Almost Yamabe Solitons in Riemannian Manifolds

设(Mⁿ，g)为n维黎曼流形，g为黎曼度量. 记Ric为Mⁿ的Ricci曲率张量，S为Mⁿ的数量曲率， $\mathscr{L}$_Vg为度量g沿Mⁿ的切向量场V的Lie导数.

若存在Mⁿ上的光滑向量场V和光滑函数ρ：Mⁿ→ℝ，使得

则称Mⁿ为近Ricci孤立子^[1-2]. 特别地，当光滑函数ρ为常数时，Mⁿ称为Ricci孤立子.

若存在(Mⁿ，g)上的光滑向量场V和光滑函数ρ：Mⁿ→ℝ，使得

则称Mⁿ为近Yamabe孤立子^[3-4]，记为(Mⁿ，g，V，ρ). 若向量场V是Mⁿ上光滑函数f：Mⁿ→ℝ的梯度，则称Mⁿ为梯度近Yamabe孤立子，记为(Mⁿ，g，f，ρ). 特别地，当光滑函数ρ为常数时，Mⁿ称为Yamabe孤立子^[5-6]，梯度近Yamabe孤立子即为梯度Yamabe孤立子.

当n=2时，Ricci孤立子等价于Yamabe孤立子^[7].

近年来，对Yamabe孤立子的刚性分类性结果的研究已经取得了一系列重要进展. 文献[3]证明了完备非紧梯度非平凡近Yamabe孤立子等距于欧氏空间. 文献[6]证明了具有正Ricci曲率的完备非平凡梯度Yamabe孤立子是旋转对称的. 文献[4]给出了欧氏空间中的近Yamabe孤立子的分类结果.

本文考虑近Yamabe孤立子到黎曼流形中的等距浸入问题. 研究思想基于文献[8]的关于近Ricci孤立子到黎曼流形中的等距浸入问题，文献[8]通过推广文献[9]中Ricci孤立子的结构方程，得出有关近Ricci孤立子的结构方程，并由此结构方程得出黎曼流形M^n+p上的近Ricci孤立子是全测地的，以及子流形是全脐的.

为叙述方便，先给出本文需要用到的一些符号.

设φ：Mⁿ→M^n+p为定向子流形Mⁿ到黎曼流形M^n+p的等距浸入，{e₁，…，e_n}为TM的局部标准正交基，则子流形Mⁿ上的平均曲率向量场H定义为

其中h表示Mⁿ的第二基本形式. 若Mⁿ的平均曲率向量场H处处为0，则称Mⁿ是极小子流形. 如果Mⁿ的第二基本形式h=0，那么称Mⁿ是全测地子流形. 若对Mⁿ上的任意光滑向量场X，Y都有h(X，Y)=g(X，Y)H，则称Mⁿ为全脐子流形.

记R，R分别为Mⁿ，M^n+p的黎曼曲率张量，X，Y，Z，W为Mⁿ上的任意光滑向量场. Mⁿ的Gauss方程为

对(2)式求迹，得

其中A为Mⁿ上的形状算子. 若AX=HX，进一步有

由(2)式可知，Mⁿ的数量曲率为

当p=1，且Mⁿ⁺¹是截面曲率为c的空间型时，Mⁿ的数量曲率可表示为

用I表示TM上的单位算子，并令Φ=A-HI，则有tr Φ =0. 从而有

等式成立当且仅当Mⁿ是全脐的.

文献[10]归纳了完备非紧黎曼流形关于次调和函数的Hopf极大值原理. 文献[11]借助文献[10]的结论，将次调和函数的梯度推广到任意向量场X，即为引理1.

引理1^[11] 设完备非紧定向黎曼流形Mⁿ存在光滑向量场V，使得divV在Mⁿ上不改变符号. 若|V|∈L¹(Mⁿ)，则divV =0恒成立.

定理1 设φ：MⁿM^n+p为近Yamabe孤立子(Mⁿ，g，V，ρ)到截面曲率为的黎曼流形M^n+p中的等距浸入，L¹(Mⁿ)为Mⁿ上的Lebesgue可积函数空间. 则下列结论成立：

(i) 若|V|∈L¹(Mⁿ)(Mⁿ)，K≤0且ρ>0，则φ不可能是极小的；

(ii) 若|V|∈L¹(Mⁿ)(Mⁿ)，K < 0且ρ≥0，则φ不可能是极小的；

(iii) 若|V|∈L¹(Mⁿ)(Mⁿ)，K≤0，ρ≥0，且φ是极小的，则Mⁿ是全测地的.

证 利用反证法证明φ不可能是极小的.

(i) 设φ：MⁿM^n+p为近Yamabe孤立子到截面曲率为K的黎曼流形的极小浸入. 由于K≤0，根据(5)式知

另一方面，对方程(1)求迹，可得

再结合(8)，(9)式及定理1(i)中的条件ρ>0可得

而|V|∈L¹(Mⁿ)(Mⁿ)，由引理1知，divV=0，与(10)式矛盾. 故φ不可能是极小的.

(ii) 若K < 0，类似(8)式有S < 0. 结合(9)式及定理1(ii)中的条件ρ≥0，可得

由于|V|∈L¹(Mⁿ)(Mⁿ)，因此(11)式同样与引理1矛盾. 所以φ不可能是极小的.

(iii) 要证Mⁿ是全测地的，只需证Mⁿ的第二基本形式为0. 由于M^n+p的截面曲率K≤0，且浸入是极小的，由(8)式知S≤0. 结合(9)式及定理1(iii)中的条件ρ≥0，可得divV=n(S－ρ)≤0. 而|V|∈L¹(Mⁿ)(Mⁿ)，由引理1知divV=0，于是有0≤ρ=S≤0，即S=ρ=0. 对任意i，j=1，…，n，根据(8)式得

则M^n+p是欧氏空间，且Mⁿ是全测地的. 进而根据Gauss方程(2)知，Mⁿ等距于ℝⁿ.

若黎曼流形M^n+p的截面曲率为常数c，我们有：

定理2设(Mⁿ，g，V，ρ)为到截面曲率为常数c的黎曼流形M^n+p中的等距浸入近Yamabe孤立子，则有以下结论：

(i) 若|V|∈L¹(Mⁿ)(Mⁿ)，且ρ≥n(n-1)c+n²|H|²，则Mⁿ是全测地的，此时ρ=n(n-1)c，数量曲率S=n(n-1)c，其中H表示Mⁿ的平均曲率向量场；

(ii) 若|V|∈L¹(Mⁿ)(Mⁿ)，p=1，且ρ≥n(n-1)(c+|H|²)，则Mⁿ是全脐的. 进而数量曲率S=n(n-1)(c+|H|²)是常数.

证 (i) 要证Mⁿ是全测地的，只需证Mⁿ的第二基本形式为0. 由于M^n+p的截面曲率为常数c，根据(5)式可知

将(12)式代入(9)式，有

结合(13)式和定理2(i)中的条件ρ≥n(n-1)c+n²|H|²，可得divV≤0. 而|V|∈L¹(Mⁿ)(Mⁿ)，由引理1可知divV=0. 再结合(13)式可知

从而Mⁿ是全测地的. 因此|H|=0，进而ρ=n(n-1)c. 将|H|=0代入(12)式得S=n(n-1)c.

(ii) 要证Mⁿ是全脐的，只需证|Φ|²=0. 由(7)式知

将(14)式代入(6)式，有

再将(15)式代入(9)式，可得

结合(16)式和定理2(ii)中的条件ρ≥n(n-1)(c+|H|²)，有divV≤0. 由于|V|∈L¹(Mⁿ)(Mⁿ)，因此由引理1知divV=0. 从而由(16)式可得

即Mⁿ是全脐的. 此时由(15)式知S=n(n-1)(c+|H|²). 根据Gauss公式(2)知，Mⁿ等距于欧氏球面，且截面曲率为c+|H|².

文献[3]证明了：具有常数量曲率S的非平凡紧致梯度近Yamabe孤立子Mⁿ等距于欧氏球面. 同样地，本文考虑近Yamabe孤立子的等距浸入，有如下结果：

定理3设非平凡紧致梯度近Yamabe孤立子(Mⁿ，g，f，ρ)为欧氏单位球面Sⁿ⁺¹的极小子流形. 若数量曲率S≥n(n-2)，则Mⁿ等距于欧氏球面.

证 要证Mⁿ等距于欧氏球面，根据文献[3]，只需证数量曲率S为常数. 由于浸入是极小的，由(6)式知

结合(17)式及定理3中的条件S≥n(n-2)，可得|A|²≤n. 由文献[12]的推论5可知|A|²=0，或者|A|²=n. 从而(17)式为S=n(n-1)，或者S=n(n-2). 由此S为常数，则Mⁿ等距于欧氏球面. 根据Gauss方程(2)知，Mⁿ的截面曲率为1+|H|². 定理3得证.