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2021 Volume 46 Issue 8
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JI Zhan-jiang, SHI Wei. On Chain Transitive and Strong Chain Recurrent Point in the Lift Space[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2021, 46(8): 47-50. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2021.08.009
Citation: JI Zhan-jiang, SHI Wei. On Chain Transitive and Strong Chain Recurrent Point in the Lift Space[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2021, 46(8): 47-50. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2021.08.009

On Chain Transitive and Strong Chain Recurrent Point in the Lift Space

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  • Corresponding author: SHI Wei
  • Received Date: 23/07/2020
    Available Online: 20/08/2021
  • MSC: O189.11

  • The dynamical characteristics of chain transitive and the topological structure of strong chain recurrent point set are studied in the local equidistant lift space. With the property of the locally equidistant lift map, some new results of chain transitive and strong chain recurrent point set are obtained: If the map f is the lift map of the map f under locally equidistant, then the map f is chain transitive if and only if the map f is chain transitive; If the map f is the lift map of the map f under locally equidistant, then we have π(SCR(f))⊂SCR(f). These conclusions generalize and improve the results of chain transitive and strong chain recurrent point set in the existing literature.
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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com
  • 1. 

    沈阳化工大学材料科学与工程学院 沈阳 110142

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On Chain Transitive and Strong Chain Recurrent Point in the Lift Space

    Corresponding author: SHI Wei

Abstract: The dynamical characteristics of chain transitive and the topological structure of strong chain recurrent point set are studied in the local equidistant lift space. With the property of the locally equidistant lift map, some new results of chain transitive and strong chain recurrent point set are obtained: If the map f is the lift map of the map f under locally equidistant, then the map f is chain transitive if and only if the map f is chain transitive; If the map f is the lift map of the map f under locally equidistant, then we have π(SCR(f))⊂SCR(f). These conclusions generalize and improve the results of chain transitive and strong chain recurrent point set in the existing literature.

  • 链传递是动力系统中的重要性质,在动力系统的研究中起着重要的作用,其核心是拓扑空间上自映射迭代产生的序列轨道的渐进性质和拓扑结构. 一个系统是链传递,就意味着空间中任意两个点总能找到一条有限的伪轨将其连接起来. 有关链传递的研究成果见文献[1-8]. 文献[1]证明了:若映射f具有d-跟踪性,则f是链传递的. 文献[2]指出:具有跟踪性的链传递系统一定是等度连续或者敏感的. 文献[3]证明了:若映射f是满射,且f具有0-平均跟踪性,则f是链传递的. 文献[4]证明了:非自治动力系统中拓扑传递性蕴含链传递性. 另外,不动点[9-10]和强链回归点[11-13]是拓扑动力系统研究的重点,文献[11]证明了:强链回归点集对连续映射不变. 文献[12]证明了:强链回归点集对同胚映射强不变. 文献[13]证明了:连续映射g的强链回归点集是连续映射f的强链回归点集在拓扑共轭映射h下的象;连续映射fn的强链回归点集是连续映射f的强链回归点集的子集.

    众所周知,提升系统是研究n维环面等特殊流形上动力系统的一个重要工具,一个系统与它的提升系统的动力学性质是否一致成为研究的重点,有关研究成果见文献[14-16]. 考虑到提升空间、链传递性和强链回归点都是目前动力系统研究的热点,本文选择在提升空间中研究链传递性和强链回归点集的动力学性质,通过证明得到:f是链传递的当且仅当f是链传递的;π(SCR(f))⊂SCR(f). 这些结论丰富了提升空间中链传递性和强链回归点集的相关理论.

    定义1  设XY是拓扑空间,若fXY是一一映射,且ff-1都是连续的,则称f是同胚映射.

    定义2[17]  设(Xd1)和(Yd2)是度量空间,fXY是一一映射,若对任意的xyX,有d2(f(x),f(y))=d1(xy),则称f是等距映射.

    定义3[17]  设(Xd)和(Xd)是度量空间,πXX是连续满射,若对任意的xX,存在x的开邻域U(x),使得

    并且对所有的απ|UαUαUx是同胚映射,则称π是覆盖映射.

    定义4[17]  设(Xd)和(Xd)是度量空间,若πXX是覆盖映射,并且对所有的απ|UαUαUx是等距映射,则称π是局部等距覆盖映射.

    定义5[17]  设(Xd)和(Xd)是度量空间,πXX是覆盖映射,fXX连续,fXX连续,若πf=fπ,则称ff的提升映射,(Xf)是(Xf)的提升空间.

    定义6[17]  设(Xd)和(Xd)是度量空间,πXX是局部等距覆盖映射,fXX连续,fXX连续,若πf=fπ,则称ff局部等距下的提升映射,(Xf)是(Xf)局部等距下的提升空间.

    定义7  设(Xd)是度量空间,fXX连续,δ>0,{xi}i=0nX中的有限序列,若∀0≤i < n,有d(f(xi),xi+1) < δ,则称{xi}i=0nfδ-链.

    定义8  设(Xd)是度量空间,fXX连续,若∀xyX,∀ε>0,存在f作用下的ε-链{xi}i=0n(x0=xxn=y),则称f具有链传递性.

    定义9  设(Xd)是度量空间,fXX连续,δ>0,{xi}i=0nX中的有限序列,若$\sum\limits_{i=0}^{n-1} d\left(f\left(x_{i}\right)\right.$,则称{xi}i=0nf的强δ-链.

    定义10  设(Xd)是度量空间,fXX连续,xX,若∀ε>0,存在f作用下的强ε-链{xi}i=0n(x0=xn=x),则称xf的强链回归点. f的强链回归点集用SCR(f)表示.

    引理1 设(Xd)和(Xd)是紧致度量空间,πXX是局部等距覆盖映射,fXX连续,fXX连续,若ff局部等距下的提升映射,则存在δ0>0,对任意的xX,任意的0 < δδ0π|B(xδ)B(xδ)→B(π(x),δ)是等距同胚映射.

      由πXX是局部等距覆盖映射知,对任意的xX,存在x的开邻域U(x),使得

    并且对所有的απ|UαUαUx是等距同胚的. 取

    ΓX的开覆盖. 由X的紧致性知,开覆盖Γ存在勒贝格数δ′. 取$\delta_{0}=\frac{\delta^{\prime}}{2}$. 由勒贝格数引理知,对任意的xX,任意的0 < δδ0,存在UrΓ使得B(xδ)⊂Uγ,故π|B(xδ)B(xδ)→B(π(x),δ)是等距同胚映射.

    定理1  设(Xd)和(Xd)是度量空间,πXX局部等距覆盖映射,fXX连续,fXX连续,若ff局部等距下的提升映射,则f是链传递的当且仅当f是链传递的.

     设f是链传递的,∀xyX,∀0 < ε < δ0,其中δ0是引理1中的常数,由πXX是满射知,可取xXyX满足π(x)=xπ(y)=y. 由f是链传递的知,存在f作用下的ε-链{xi}i=0n,其中x0=xxn=y. 故当0≤i < n时,有

    xi=π(xi),0≤in,则x0=xxn=y. 由ff的提升映射知πf=fπ,故

    再由引理1知,π|B(f(xi),ε)B(f(xi),ε)→B(f(xi),ε)是等距同胚映射,故

    由(1)式知

    f是链传递的.

    f是链传递的,∀stX,∀0 < η < δ0,其中δ0是引理1中的常数. 由f是链传递的知,存在f作用下的η-链{zi}i=0m,其中

    故当0≤i < m时,有

    πXX是满射知,可取ziX满足π(zi)=zi,其中

    由引理1知,π|B(f(zi),η)B(f(zi),η)→B(f(zi),η)是等距同胚映射,故

    由(2)式知

    f是链传递的.

    定理2  设(Xd)和(Xd)是度量空间,πXX是局部等距覆盖映射,fXX连续,fXX连续,若ff局部等距下的提升映射,则π(SCR(f))∀SCR(f).

      设xSCR(f). ∀0 < ε < δ0,其中δ0是引理1中的常数,则存在f作用下的强ε-链{xi}i=0n,其中

    xi=π(xi),由ff的提升映射知πf=fπ,故

    再由引理1知,π|B(f(xi),ε)B(f(xi),ε)→B(f(xi),ε)是等距同胚映射,故

    由(3)式知

    π(x)∈SCR(f),则

    本文研究了原空间与它的提升空间在链传递性和强链回归点集方面的动力学性质,得到:f是链传递的当且仅当f是链传递的;π(SCR(f))∀SCR(f). 丰富了提升空间中链传递性和强链回归点集的结论,为链传递性和强链回归点在实际中的应用提供了理论依据.

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