Strongly τ-Extending Modules

Extending模的概念可以追溯到20世纪30年代Neumann的工作，他对量子力学的兴趣使他发展了连续几何学，我们今天称之为上下连续完全模格. 文献[1]引入了t-本质子模的概念，利用第二奇异子模的方法研究了t-Extending模的性质. 文献[2-4]对t-Extending模进行了推广，先后研究了t-拟连续模、t-连续模等. 文献[5]从遗传挠理论的角度引入了τ-本质子模和τ-Extending模的概念，证明了：模M的每个子模都有唯一的τ-闭包. 文献[6]引入了强Extending模的概念，它是Extending模类的一个子类. 文献[7]借助强Extending模和t-Extending模的定义，引入了强t-Extending模的概念，对Extending模进行了进一步推广. 与Extending环和模相关的研究课题还得到了许多其他有意义的结论(参见文献[8-14]).

本文从遗传挠理论的角度提出了强τ-Extending模的概念，它是τ-Extending模的推广. 文中研究了强τ-Extending模的性质，讨论了τ-Extending模与强τ-Extending模之间的关系，考虑了强τ-Extending模关于直和因子以及直和的封闭性. 对于M=⊕_i∈IM_i(|I|≥2)，给出了M是强τ-Extending模的等价刻画.

本文中的挠理论均指遗传挠理论，环都是有单位元的结合环，模指酉右R-模. 用N≤_eM，N$\vartriangleleft $M分别表示N是M的本质子模，N是M的全不变子模. 设N≤M，如果对任意A≤M，只要N∩A⊆τ(M)，都有A⊆τ(M)，则称N是M的τ-本质子模，记为N$\vartriangleleft $_τM，此时也称M是N的τ-本质扩张. 如果N没有真τ-本质扩张，则称N是M的τ-闭子模，记为N≤_tcM. 设K，N≤M，如果K是{L≤M|L∩N⊆τ(M)}中的极大元，则称K是N在M中的τ-补. 如果τ-挠类$ \mathscr{T}$关于内射包封闭，则称挠理论是稳定的.

引理1   设L≤M，考虑以下条件：

(i) L$ \vartriangleleft$M；

(ii) (L+τ(M))/τ(M)≤_eM/τ(M)；

(iii) L+τ(M)≤_eM.

则(i)⇔(ii)⇒(iii). 特别地，若挠理论τ是稳定的，则(i)⇔(ii)⇔(iii).

证   (i)⇔(ii) 由文献[12]的性质2.2得证.

(ii) ⇒(iii) 由文献[13]的性质1.5得证.

若τ是稳定的挠理论，则由文献[14]知，τ(M)是M的闭子模. 于是由文献[13]的性质1.10可以得到，若L+τ(M)≤_eM，则(L+τ(M))/τ(M)≤_eM/τ(M).

定义1^[6]   如果M的任意子模是其全不变直和因子的本质子模，则称M是强Extending模.

下面给出强τ-Extending模的概念.

定义2   如果M的每个τ-闭子模是M的全不变直和因子，则称M是强τ-Extending模.

由文献[6]易知，强τ-Extending模是τ-Extending模，但下面的例子说明τ-Extending模未必是强τ-Extending模：

例1   设F是域，$ R = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} F&F\\ 0&F \end{array}} \right)$，M是任意R-模. 则τ_G(M)⊕R是τ-Extending模，其中τ_G表示Goldie挠理论. 但由文献[7]的例3.4知，R_R不是强Extending模，所以τ_G(M)⊕R不是强τ-Extending模.

如果模M的任意直和因子的交仍是M的直和因子，则称M具有SSIP性质.

性质1  若M是强τ-Extending模，则M的包含τ(M)的直和因子具有SSIP性质.

证  设M是强τ-Extending模，{M_i}_i∈I是由M的包含τ(M)的直和因子构成的模族. 则对任意i∈I，存在e_i=e_i²∈End(M)，使得M_i=e_iM. 若∩_i∈IM_i=0，则结论显然成立；若∩_i∈IM_i≠0，则存在e∈S_l(End(M))，使得∩_i∈IM_i$\vartriangleleft $_τeM. 由于τ(M)⊆∩_i∈IM_i，由引理1知，∩_i∈IM_i≤_eeM. 于是对任意i∈I，(1－e_i)M∩eM=0，因此e_iM⊆eM. 从而∩_i∈IM_i=eM.

性质2   设M是模. 则以下结论成立：

(i) M是强τ-Extending模当且仅当对任意N≤M，存在M的全不变直和因子K，使得N$\vartriangleleft $_τK；

(ii) 设M₁是M的直和因子. 若M是强τ-Extending模，则M₁是强τ-Extending模.

证   (i) 必要性  设M是强τ-Extending模，N≤M. 由文献[5]的性质2.5知，存在N≤_τcM，使得N$\vartriangleleft $_τN. 因为M是强τ-Extending模，所以N是M的全不变直和因子.

充分性  设L≤_τcM，则存在M的全不变直和因子K，使得L$\vartriangleleft $_τK. 因为L在M中是τ-闭的，所以L=K. 从而L是M的全不变直和因子.

(ii) 设M=M₁⊕M₂，N≤_τcM₁. 由文献5的性质2.8知，N⊕M₂是M的τ-闭子模，故N⊕M₂是M的全不变直和因子. 设M=(N⊕M₂)⊕W，则

即N是M₁的直和因子. 设f∈End(M₁)，则f⊕1_M2∈End(M). 于是

因此f(N)⊆N. 从而M₁是强τ-Extending模.

由性质2，可得下面推论：

推论1   若M是τ-挠的，则M是强τ-Extending模.

证   若M是τ-挠的，则对任意N≤M，都有N$\vartriangleleft $_τM，由性质2知，M是强τ-Extending模.

推论2   设M是强τ-Extending模，则以下结论成立：

(i) 若L≤_τcM，则L是强τ-Extending模；

(ii) τ(M)是M的全不变直和因子.

证   (i) 设N≤_τcL，则由文献[5]的定理2.13知，N≤_τcM. 因为M是强τ-Extending模，所以N是M的全不变直和因子. 设M=N⊕H，则L=L∩(N⊕H)=N⊕(L∩H)，即N是L的直和因子. 另一方面，由于N是M的全不变直和因子，由文献[11]的引理1.1知，N在L中是全不变的. 从而L是强τ-Extending模.

(ii) 由文献[5]的引理2.3知，τ(M)是M的τ-闭子模，所以τ(M)是M的全不变直和因子.

下面我们讨论强τ-Extending模的关于直和的封闭性. 下面的例子说明强τ-Extending模的直和不一定是强τ-Extending模：

例2   设M=M₁⊕M₂，其中M₁=Z_p⊕Z，M₂=Z_q⊕Q(p，q是整数). 由文献[7]知，(M₁)_Z和(M₂)_Z都是强τ_G-Extending模，其中τ_G表示Goldie挠理论. 但由于Z在Z⊕Q中不是全不变的，故M不是强τ_G-Extending模.

一个自然而然的问题是：什么情况下强τ-Extending模的直和仍是强τ-Extending模?我们给出了该问题成立的局部条件.

定理1   设M=M₁⊕M₂. 若M₁是τ-挠自由的强τ-Extending模，M₂是τ-挠模，则M是强τ-Extending模.

证   设M₁是τ-挠自由的强τ-Extending模，M₂是τ-挠模，则τ(M₁)=0，τ(M₂)=M₂. 设K≤_τcM，由文献[5]知，K在M中是τ-纯的，因此

于是

由文献[5]的性质2.5知，存在L≤M₁，使得K∩M₁$\vartriangleleft $_τL. 于是由文献[5]的性质2.1知

因为K≤_τcM，所以(K∩M₁)⊕M₂=L⊕M₂. 因此K∩M₁=L，即K∩M₁是M₁的τ-闭子模. 由于M₁是强τ-Extending模，故K∩M₁是M₁的全不变直和因子，因此K是M的直和因子. 下证K在M中是全不变的. 设f∈End(M)，则$ f = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_{11}}}&{{f_{12}}}\\ {{f_{21}}}&{{f_{22}}} \end{array}} \right)$，其中f_ij：M_j→M_i(i，j=1，2). 由于M₂是τ-挠的，故对任意g∈End(M₂)，有

而

故$ f = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_{11}}}&0\\ {{f_{21}}}&{{f_{22}}} \end{array}} \right)$. 因为

所以

从而K是M的全不变直和因子.

由定理1易得如下结论:

推论3   设M=M₁⊕M₂. 若M₁是强τ-Extending模，M₂是τ-挠模，则M是强τ-Extending模.

证   对M₁分情况讨论.

情形1   若M₁是τ-挠的，则M=M₁⊕M₂是τ-挠的，由推论1知，M是强τ-Extending模.

情形2   若M₁是非τ-挠的，由推论2知，存在W≤M₁，使得M₁=τ(M₁)⊕W. 于是

由性质2知，W是强τ-Extending模，且τ(W)=τ(M₁/τ(M₁))=0. 由定理1知，M是强τ-Extending模.

综合上述，M是强τ-Extending模.

最后，对于M=⊕_i∈IM_i(|I|≥2)，我们给出M是强τ-Extending模的等价刻画：

定理2   设M=⊕_i∈IM_i(|I|≥2)，则以下结论等价：

(i) M是强τ-Extending模；

(ii) 存在i≠j∈I，使得对任意K≤_τcM，若K∩M_i⊆τ(M)或K∩M_j⊆τ(M)，则K是M的全不变直和因子；

(iii) 存在i≠j∈I，使得M_j或M_i在M中的任意τ-补是强τ-Extending模且是M的全不变直和因子.

证   (i)⇒(ii) 由强τ-Extending模的定义易证.

(ii) ⇒(iii) 设K是M_i在M中的τ-补，则K∩M_i⊆τ(M). 由(ii)可以得到，K是M的全不变直和因子. 下证K是强τ-Extending模. 设L≤_τcK，则L≤_τcM. 而L∩M_i⊆K∩M_i⊆τ(M)，由(ii)可以得到，L是M的全不变直和因子. 由文献[11]知，L是K的全不变直和因子. 从而K是强τ-Extending模.

(iii) ⇒(i) 设N≤_τcM，由文献[5]的性质2.5知，存在L≤N，使得L是N∩M_i在N中的τ-闭包. 故0=(N∩M_i)∩M_j$\vartriangleleft $_τL∩M_j，从而L∩M_j⊆τ(L)⊆τ(M). 于是存在M_j在M中的τ-补E，使得L⊆E. 由(iii)可以得到，E是强τ-Extending模且是M的全不变直和因子. 因为L≤_τcN，所以L≤_τcE. 因此L是E的全不变直和因子，从而L是M的全不变直和因子. 设存在L′≤M，使得M=L⊕L′，则

于是存在K≤N，使得K是N∩L′在N中的τ-闭包. 类似地，可知K∩L⊆τ(K)⊆τ(M)，且K=K∩N=(K∩L)⊕(N∩L′). 下证K∩M_i⊆τ(M). 设m∈K∩M_i，则m=a+b，其中a∈K∩L，b∈N∩L′. 因此m－b=a∈M_i+(N∩L′). 因为K∩L∈$ {\mathscr{T}}$，所以(0∶a)∈$ {\mathscr{R}_{\rm{r}}}$(R). 又因为M_i∩(N∩L′)=0，于是

因此(0∶ －b)∈ $ {\mathscr{R}_{\rm{r}}}$(R)，从而Rb∈$ {\mathscr{T}}$. 由于L在N中是τ-闭的，故L在N中是τ-纯的，于是b∈N∩L′≌N/L∈$ {\mathscr{F}}$. 因此b=0，从而m=a∈τ(M). 由(iii)知，K=(K∩L)⊕(N∩L′)是强τ-Extending模且是M的全不变直和因子. 因为N∩L′≤_τcK，所以N∩L′是K的全不变直和因子. 从而N∩L′是M的全不变直和因子. 因此N=L⊕(N∩L′)是M的直和因子，从而M是强τ-Extending模.

推论4   设M=M₁⊕M₂，则以下结论等价：

(i) M是强τ-Extending模；

(ii) 对任意K≤_τcM，若K∩M₁⊆τ(M)或K∩M₂⊆τ(M)，则K是M的全不变直和因子；

(iii) 对任意K≤_τcM，若K∩M₁$\vartriangleleft $_τK或K∩M₂$\vartriangleleft $_τK，或K∩M₁⊆τ(M)及K∩M₂⊆τ(M)，则K是M的全不变直和因子.

证   (i)⇔(ii)和(i)⇒(iii)由定义2和定理2易证.

(iii) ⇒(ii) 设L≤_τcM，且满足L∩M₂⊆τ(M). 由文献[5]知，存在K≤L，使得K是L∩M₁在L中的τ-闭包，易知K是M的τ-闭子模. 因为L∩M₁$\vartriangleleft $_τK，所以L∩M₁=K∩M₁$\vartriangleleft $_τK，由(iii)可以得到，K是M的全不变直和因子. 不妨设M=K⊕H，则

由文献[11]知，K在N中是全不变的. 类似地，存在N≤L，使得N是L∩H在L中的τ-闭包，易知N是M的τ-闭子模. 因为

而L∩H$\vartriangleleft $_τN，所以N∩K⊆τ(N)⊆τ(M)，且

由定理2的证明过程类似可得N∩M_i⊆τ(M)(i=1，2). 由(iii)可以得到，N是M的全不变直和因子，因此L∩H是M的直和因子. 不妨设M=(L∩H)⊕P，则

即L∩H是H的直和因子. 从而L=K⊕(L∩H)是M的全不变直和因子.