The Triviality Results of Compact <i>h</i>-Almost Ricci Solitons

WEI Miao-miao; LIU Jian-cheng

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2021.04.007

In this paper, we study the h-almost Ricci solitons, by using the Divergence theorem and Schur theorem, we obtain the triviality results for compact h-almost Ricci solitons. In details, we prove that the compact h-almost Ricci solitons, which satisfying a appropriate integral condition are Einstein manifolds.

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若黎曼流形(Mⁿ，g)上存在光滑向量场X满足方程

则称Mⁿ为Ricci孤立子，记为(Mⁿ， g，X)，其中Ric为其Ricci张量，$\mathscr{L}$_Xg表示度量g沿X方向的Lie导数，X为孤子场，λ∈ℝ为孤立子常数. 当λ>0(λ=0，或λ < 0)时，称Ricci孤立子为收缩的(稳定的，或扩张的). Ricci孤立子为Ricci流的自相似解，也是Einstein度量的自然推广(参见文献[1-2]).

当使用新的光滑函数λ来替代原来的孤立子常数λ时，称Mⁿ为近Ricci孤立子(参见文献[3]). 同样地，通过改变孤立子方程中的常数项，可得到如下关于h-近Ricci孤立子的推广概念：

若黎曼流形(Mⁿ，g)上存在光滑向量场X以及光滑函数λ，h：M→ℝ，使得

则称Mⁿ为h-近Ricci孤立子(参见文献[4])，记为(Mⁿ，g，X，h，λ). 特别地，若λ为常数，则称Mⁿ为h-Ricci孤立子. 若向量场X为Mⁿ上某个光滑函数f：M→ℝ的梯度，则称Mⁿ为具有势函数f的梯度h-近Ricci孤立子，记为(Mⁿ，g，▽f，h，λ)，此时$\mathscr{L}$_Xg=2▽²f，从而(1)式可重新写为

这里的▽²f为f的Hessian算子.当X为齐性共形向量场时，即对某个常数c，有$\mathscr{L} $ _Xg=cg时，称Mⁿ为平凡的孤立子，否则为非平凡的.

从以上的定义不难看出，1-Ricci孤立子即为Ricci孤立子，1-近Ricci孤立子即为近Ricci孤立子. 目前对于孤立子的研究主要致力于其刚性问题，以及平凡性讨论，且这方面已经取得了比较丰富的研究成果. 文献[5]证明了数量曲率S(S≥0且S∈L¹)的完备扩张Ricci孤立子等距于标准球面. 文献[6]证明了数量曲率可达下界的稳定Ricci孤立子为Ricci平坦的. 文献[6]证明了满足适当积分条件的紧致梯度近Ricci孤立子等距于标准球面$\mathscr{J}$ ⁿ. 文献[4]证明了具有常数量曲率的h-近Ricci孤立子等距于标准球面$\mathscr{J}$ ⁿ. 文献[7]证明了具有非平凡共形向量场的紧致h-近Ricci孤立子等距于欧氏球面$\mathscr{J}$ⁿ. 文献[8]证明了紧致扩张(稳定)的Ricci孤立子为平凡的. 文献[9]证明了具有消失共形Weyl曲率张量的紧致Ricci孤立子为Einstein流形. 文献[10]通过推广文献[6]中推论2的Ricci孤立子的结构方程，得出有关近Ricci孤立子的结构方程，并由此结构方程得出满足适当积分条件的紧致近Ricci孤立子为平凡的. 文献[11]证明了Para-Sasakian流形上具有非零孤子场的梯度h-近Ricci孤立子为Einstein流形.

1. 主要结果

本文采用文献[10]中关于紧致近Ricci孤立子的平凡性结果的研究思路，在适当的积分条件下，证明了紧致h-近Ricci孤立子的平凡性结果，得到了如下主要结果：

定理1 设(Mⁿ，g，X，h，λ)为紧致的h-近Ricci孤立子(n≥3)，且光滑函数h定号(即在M上，或者h>0，或者h < 0，下同). 若

则孤立子场X为Killing向量场，进而Mⁿ为平凡孤立子，即为Einstein流形.

定理2 设(Mⁿ，g，▽f，h，λ)为紧致梯度h-近Ricci孤立子(n≥3)，且光滑函数h定号. 若

则Mⁿ为平凡孤立子，即为Einstein流形.

注1 当h=1时，定理1的积分条件退化为∫_M[Ric(X，X)+(n-2)〈X，▽λ〉]dM≤0，即定理1包含文献[10]的定理3作为其特殊情形.

2. 预备知识及引理

设Mⁿ为一个紧致定向带边的黎曼流形，∂M为Mⁿ的边界，v为∂M上指向Mⁿ内部的单位法向量. 则对于Mⁿ上的任意光滑向量场X，下述积分公式成立：

其中divX为X的散度，∂M具有从Mⁿ诱导的定向.

对于Mⁿ上的任意光滑函数f，其梯度向量场的散度即为Δf. 因此据散度定理可知，对紧致无边的定向黎曼流形，有积分公式∫_MΔfdM=0成立.

引理1^[6] 对黎曼流形(Mⁿ，g)上的任意光滑切向量场X，有

当X是梯度场时，不妨设X=▽f，f∈C^∞(M). Z为任意光滑向量场时，有

引理2 梯度h-近Ricci孤立子(Mⁿ，g，▽f，h，λ)满足

其中R是Mⁿ的数量曲率.

证首先对(2)式求迹，可得

对(3)式求协变微分，有

另外，对(2)式求散度，得到

另有缩并的第二Bianchi恒等式▽R=2div Ric，于是结合(5)式可得

再代入Bochner公式div(▽▽f)=Ric(▽f，·)+▽Δf，便有

代入(4)式，得到

即

引理2得证.

3. 主要结果的证明

定理1的证明 为证紧致h-近Ricci孤立子为平凡的，只需证对Mⁿ上的任意光滑向量场X，有$\mathscr{L}$_Xg=0，即证对Mⁿ上的任意光滑切向量场Y，Z，有

由于

则只需证得▽X=0即可.

首先，对(1)式求迹，有

对(6)式沿X的方向求协变微分，可得

又由引理1知

于是将(7)式代入(8)式中，可得

对(1)式求散度，有

从而将(10)式代入(9)式，可得

结合缩并的第二Bianchi恒等式▽R=2div Ric及(11)式，即可得到

又由(1)式知

将(13)式代入(12)式，可得

由于Mⁿ紧致，因此对上式两端在Mⁿ上积分并应用散度定理，得

结合定理1的积分条件，得到

即▽X=0. 进而，对Mⁿ上的任意光滑切向量场Y，Z，有

即孤立子场X为Killing场. 因此，孤立子方程(1)即为

其中λ为Mⁿ上的光滑函数，由Schur引理知λ为常数，从而Mⁿ为Einstein流形. 定理1得证.

定理2的证明 不妨设孤立子场X=▽f，其中f∈C^∞(M). 于是，对Mⁿ上的任意光滑切向量场Y，Z，有

由此，为证紧致梯度h-近Ricci孤立子为平凡的，只需证对Mⁿ上的任意光滑切向量场Y，Z，有▽²f(Y，Z)=0即可.

事实上，由(12)式可得

结合引理2式及(14)式，有

由于Mⁿ紧致，因此对上式两端在Mⁿ上积分，并应用散度定理，得到

结合定理2的积分条件，得到

即▽²f=0，从而对Mⁿ上的任意光滑切向量场Y，Z，有

于是，梯度h-近Ricci孤立子方程即为

其中λ为Mⁿ上的光滑函数，由Schur引理知λ为常数，从而Mⁿ为Einstein流形. 定理2得证.

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