n-1^B∪E_n-1^C〉，从而rankHS_(n，k)=$\left[\frac{k}{2}\right]+6$；

当n-k=1时，rankHS_(n，k)=$\left[\frac{k}{2}\right]+3$；

当n=k时，rankHS_(n，k)=$ \left[\frac{n}{2}\right]+1 $.

综上所述，可得(1)式成立，则定理6得证.