On Classification of Maximal (Regular) Subsemigroups of Semigroup $ \mathscr{T}$_{n, r}

设$ \mathscr{J}_n$和$ \mathscr{T}_n$分别是X_n={1，2，…，n}上的对称群和全变换半群. 对1≤r≤n，令

则$ \mathscr{T}$(n，r)是全变换半群$ \mathscr{T}_n$的双边理想. 记Sing_n=$ \mathscr{T}_n$\$ \mathscr{J}_n$，称Sing_n为X_n上的奇异变换半群. 显然

半群理论是群理论的自然推广，半群子结构的研究一直都是半群理论研究的热点问题之一，目前已有许多研究成果^[1-18]. 特别地，文献[1]刻画了全变换半群的理想$ \mathscr{T}$(n，r)的极大正则子半群；文献[2]得到了全变换半群的理想$ \mathscr{T}$(n，r)的极大子半群的完全分类；文献[3]研究了保序变换半群的理想的极大正则子半群的完全分类；文献[4]得到了方向保序变换半群的理想的极大子半群的完全分类；文献[9]刻画了全变换半群的理想$ \mathscr{T}$(n，r)的极大正则幂等元生成子半群的完全分类；文献[15]得到了全变换半群的理想$ \mathscr{T}$(n，r)的局部极大正则幂等元生成子半群的完全分类；文献[10]考虑了半群

刻画了$ \mathscr{T}_{{n, r}}$的生成集，并得到了半群$ \mathscr{T}_{{n, r}}$的秩. 注意到${\mathscr{T}_{n, n - 1}} $=$ \mathscr{T}_n$. 本文考虑半群$ \mathscr{T}_{{n, r}}$的极大子半群和极大正则子半群，得到了半群$ \mathscr{T}_{{n, r}}$的极大子半群和极大正则子半群的完全分类.

设U是半群S的任意子集，通常用E(U)表示U中的幂等元之集. 本文未定义的术语及记法参见文献[19].

设α∈$ \mathscr{T}_n$，记ker(α)={(x，y)∈X_n×X_n：xα=yα}，则ker(α)是X_n上的等价关系，称ker(α)为α的核. 通常用im(α)表示集合{xα：x∈X_n}，称im(α)为α的像.

众所周知，全变换半群$ \mathscr{T}_n$中的Green关系为：对任意α，β∈$ \mathscr{T}_n$，有

对1≤r≤n，记

则J-类J₁，…，J_n恰好是$ \mathscr{T}_n$的n个J-类. 显然$ \mathscr{J}_n$=J_n且$ \mathscr{T}_{{n, r}}$=$ \mathscr{J}_n$∪$ \mathscr{T}$(n，r)=$ \mathscr{J}_n$∪J_r∪…∪J₁.

任意取n，r∈ $ {{\mathbb{N}}_{+}}$且r≤n，令

称集合P_r(n)中的元素(x₁，x₂，…，x_r)为n的一个r-划分，记为p_r(n)=|P_r(n)|.

设α∈J_r，则α有如下标准形式：

其中a₁ < a₂ < … < a_r. 显然存在σ∈$ \mathscr{S}_r$($ \mathscr{S}_r$表示{1，…，r}上的对称群)，使得|A_1σ|≥|A_2σ|≥…≥|A_rσ|≥1. 记

称part(α)为α的划分. 显然part(α)∈P_r(n).

在J_r上引入关系~：α~β即存在λ，μ∈$ \mathscr{J}_n$，使得α=λβμ. 易验证~是J_r上的等价关系.

引理1^[10]   设α，β∈J_r，则α~β当且仅当part(α)=part(β).

对任意α∈J_r，记

则Γ_n，r是~在J_r上所决定的一个分类，[β]是β所在的等价类. 由引理1易知，J_r中有p_r(n)个~等价类，从而|Γ_n，r|=p_r(n). 设~在J_r上所决定的所有等价类为[τ₁]，[τ₂]，…，[τ_p]，其中p=p_r(n)(1≤r≤n). 显然Γ_n，r={[τ_i]：1≤i≤p}且J_r=$ \bigcup\limits_{i=1}^{p}$[τ_i].

引理2^[15]   设1≤r≤n-1，则$ \mathscr{T}$(n，r)=〈E(J_r)〉，且$ \mathscr{T}$(n，r)是正则子半群.

引理3   设1≤r≤n-1，S是$ \mathscr{T}_{n, r}$的子半群，若$ \mathscr{J}_n$⊆S且S∩[τ_i]≠Ø，则对任意1≤i≤p=p_r(n)，有S=$ \mathscr{T}_{n, r}$.

证   注意到J_r=$ \bigcup\limits_{i=1}^{p}$[τ_i]. 对任意1≤i≤p，取定α_i∈S∩[τ_i]. 任意取β_i∈[τ_i]，则α_i~β_i，于是存在λ，μ∈$ \mathscr{J}_n$，使得β_i=λα_iμ，从而β_i∈〈$ \mathscr{J}_n$，α_i〉⊆S. 由β_i的任意性可得，J_r=$ \bigcup\limits_{i=1}^{p}$[τ_i]⊆S. 于是由引理2可得$ \mathscr{T}$(n，r)=〈E(J_r)〉=〈J_r〉⊆S，从而由$ \mathscr{J}_n$⊆S可得S=$ \mathscr{T}$(n，r)∪$ \mathscr{J}_n$=$ \mathscr{T}_{n, r}$.

定义1   设S是半群，M是S的真子半群，若对S的任意子半群T，由M⊆T可推出T=M或T=S，则称M是S的极大子半群.

引理4   设1≤r≤n-1且1≤i≤p=p_r(n)，则$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]是$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大子半群.

证   注意到J_r=$ \bigcup\limits_{j=1}^{p}$[τ_j]且$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]=$ \mathscr{T}$(n，r-1)∪[J_r\[τ_i]]∪$ \mathscr{J}_n$，显然τ_j∈$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]，j∈{1，…，p}\i. 任意取α，β∈$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]，若αβ∈[τ_i]，则α，β∈J_r且αβ~τ_i，于是存在λ，μ∈$ \mathscr{J}_n$，使得αβ=λτ_iμ∈J_r. 由α，β，αβ∈J_r可得ker(αβ)=ker(α)，从而part(αβ)=part(α). 显然λτ_iμ~τ_i. 由引理1可得，part(λτ_iμ)=part(τ_i)，于是part(α)=part(αβ)=part(λτ_iμ)=part(τ_i)，从而由引理1可得α~τ_i，与α∈$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]，矛盾. 因此，$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]是$ \mathscr{T}_{n, r}$的子半群.

假设S是$ \mathscr{T}_{n, r}$的子半群且[$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]]⊂S，则$ \mathscr{J}_n$⊆S且S∩[τ_j]≠Ø，对任意1≤j≤p=p_r(n)，由引理3可得S=$ \mathscr{T}_{n, r}$. 因此，$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]是$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大子半群.

引理5   设1≤r≤n-1且G是群$ \mathscr{J}_n$的极大子半群，则M=$ \mathscr{T}$(n，r)∪G是$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大子半群.

证   显然M是$ \mathscr{T}_{n, r}$的子半群. 若M不是$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大子半群，则存在$ \mathscr{T}_{n, r}$的子半群M^*，使得M⊂M^*⊂$ \mathscr{T}_{n, r}$. 注意到$ \mathscr{T}$(n，r)⊆M⊂M^*. 令G^*=M^*∩$ \mathscr{J}_n$，则G^*是$ \mathscr{J}_n$的子半群且G⊂G^*⊂$ \mathscr{J}_n$，与G的极大性矛盾. 因此，M是$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大子半群.

本文的主要结论为：

定理1   设1≤r≤n-1，则半群$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大子半群有且仅有以下两类：

(i) $ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]，其中1≤i≤p=p_r(n)；

(ii) $ \mathscr{T}$(n，r)∪G，其中G是群$ \mathscr{J}_n$的极大子半群.

证   令M_i=$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]且N=$ \mathscr{T}$(n，r)∪G，其中G是群$ \mathscr{J}_n$的极大子半群，则由引理4及引理5可知，M_i和N都是$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大子半群.

反之，设S是$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大子半群，则$ \mathscr{J}_n$∩S≠Ø(否则，S⊆$ \mathscr{T}$(n，r)⊂N⊂$ \mathscr{T}_{n, r}$，与S的极大性矛盾).

(i) 若$ \mathscr{J}_n$⊆S，则由引理3及S的极大性可得，存在i∈{1，2，…，p}，使得S∩[τ_i]=Ø，于是S⊆$ \mathscr{J}_n$∪[$ \mathscr{T}$(n，r)\[δ_i]]=$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]=M_i，从而由S的极大性可得S=M_i=$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i].

(ii) 若$ \mathscr{J}_n$∩S⊂$ \mathscr{J}_n$，令G=$ \mathscr{J}_n$∩S，则G是半群$ \mathscr{J}_n$的子半群. 假设存在$ \mathscr{J}_n$的子半群G^*，使得G⊂G^*. 令S^*=$ \mathscr{T}$(n，r)∪G^*，则S^*是$ \mathscr{T}_{n, r}$的子半群且S⊂S^*，于是由S的极大性可得S^*=$ \mathscr{T}_{n, r}$，从而G^*=$ \mathscr{J}_n$. 因此，G是群$ \mathscr{J}_n$的极大子半群. 注意到S⊆$ \mathscr{T}$(n，r)∪G=N⊂$ \mathscr{T}_{n, r}$. 再由引理5及S的极大性可得S=N=$ \mathscr{T}$(n，r)∪G.

当r=n-1时，p_r(n)=1，从而J_n-1=[τ₁]. 显然${\mathscr{T}_{n, n - 1}} $=$ \mathscr{T}_n$=Sing_n∪$ \mathscr{J}_n$=$ \mathscr{T}$(n，n-2)∪$ \mathscr{J}_n$∪J_n-1. 由定理1可得以下推论：

推论1   设n≥4，则$ \mathscr{T}_n$=${\mathscr{T}_{n, n - 1}} $的极大子半群有且仅有以下两类：

(i) $ \mathscr{T}$(n，n-2)∪$ \mathscr{J}_n$；

(ii) Sing_n∪G，其中G是群$ \mathscr{J}_n$的极大子半群.

引理6   设1≤r≤n-1且1≤i≤p=p_r(n)，则$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]是$ \mathscr{T}_{n, r}$的正则子半群.

证   注意到$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]=$ \mathscr{T}$(n，r-1)∪[J_r\[τ_i]]∪$ \mathscr{J}_n$. 显然$ \mathscr{J}_n$是正则半群. 由引理2可知，$ \mathscr{T}$(n，r-1)是正则半群. 若J_r\[τ_i]≠Ø，任意取α∈J_r\[τ_i]，则|im(α)|=r. 假设

其中a₁ < a₂ < … < a_r. 令

其中a_i∈B_i且|A_i|=|B_i|(1≤i≤r)，则显然α=αβα且part(α)=part(β)，于是由引理1可得β~α，从而β∈$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]. 由α=αβα可得，α是正则的. 再由α的任意性可得，半群$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]是正则半群.

由引理2易知半群$ \mathscr{T}_{n, r}$是正则半群. 我们可以考虑半群$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大正则半群.

定义2   设S是正则半群，M是S的真子正则半群，若对S的任意正则子半群T，由M⊆T可推出T=M或T=S，则称M是S的极大正则子半群.

定理2   设1≤r≤n-1，则半群$ \mathscr{T}_{{n, r}}$的极大子半群和极大正则子半群是一致的.

证   设M_i=$ \mathscr{T}_{n, r}$\[τ_i]，1≤i≤p=p_r(n)，且N=$ \mathscr{T}$(n，r)∪G，G是群$ \mathscr{J}_n$的极大子半群，则由引理2及引理6可得，M_i和N都是$ \mathscr{T}_{n, r}$的正则子半群，从而由定理1可得，半群$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大子半群都是正则半群. 显然半群$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大正则子半群必包含在某一个极大子半群中. 因此，半群$ \mathscr{T}_{n, r}$的极大子半群和极大正则子半群是一致的.

注1   由定理1、定理2可得如下结论：设n≥4，则$ \mathscr{T}_n$=${\mathscr{T}_{n, n - 1}} $的极大正则子半群S有且仅有两类：S=$ \mathscr{T}$(n，n-2)∪$ \mathscr{J}_n$和S=Sing_n∪G，其中G是群$ \mathscr{J}_n$的极大子半群. 此结论为文献[1]的主要定理(见文献[1]中定理1). 因此，本文所得定理1、定理2是文献[1]结果的推广.