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近年来，很多学者考虑以下薛定谔泊松方程：
文献[1]研究了当
$ g(x, u)=|u|^{p-1} u \text { 时 } V(x)$ 和p的范围，得到了方程(1)的基态解. 当p∈(2，3]，且V(x)下方无界时，文献[2]通过全局紧性引理的方法得到了方程(1)基态解的存在性. 当g(x，u)是次临界的，且V(x)是周期或渐进周期函数时，文献[3]通过山路定理得到了方程(1)基态解的存在性. 当g(x，u)=up，且p∈(1，5)时，文献[4]得到了多个束缚解. 更多的结论我们可以参见文献[5-9]. 虽然，学者们都讨论了在超线性次临界和临界情形下基态解的存在性，但对于临界和超临界的情形，通过Nehari流形方法得到基态径向解的结论还没有被研究. 因此，本文讨论以下薛定谔泊松方程：其中
$p \in(4,6), q \in(6,+\infty) $ ；u5和$b(x)|u|^{q^{2}} u $ 分别是$ \mathbb R ^{3}$ 中的临界项和超临界项，且b(x)满足以下条件：$ \left(\mathrm{B}_{1}\right) r>0, \mathop {\lim }\limits_{|x| \to \infty } \frac{b(x)}{|x|^{r}}=b_{0} \geqslant 0$ ；$\left(\mathrm{B}_{2}\right) b_{\infty}=\mathop {\lim }\limits_{|x| \to \infty } b(x)<\infty $ .通过Nehari流形的方法，我们得到了方程(2)带有临界和超临界指数的薛定谔泊松方程正的径向基态解的存在性. 主要结果如下：
定理1 假设
$p \in(4,6), q \in(6, \infty), \text { 且 } b \in C\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}_{+}\right) $ 是径向函数，b(x)满足条件(B1)，(B2)，则方程(2)存在正的径向基态解.
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本文中，
$H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \text { 和 } D^{1,2}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ 表示通常的Sobolev空间，它们各自定义为相应的范数和内积分别为
我们考虑
$ H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中由径向函数所构成的子空间$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ ，用‖·‖表示其范数，(·，·)表示其内积，〈·，·〉表示$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ 中的元素与其对偶空间[$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ ]*中元素的配对，|·|p表示$L^{p}\left(\mathbb{R}^{3}\right)(p \in[1, \infty)) $ 中的范数，$ |u|_{L_{b}^{q}}=\left(\int_{\mathbb{R}^{3}} b(x)|u|^{q} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{q}}$ 表示空间$L_{b}^{q}\left(\mathbb{R}^{3}\right)=\left\{u: \int_{\mathbb{R}^{3}} b(x)|u|^{q} \mathrm{~d} x<\infty\right\} $ 的范数，其中q∈[2，∞).下面，我们定义与方程(2)相对应的能量泛函
$I: H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \longrightarrow \mathbb{R} $ 为其中
$ \phi_{u} \text { 是 } \mathbb{R}^{3} \text { 中 }-\Delta \phi_{u}=u^{2}$ 的唯一解，这样I在$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ )中定义是良好的，$I \in C^{1} $ (见注1)，而且对任何的$ u, v \in D^{1,2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ ，有因为能量泛函I(u)的临界点
$\left(u, \phi_{u}\right) $ 是方程(2)的弱解，所以下面要寻找I(u)的临界点. 我们将通过Nehari流形的方法. 定义集合我们用S表示最佳Sobolev常数[10]
则有
$S|u|_{6}^{2} \leqslant|\nabla u|_{2}^{2} $ . 如果$u \in H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ ，则而且，最佳常数S通过函数
$\frac{\varepsilon^{\frac{1}{4}}}{\left(\varepsilon+|x|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} $ 取到.
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首先，关于泊松方程解的性质，我们从文献[11]中回顾以下引理：
引理1[11] 对于每个
$u \in H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ ，存在唯一的$\phi_{u} \in D^{1,2}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ 满足$-\Delta \phi_{u}=u^{2}, x \in \mathbb{R}^{3} $ . 其中$\phi_{u}(x)= $ $ \frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb{R}^{3}} \frac{u^{2}(y)}{|x-y|} \mathrm{d} y$ ，而且：(i)
$\left\|\phi_{u}\right\|_{D^{1,2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)}^{2}=\int_{\mathbb{R}^{3}} \phi_{u} u^{2} \mathrm{~d} x $ ；(ii)
$ \phi_{u}(x) \geqslant 0, x \in \mathbb{R}^{3}$ ；(iii) 对于任何
$ t>0, \phi_{tu} =t^{2} \phi_{u} $ ；(iv) 对于任何
$ u \in H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right),\left\|\phi_{u}\right\|_{D^{1,2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)} \leqslant S^{\frac{-1}{2}}|u|_{\frac{12}{5}}^{2},$ $\int_{\mathbb{R}^{3}} \phi_{u} u^{2} \mathrm{~d} x \leqslant S^{-1}|u|_{\frac{12}{5}}^{4} $ ；(v) 如果u是径向的，那么
$\phi_{u} $ 也是径向的；(vi) 如果在
$\mathbb{R}^{3} $ 上几乎处处有$ u_{n} \rightharpoonup u, u_{n} \rightarrow u(n \rightarrow \infty)$ ，则在$ D^{1,2}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \text { 上 } \phi_{u_{n}} \rightharpoonup \phi_{u}$ .引理1说明，方程(2)能被表示为
引理2[12] 若b(x)满足条件(B1)或(B2)，则嵌入
$ H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ $\circlearrowleft $ $ L^{s}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 和$ H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ $\circlearrowleft $ $L_{b}^{q}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ 是紧的，其中$ s \in(2,6), q \in(6,6+2 r), H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ $\circlearrowleft $ $L^{s}\left(\mathbb{R}^{3}\right)(s \in[2,6]) $ 是连续的.引理3[12] 若b(x)满足条件(B1)或(B2)，
$ B: H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, B(u)=\int_{\mathbb{R}^{3}} b(x)|u|^{q} \mathrm{~d} x$ ，在$ H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中$u_{n} \rightharpoonup u $ ，那么，在$ \left[H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\right]^{*} \text { 中 } B\left(u_{n}\right) \rightarrow B(u), B^{\prime}\left(u_{n}\right) \rightarrow B^{\prime}(u)$ ，且B是C1类.注1 根据上面的引理，可以得到
$ I: H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \longrightarrow \mathbb{R}^{3}$ 是C1类.引理4
$N \neq \emptyset $ ，且存在唯一的$ t_{u} \in N$ ，使得$\mathop {\sup }\limits_{t \ge 0} I(tu) = I\left( {{t_u}u} \right)$ .证 根据引理1，
$ \phi_{u}=\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb{R}^{3}} \frac{u^{2}(y)}{|x-y|} \mathrm{d} y$ ，且$ \phi_{t u}=t^{2} \phi_{u} $ . 记$ \alpha(t)=I(t u)$ ，则当t充分小时，我们有同样地，当t充分大时，有
所以
$\alpha^{\prime}(t)>0,0<t<t_{u} ; \alpha^{\prime}(t)<0, t>t_{u} $ . 从而，我们得到即
$ t_{u} u \in N$ . 下面证明唯一性：假设存在
$ t_{v} u \in N$ ，则$I^{\prime}\left(t_{u} u\right) t_{u} u=0, I^{\prime}\left(t_{v} u\right) t_{v} u=0 $ ，从而可得也就是说
$ t_{u}=t_{v}$ ，证明完成.引理5
$ \quad m=\mathop {\inf }\limits_{t \geqslant 0} I(u)>0$ .证 因为
$ u \in N, \text { 故 }\left\langle I^{\prime}(u), u\right\rangle=0$ ，从而可得由于
$p \in(4,6), q \in(6, \infty), \text { 故 } I(u)>0$ ，从而m>0.引理6
$m = \mathop {\inf }\limits_{t \geqslant 0} I(u) < \frac{1}{3}{S^{\frac{3}{2}}} $ .引理7 设
$\left\{u_{n}\right\} \subset H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ ，使得$ I^{\prime}\left(u_{n}\right) \rightarrow 0, I\left(u_{n}\right) \rightarrow m$ ，则{un}是收敛的序列.证 先证{un}是有界的.
根据m的定义及已知条件，可以得到
这就表明{un}是有界的. 下面证明
$ u_{n} \rightharpoonup u \in H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ .由{un}有界，我们能够假设在
$ H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中，在子列意义下$ u_{n} \rightharpoonup u$ ，则在$L^{s}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ 中$u_{n} \rightarrow u $ ，当s∈(2，6)时，在$L_{b}^{q}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ 中$ u_{n} \rightarrow u, u_{n}(x) \rightarrow u(x)\left(\text { a. e. } x \in \mathbb{R}^{3}\right) $ . 又由$I^{\prime}\left(u_{n}\right)=0 $ ，通过计算容易得到$ I^{\prime}(u)=0 $ . 设$v_{n}=u_{n}-u $ ，则由Brézis-Lieb引理[14]，可得根据引理2和引理3，可以得到
则
假设
${v_n} $ $\nrightarrow $ $0 $ ，则让$\left\|v_{n}\right\|^{2} \rightarrow l $ ，由(3)式，$ l \geqslant S l^{\frac{1}{3}}$ ，即$ l \geqslant S^{\frac{3}{2}} $ . 然而有显然与引理6矛盾，故
$v_{n} \rightarrow 0 $ ，从而在$H_{r}^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) $ 中$u_{n} \rightarrow u $ .
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定理1的证明
证 根据I的定义，由Fatou引理，可以得到
因为
$ I(u) \geqslant m $ ，所以$I(u)=m $ .易证
$|u| \in N, I(|u|)=I(u)=m . \text { 令 } u=u^{+}+u^{-} $ . 根据用
$ u^{-}$ 乘上式，可以得到$ \left\|u^{-}\right\|^{2}=0$ ，即$u^{-}=0 $ ，由强极大值原理得u>0.
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