A Subspace Concentration Inequality about the Mixed Cone-Volume Measure

对于凸体K，Q∈ $\mathscr{K}$ⁿ，若存在常数t>0与x₀∈ℝⁿ，使得Q=x₀+tK，则称Q与K互为位似. int(K)表示K的内点，▽表示梯度.

假设ξ是在ℝⁿ中的j(1≤j≤n-1)维子空间，ξ^⊥是ξ的正交补空间，当X∈ℝⁿ时，X|ξ表示X在ξ上的正交投影集. 函数f_K，ξ：ξ→(0，∞)定义为^[2]

其中，$\mathscr{H}$_n-j表示(n-j)-维Hausdorff测度. f_K，ξ是在K|ξ上的log-concave函数并且在K|ξ内部是正值函数.

性质1^[2] (i) f_K，ξ在int(K)|ξ上是连续的，且f_K，ξ在int(K)|ξ的任何紧子集上是Lipschitz的；

(ii) f_K，ξ在int(K)|ξ上几乎处处可微，也就是说，在int(K)|ξ中存在一个稠密的子集D，且在D上▽f_K，ξ存在.

引理1^[2] 设K∈ $\mathscr{K}$ⁿ，则：

(i) f_K，ξ：K|ξ→(0，∞)是上半连续的；

(ii) 若K∈ $\mathscr{K}$_oⁿ并且x∈K|ξ，则$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {f_{K, ξ}}\left( {{e^{\frac{{ - 1}}{m}}}x} \right) = {f_{K, ξ}}\left( x \right)$.

引理2^[2] 设K∈ $\mathscr{K}$ⁿ，则∫_K|ξ〈▽f_K，ξ(x)，x〉dx存在.

定理1 设K，Q∈ $\mathscr{K}$_oⁿ，且存在常数t>0与x₀∈ℝⁿ，使得Q=x₀+tK. 若ξ是在ℝⁿ中的j(1≤j≤n-1)维子空间，x₀^′=x₀|ξ，则

证 根据支撑函数的定义可知，若z∈∂K，有

又因为Q=x₀+tK，所以对于任意的u∈ $\mathscr{S}$^n-1，有

设f(x)=f_K，ξ(x)，g(x)=x₀^′+tx，令F=f(x)g(x)：K|ξξ，则F是向量场. 由性质1(i)可得F在int(K)|ξ上的任何一个紧子集上是Lipschitz向量场. 假设m是正整数，则集合${E_m} = {e^{ - \frac{1}{m}}}K\left| {ξ \subset {\mathop{\rm int}} \left( K \right)\left| {ξ} \right.} \right.$是紧的Lipschitz区域.

文献[11-12]给出了下面关于Lipschitz区域中Lipschitz向量场的Gauss-Green散度定理：

当y∈∂(K|ξ)时，可得${\upsilon _{K\left| \xi \right.}}\left( y \right) = {\upsilon _{{E_m}}}\left( {{e^{ - \frac{1}{m}}}y} \right)$，则

由引理1(ii)和Lebesgue控制收敛定理，有

为了计算(7)式，假设M=∂K∩(ξ^⊥+∂(K|ξ))，则∂′K∩M与υ_K^-1(ξ∩S ^n-1)上点的集合是一致的. 若z∈∂′K∩M，则υ_K|ξ(z|ξ)=υ_K(z). 因此

如果▽f(x)在x∈int(K)|ξ上存在，则

根据性质1(ii)，我们有

因为∫_K|ξf(x)d $\mathscr{H}$_j(x)=V(K)，故t∫_K|ξf(x)d$\mathscr{H}$_j(x)=V₁(K，Q). 通过引理2，我们有

结合(6)，(9)，(10)式，定理1得证.

定理2 设KQ∈ $\mathscr{K}$_oⁿ，K关于原点对称，且Q与K是位似的，则混合锥体积测度(4)满足子空间集中不等式.

证 因为Q与K是位似的，所以存在常数t>0与x₀∈ℝⁿ，使得Q=x₀+tK. 设ξ是在ℝⁿ中的j(1≤j≤n-1)维子空间，x₀^′=x₀|ξ.

设f(x)=f_K，ξ(x)，因为K是原点对称的凸体，由Brunn-Minkowski不等式可得函数f(x)在原点达到最大值^[2]. 若对于每一个x∈int(K)|ξ，都有▽f(x)存在，则

因此

因为K是一个原点对称的凸体，故f(x)是偶函数.

假设

则

因此每一个不为0的部分${a_i}\frac{{\partial f}}{{\partial {x_i}}}\left( {i = 1, 2, \cdots j} \right)$关于x_i是奇函数.

又因K|ξ在子空间ξ中是一个对称的区域，所以

故可得

结合定理1和性质1可得